2、精練習題。復習時不要搞“題海戰(zhàn)術”，應在老師的指導下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓，力求相同的錯誤不犯第二次。
重難點突破06 弦長問題及長度和、差、商、積問題
目錄
1、弦長公式的兩種形式
①若，是直線與圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
②若，是直線與圓錐曲線的兩個交點，且由兩方程消去后得到一元二次方程，則．
題型一：弦長問題
例1．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學校考模擬預測）已知直線與圓相切，且交橢圓于兩點，若，則 ．
例2．（2023·全國·高三對口高考）已知橢圓，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為 ．
例3．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓，的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與交于，兩點，的周長是13，則 ．
變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點，與x軸交于點P，若，則點P的坐標為 .
變式2．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點，分別在雙曲線的左支與右支上，且點，與點共線，若，則 .
變式3．（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開學考試）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點射出，則 ．
變式4．（2023·河南鄭州·高三鄭州外國語學校?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則 ．
變式5．（2023·新疆喀什·?？寄M預測）已知雙曲線C兩條準線之間的距離為1，離心率為2，直線l經(jīng)過C的右焦點，且與C相交于A、B兩點.
(1)求C的標準方程；
(2)若直線l與該雙曲線的漸近線垂直，求AB的長度.
變式6．（2023·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學?？茧A段練習）已知拋物線的準線方程是.
(1)求拋物線的方程；
(2)設直線與拋物線相交于，兩點，若，求實數(shù)k的值.
題型二：長度和問題
例4．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考一模）如圖所示，由半橢圓和兩個半圓、組成曲線，其中點依次為的左、右頂點，點為的下頂點，點依次為的左、右焦點．若點分別為曲線的圓心．
(1)求的方程；
(2)若過點作兩條平行線分別與和交與和，求的最小值．
例5．（2023·河南安陽·安陽一中校聯(lián)考模擬預測）定義：一般地，當且時，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓的相似橢圓，點為橢圓上異于其左、右頂點的任意一點．
(1)當時，若與橢圓有且只有一個公共點的直線恰好相交于點，直線的斜率分別為，求的值；
(2)當（e為橢圓的離心率）時，設直線與橢圓交于點，直線與橢圓交于點，求的值．
例6．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓()的左右焦點分別為，，點為上的一個動點(非左右頂點)，連接并延長交于點，且的周長為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)若橢圓的長軸端點為，且與的離心率相等，為與異于的交點，直線交于兩點，證明：為定值．
變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦AB與CD，求的取值范圍.
題型三：長度差問題
例7．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線經(jīng)過點，直線與交于，兩點（異于坐標原點）．
(1)若，證明：直線過定點．
(2)已知，直線在直線的右側，，與之間的距離，交于，兩點，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
例8．（2023·云南保山·高三統(tǒng)考階段練習）已知拋物線：的焦點為橢圓：的右焦點F，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線l過點F，交拋物線于A，C兩點，交橢圓于B，D兩點（A，B，C，D依次排序），且，求直線l的方程.
題型四：長度商問題
例9．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的離心率是，點是雙曲線的一個焦點，且點到雙曲線的一條漸近線的距離是2.
(1)求雙曲線的標準方程.
(2)設點在直線上，過點作兩條直線，直線與雙曲線交于兩點，直線與雙曲線交于兩點.若直線與直線的傾斜角互補，證明：.
例10．（2023·全國·高三專題練習）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，
(1)求圓心的軌跡方程
(2)若過點且斜率的直線與交與兩點，線段的垂直平分線交軸與點，證明的值是定值.
例11．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的右焦點為，過點F與x軸垂直的直線與雙曲線C交于M，N兩點，且.
(1)求C的方程；
(2)過點的直線與雙曲線C的左?右兩支分別交于D，E兩點，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點，若，求實數(shù)的取值范圍.
變式8．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C的漸近線方程為，右焦點到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過F作斜率為k的直線交雙曲線于A、B兩點，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：為定值.
變式9．（2023·河南鄭州·鄭州外國語學校?？寄M預測）已知橢圓的左?右焦點分別為，且.過右焦點的直線與交于兩點，的周長為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過原點作一條垂直于的直線交于兩點，求的取值范圍.
變式10．（2023·陜西·統(tǒng)考一模）在橢圓C：，，過點與的直線的斜率為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設F為橢圓C的右焦點，P為直線上任意一點，過F作PF的垂線交橢圓C于M，N兩點，當取最大值時，求直線MN的方程．
變式11．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）在橢圓）中，，過點與的直線的斜率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設為橢圓的右焦點，為直線上任意一點，過作的垂線交橢圓于兩點，求的最大值.
變式12．（2023·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校聯(lián)考階段練習）平面直角坐標系中，為動點，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，且，記動點的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)已知點，，設點與點關于原點對稱，的角平分線為直線，過點作的垂線，垂足為，交于另一點，求的最大值.
變式13．（2023·四川南充·高三四川省南充高級中學?？茧A段練習）已知，為橢圓的兩個焦點．且，P為橢圓上一點，．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過右焦點的直線交橢圓于兩點，若的中點為為坐標原點，直線交直線于點．求的最大值．
變式14．（2023·海南?？凇じ呷y(tǒng)考期中）設O為坐標原點，點M，N在拋物線上，且.
