2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話(huà)都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破03 直線(xiàn)與圓的綜合應(yīng)用
目錄
題型一：距離的創(chuàng)新定義
例1．（2023·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線(xiàn)正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等均為120°，根據(jù)以上性質(zhì)，已知，P為內(nèi)一點(diǎn)，記，則的最小值為 ，此時(shí) .
【答案】
【解析】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由，知，
且為銳角三角形，因此，費(fèi)馬點(diǎn)F在線(xiàn)段上，設(shè)，
則為頂角是120°的等腰三角形，故，
所以；
在中，由正弦定理，得，即，
解得，即此時(shí).
故答案為：；
例2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）閔氏距離（）是衡量數(shù)值點(diǎn)之間距離的一種非常常見(jiàn)的方法，設(shè)點(diǎn)、坐標(biāo)分別為，，則閔氏距離.若點(diǎn)、分別在和的圖像上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意得，設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)A、B分別在函數(shù)和的圖象上，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
設(shè)，，則，
令，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以，
即，所以的最小值為.
故選：A.
例3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給朋友的一封信中曾提出一個(gè)關(guān)于三角形的有趣問(wèn)題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點(diǎn)，使它到三角形每個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。F(xiàn)已證明：在中，若三個(gè)內(nèi)角均小于，則當(dāng)點(diǎn)滿(mǎn)足時(shí)，點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)被人們稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上知識(shí)，已知為平面內(nèi)任意一個(gè)向量，和是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，且，則的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，，
則，
即為點(diǎn)到和點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)的距離之和，
則△ABC為等腰三角形，如圖，
由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)可得，需滿(mǎn)足：點(diǎn)P在y軸上且∠APB＝120°，則∠APO＝60°，
因?yàn)閨OA|＝|OB|＝2，則，所以點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，距離之和最小，
最小距離之和為.
故選：B.
變式1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）閔可夫斯基距離又稱(chēng)為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別為和，這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為，其中q表示階數(shù).現(xiàn)有下列四個(gè)命題：
①若，則；
②若，其中，則；
③若，其中，則；
④若，其中，則的最小值為.
其中所有真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】對(duì)于①：，故①正確.
對(duì)于②：，故②錯(cuò)誤.
對(duì)于③：，不妨設(shè)，，且均為非負(fù)數(shù)，所以故③正確.
對(duì)于④：構(gòu)造函數(shù)，則，的最小值即兩曲線(xiàn)動(dòng)點(diǎn)間的最小距離，設(shè)與直線(xiàn)平行的切線(xiàn)方程為，聯(lián)立 得：，令得，，所以切線(xiàn)方程為：與之間的距離，所以最小值為，故④正確.
故選C.
變式2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線(xiàn)正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（ ）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意得：的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值，
因?yàn)?，?br>，
所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，
取的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，故，，
因?yàn)椋?，故，則，
故點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，即取得最小值，
因?yàn)?，所以，同理得：，?br>，
故的最小值為.
故選：B
變式3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)是內(nèi)部或邊界上的點(diǎn)，若到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則稱(chēng)點(diǎn)是的費(fèi)馬點(diǎn)（該問(wèn)題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出）.若，，時(shí)，點(diǎn)是的費(fèi)馬點(diǎn)，且已知在軸上，則的大小等于 .
【答案】
【解析】先證明：若到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則
如圖將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，則≌，
，所以是等邊三角形，，
，當(dāng)四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值，
此時(shí)，
同理可得
所以命題得證.
點(diǎn)是的費(fèi)馬點(diǎn)，且已知在軸上，
，
，
所以，
所以=.
故答案為：
變式4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x，y)與點(diǎn)N(a，b)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為 ．
【答案】
【解析】∵，∴的幾何意義為點(diǎn)到兩定點(diǎn)與的距離之和，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則為，要求的最小值，可轉(zhuǎn)化為的最小值，利用對(duì)稱(chēng)思想可知，即的最小值為,故答案為.