(1)證明：直線過定點；
(2)設C在點M，N處的切線相交于點P，求的取值范圍.
變式15．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）過點的直線與拋物線交于點，（在第一象限），且當直線的傾斜角為時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)若，延長交拋物線于點，延長交軸于點，求的值.
變式16．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C：上的點到其焦點F的距離為2．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知點D在直線l：上，過點D作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB與直線l交于點M，過拋物線C的焦點F作直線AB的垂線交直線l于點N，當|MN|最小時，求的值．
變式17．（2023·廣東揭陽·高三?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為F，點F關于直線的對稱點恰好在y軸上．
(1)求拋物線E的標準方程；
(2)直線與拋物線E交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點C，若，求的最大值．
變式18．（2023·四川內江·高三四川省內江市第六中學校考階段練習）已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點，橢圓的長軸長為2p．
(1)求橢圓與拋物線的方程；
(2)P為拋物線上一點，為橢圓的左焦點，直線交橢圓于A，B兩點，直線與拋物線交于P，Q兩點，求的最大值．
題型五：長度積問題
例12．（2023·山東·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線，為的焦點，過點的直線與交于，兩點，且在，兩點處的切線交于點，當與軸垂直時，．
(1)求的方程；
(2)證明：．
例13．（2023·浙江·?？寄M預測）已知拋物線：，過其焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，與橢圓交于C、D兩點，其中．
(1)求拋物線方程；
(2)是否存在直線，使得是與的等比中項，若存在，請求出AB的方程及；若不存在，請說明理由．
例14．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長為．
(1)求橢圓的方程；
(2)以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點為，若直線與橢圓交于不同的兩點，，求的取值范圍．
變式19．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上一點，且當軸時，.
(1)求的方程；
(2)設在點處的切線交軸于點，證明：.
變式20．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓：的離心率為，過點作軸的垂線，與交于兩點，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線與橢圓交于，兩點，直線與橢圓交于，兩點，且，，交于點，求的取值范圍．
變式21．（2023·湖南岳陽·高三?？茧A段練習）已知橢圓經(jīng)過點，左，右焦點分別為，，為坐標原點，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設A為橢圓的右頂點，直線與橢圓相交于，兩點，以為直徑的圓過點A，求的最大值．
變式22．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的焦距為2，且經(jīng)過點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)經(jīng)過橢圓右焦點F且斜率為的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使恒成立？若存在，求出T點坐標，若不存在，說明理由．
題型六：長度的范圍與最值問題
例15．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦長為．
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的右焦點作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點，線段的中點為，過點作垂直于的直線交軸于點，試求的取值范圍．
例16．（2023·黑龍江佳木斯·高三?？奸_學考試）已知橢圓的兩個焦點，，動點在橢圓上，且使得的點恰有兩個，動點到焦點的距離的最大值為．
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖，以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點分別為，，若直線與橢圓交于不同的兩點，，求弦長的取值范圍．
例17．（2023·陜西咸陽·?？既＃?已知雙曲線的離心率為，過雙曲線的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，且.
(1)求雙曲線的標準方程;
(2)若直線：與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，與雙曲線的漸近線分別交于兩點，求的取值范圍.
變式23．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）設橢圓的左右焦點，分別是雙曲線的左右頂點，且橢圓的右頂點到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在，說明理由.
變式24．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，過左焦點的直線與橢圓交于兩點（不在軸上），的周長為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若點在橢圓上，且為坐標原點），求的取值范圍.
變式25．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點的直線與相交于、兩點，與直線相交于點．
(1)若，求證：；
(2)過點作直線的垂線與相交于、兩點，與直線相交于點．求的最大值．
變式26．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知橢圓的兩個焦點為，，且，的雙曲線的頂點，雙曲線的一條漸近線方程為，設P為該雙曲線上異于頂點的任意一點，直線，的斜率分別為，，且直線和與橢圓的交點分別為A，B和C，D．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)證明：直線，的斜率之積·為定值；
(3)求的取值范圍．
變式27．（2023·江蘇南京·校考二模）在平面直角坐標系中，已知點到點的距離與到直線的距離之比為．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過點且斜率為的直線與交于A，B兩點，與軸交于點，線段AB的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．
變式28．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的左、右頂點是雙曲線的頂點，的焦點到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點，.
(1)求證：
(2)若直線l與相交于P，Q兩點，求的取值范圍.
變式29．（2023·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）已知點在運動過程中，總滿足關系式：.
(1)點的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；
(2)設圓，直線與圓O相切且與點的軌跡交于不同兩點，當且時，求弦長的取值范圍.
變式30．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右頂點為，點是橢圓的上頂點，直線與圓相切，且橢圓的離心率為
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若點在橢圓上，過左焦點的直線與橢圓交于兩點（不在軸上）且(O為坐標原點)，求的取值范圍．
變式31．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓:過點，且離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點且互相垂直的直線,分別交橢圓于,兩點及兩點.求的取值范圍.
變式32．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，動點到定點的距離與動點到定直線的距離的比值為，記動點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的標準方程.
(2)若動直線l與曲線C相交于A，B兩點，且（O為坐標原點），求弦長的取值范圍.
變式33．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓過點.
(1)若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；
(2)已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點，若經(jīng)過M，N兩點的直線與圓相切，求線段的最大值.
變式34．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P在橢圓E上，，且．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)直線與橢圓E相交于A，B兩點，與圓相交于C，D兩點，求的取值范圍．
變式35．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：（）的短軸長為4，離心率為．點為圓：上任意一點，為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)記線段與橢圓交點為，求的取值范圍．
題型七：長度的定值問題
例18．（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？茧A段練習）如圖，已知橢圓，的左右焦點是雙曲線的左右頂點，的離心率為．點在上（異于兩點），過點和分別作直線交橢圓于和點．
(1)求證：為定值；
(2)求證：為定值．
例19．（2023·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）橢圓．
(1)點是橢圓上任意一點，求點與點兩點之間距離的最大值和最小值；
(2)和分別為橢圓的右頂點和上頂點．為橢圓上第三象限點．直線與軸交于點，直線與軸交于點．求．
例20．（2023·吉林松原·高三前郭爾羅斯縣第五中學?？计谀┮阎獧E圓C的右焦點與拋物線E：的焦點F重合，且橢圓C的離心率為．
(1)求橢圓C的標準方程．
(2)過點F的直線l交橢圓C于M，N兩點，交拋物線E于P，Q兩點，是否存在實數(shù)，使得為定值？若存在，求出這個定值和λ的值；若不存在，說明理由．
變式36．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線E：的焦點關于其準線的對稱點為，橢圓C：的左，右焦點分別是，，且與E有一個共同的焦點，線段的中點是C的左頂點．過點的直線l交C于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線交x軸于點M．
(1)求C的方程；
(2)證明：．
變式37．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）設橢圓的左、右焦點分別為，離心率，長軸為4，且過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若，其中為坐標原點，求直線的斜率；
(3)若是橢圓經(jīng)過原點的弦，且，判斷是否為定值？若是定值，請求出，若不是定值，請說明理由．
變式38．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與橢圓交于兩點（在軸上方），且，設點在軸上的射影為點，的面積為，拋物線的焦點與橢圓的焦點重合，斜率為的直線過拋物線的焦點與橢圓交于兩，點，與拋物線交于兩點.
(1)求橢圓及拋物線的標準方程；
(2)是否存在常數(shù)，使為常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說明理由.
變式39．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，當l垂直于x軸時，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.
(1)求C的方程；
(2)證明：為定值.
變式40．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點和橢圓的右焦點重合，過點任意作直線分別交拋物線于，交橢圓于.當垂直于軸時，.
(1)求和的方程；
(2)是否存在常數(shù)，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
變式41．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左右焦點分別為，連接橢圓的四個頂點所成的四邊形的周長為.
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)已知過點的直線與橢圓交于兩點，過點且與直線垂直的直線與橢圓交于兩點，求的值.
變式42．（2023·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學校考期中）已知橢圓C：的長軸長為4，且離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設過點且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點D.求證：為定值.
變式43．（2023·天津河北·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓點，且離心率，F(xiàn)為橢圓C的左焦點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設點，過點F的直線l交橢圓C于P，Q兩點，，連接OT與PQ交于點H.
①若，求；
②求的值.
變式44．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓E：．焦距為2c，，左、右焦點分別為，．在橢圓E上任取一點，的周長為．
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)設點關于原點的對稱點為Q．過右焦點作與直線PQ垂直的直線交橢圓E于A，B兩點，求的取值范圍；
(3)若過點的直線與橢圓E交于C，D兩點，求的值．
變式45．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的長軸是短軸的2倍，且右焦點為，點B在橢圓上，且點C為點B關于x軸的對稱點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若點B在第一象限且為等邊三角形，求該等邊三角形的邊長；
(3)設P為橢圓E上異于B，C的任意一點，直線與x軸分別交于點M，N，判斷是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.
變式46．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C以為漸近線，其上焦點F坐標為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)不平行于坐標軸的直線l過F與雙曲線C交于兩點，的中垂線交y軸于點T，問是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.
變式47．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓長軸的頂點與雙曲線實軸的頂點相同，且的右焦點到的漸近線的距離為．
(1)求與的方程；
(2)若直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍，且經(jīng)過點，與交于、兩點，與交于、兩點，求．
變式48．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的左，右頂點分別為，上，下頂點分別為，四邊形的內切圓的面積為，其離心率；拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合.斜率為k的直線l過拋物線的焦點且與橢圓交于A，B兩點，與拋物線交于C，D兩點.
(1)求橢圓及拋物線的方程；
(2)是否存在常數(shù)，使得為一個與k無關的常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
變式49．（2023·遼寧·新民市第一高級中學校聯(lián)考一模）如圖，，，，是拋物線：上的四個點（，在軸上方，，在軸下方），已知直線與的斜率分別為和2，且直線與相交于點．
(1)若點的橫坐標為6，則當?shù)拿娣e取得最大值時，求點的坐標．
(2)試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

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