題型二：切比雪夫距離
例4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)，的“切比雪夫距離”．又設(shè)點(diǎn)P及l(fā)上任意一點(diǎn)Q，稱(chēng)d（P，Q）的最小值為點(diǎn)P到直線(xiàn)l的“切比雪夫距離”，記作d（P，l）．給出下列四個(gè)命題：①對(duì)任意三點(diǎn)A，B，C，都有；②已知點(diǎn)P（3，1）和直線(xiàn)，則；③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)的軌跡是正方形．其中正確的序號(hào)為 ．
【答案】①②③
【解析】其中①③的討論見(jiàn)后文．
②設(shè)點(diǎn)Q是直線(xiàn)上一點(diǎn)，且，則．由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值；由，解得或，即有，此時(shí)的范圍是，無(wú)最值．故P，Q兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為．
綜上，①②③正確．
例5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”．若點(diǎn)P到點(diǎn)（2014，2015）的切比雪夫距離為2，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度之和為 ．
【答案】16
【解析】由前文知點(diǎn)P的軌跡是邊長(zhǎng)為4的正方形，則軌跡長(zhǎng)度之和為16．
例6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的“切比雪夫距離”記作給出下列四個(gè)命題:
①對(duì)任意三點(diǎn)，都有
②已知點(diǎn)和直線(xiàn)則
③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)的軌跡是正方形；
其中真命題的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【解析】① 對(duì)任意三點(diǎn)、、，若它們共線(xiàn)，設(shè)，、，，，，如圖，結(jié)合三角形的相似可得，，為，，，或，，，則；
若，或，對(duì)調(diào)，可得；
若，，不共線(xiàn)，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，
由矩形或矩形，；
則對(duì)任意的三點(diǎn)，，，都有，故①正確；
②設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)上一點(diǎn)，且，
可得，，
由，解得，即有，
當(dāng)時(shí)，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，無(wú)最值；
綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為；故②正確；
③由題，到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”的距離為1的點(diǎn)滿(mǎn)足，即或，顯然點(diǎn)的軌跡為正方形，故③正確；
故選：D
變式5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線(xiàn)上任一點(diǎn)，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的“切比雪夫距離”，記作.
（1）求證：對(duì)任意三點(diǎn)、、，都有；
（2）已知點(diǎn)和直線(xiàn)，求；
（3）定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足（），請(qǐng)求出點(diǎn)所在的曲線(xiàn)所圍成圖形的面積.
【解析】（1）證明：設(shè)，則
，同理可得，
所以，
（2）設(shè)為直線(xiàn)上一點(diǎn)，則，
由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，無(wú)最大值，
綜上可得，兩點(diǎn)的最小值為，
所以；
（3）設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為，則，
等價(jià)于或，
所以點(diǎn)的軌跡是以為中心，邊長(zhǎng)為的正方形，
所以點(diǎn)所在的曲線(xiàn)所圍成圖形的面積為
變式6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個(gè)命題：
①對(duì)任意三點(diǎn)、、，都有；
②已知點(diǎn)和直線(xiàn)，則；
③定義，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成平面圖形的面積是4；
其中真命題的個(gè)數(shù)（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】由新定義表示出三點(diǎn)兩兩之間的“切比雪夫距離”，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)判斷①，
由新定義計(jì)算出，判斷②，
根據(jù)新定義求出的軌跡方程，確定其軌跡，求得軌跡圍成的圖形面積判斷③．①設(shè)，則，
，
顯然，同理，
∴，①正確；
②設(shè)是直線(xiàn)上任一點(diǎn)，則，
，易知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴時(shí)，，②錯(cuò)；
③由得，易知此曲線(xiàn)關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)都對(duì)稱(chēng)，它是以為頂點(diǎn)的正方形，其轉(zhuǎn)成圖形面積為，③錯(cuò)．
故選：B．
變式7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)AB的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及上任意一點(diǎn)Q,稱(chēng)的最小值為點(diǎn)P到直線(xiàn)的“切比雪夫距離”，記作,給出下列三個(gè)命題：
①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C，都有
②已知點(diǎn)P(2,1)和直線(xiàn),則
③定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足則點(diǎn)P的軌跡與直線(xiàn)(為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】①對(duì)任意三點(diǎn)、、，
若它們共線(xiàn)，設(shè)，、，、，，如圖，
結(jié)合三角形的相似可得,,分別為,,或,,，
則；
若,或,對(duì)調(diào)，可得；
若它們不共線(xiàn)，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，
由矩形或矩形，
；
則對(duì)任意的三點(diǎn)，，，都有；
故①正確；
②設(shè)點(diǎn)直線(xiàn)一點(diǎn)，且，可得，
由，解得，即有，
當(dāng)時(shí)，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，無(wú)最值，
綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為，
故②錯(cuò)誤；
③定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，
可得不軸上，在線(xiàn)段間成立，
可得，解得，
由對(duì)稱(chēng)性可得也成立，即有兩點(diǎn)滿(mǎn)足條件；
若在第一象限內(nèi)，滿(mǎn)足即為，為射線(xiàn)，
由對(duì)稱(chēng)性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線(xiàn)，
則點(diǎn)的軌跡與直線(xiàn)為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)，
故③正確；
真命題的個(gè)數(shù)是2，
故選：C．
變式8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直線(xiàn)坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及上任意一點(diǎn)Q,稱(chēng)的最小值為點(diǎn)P到直線(xiàn)的“切比雪夫距離”記作給出下列四個(gè)命題:（ ）
①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C，都有
②已知點(diǎn)P(3,1)和直線(xiàn)則
③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)的軌跡是正方形；
④定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足則點(diǎn)P的軌跡與直線(xiàn)(為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】①對(duì)任意三點(diǎn)、、，若它們共線(xiàn)，設(shè)，、，，
，，如右圖，結(jié)合三角形的相似可得，，
為，，，或，，，則，，，；
若，或，對(duì)調(diào)，可得，，，；
若，，不共線(xiàn)，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，
，，，；
則對(duì)任意的三點(diǎn)，，，都有，，，；故①正確；
設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)上一點(diǎn)，且，
可得，，
由，解得，即有，
當(dāng)時(shí)，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，，，．無(wú)最值，
綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為．
故②正確；
③由題意，到原點(diǎn)的“切比雪夫距離” 等于的點(diǎn)設(shè)為，則，
若，則；若，則，故所求軌跡是正方形，則③正確；
④定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)
滿(mǎn)足，，，
可得不軸上，在線(xiàn)段間成立，
可得，解得，
由對(duì)稱(chēng)性可得也成立，即有兩點(diǎn)滿(mǎn)足條件；
若在第一象限內(nèi)，滿(mǎn)足，，，
即為，為射線(xiàn)，
由對(duì)稱(chēng)性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線(xiàn)，
則點(diǎn)的軌跡與直線(xiàn)為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．
故④正確；
綜上可得，真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)，
故選:.
題型三：曼哈頓距離、折線(xiàn)距離、直角距離問(wèn)題
例7．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）人臉識(shí)別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．在人臉識(shí)別中，主要應(yīng)用距離測(cè)試檢測(cè)樣本之間的相似度，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．已知，，則的最大值近似等于（ ）
（參考數(shù)據(jù)：，．）
A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948
【答案】B
【解析】設(shè)，
由題意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，
因?yàn)?，由圖可知：
當(dāng)取到最小值，即最大，點(diǎn)有如下兩種可能：
①點(diǎn)為點(diǎn)A，則，可得；
②點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)與同向，不妨取，
則；
因?yàn)椋?br>所以的最大值為.
故選：B.
例8．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)間的折線(xiàn)距離，該距離也稱(chēng)曼哈頓距離．已知點(diǎn)，若，則的最小值與最大值之和為（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意得，．令，
作出所表示的平面區(qū)域如圖中實(shí)線(xiàn)所示，
則，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
結(jié)合圖形可知的最小值為2，最大值為4，故的最小值與最大值之和為，
故選：B．
例9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）十九世紀(jì)著名德國(guó)猶太人數(shù)學(xué)家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點(diǎn)，的曼哈頓距離為.我們把到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的曼哈頓距離相等的點(diǎn)叫“好點(diǎn)”，已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，則的“好點(diǎn)”的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】對(duì)于A，設(shè)，
則，
所以點(diǎn)不是的“好點(diǎn)”；
對(duì)于B，設(shè)，
則，
，
所以，
所以點(diǎn)是的“好點(diǎn)”；
對(duì)于C，設(shè)，
則，
所以點(diǎn)不是的“好點(diǎn)”；
對(duì)于D，設(shè)，
則，
所以點(diǎn)不是的“好點(diǎn)”.
故選：B.
變式9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“曼哈頓距離”也叫“出租車(chē)距離”，是19世紀(jì)德國(guó)猶太人數(shù)學(xué)家赫爾曼·閔可夫斯基首先提出來(lái)的名詞，用來(lái)表示兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，即在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，若，，則，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為，下列直角梯形中的虛線(xiàn)可以作為，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意：，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為，再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可以判斷只有C選項(xiàng)符合題意.
故選：C．
變式10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“曼哈頓距離”是19世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)之間，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)，的曼哈頓距離為：.在此定義下，已知點(diǎn)，滿(mǎn)足的點(diǎn)M軌跡圍成的圖形面積為（ ）
A．2B．1C．4D．
【答案】A
【解析】設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，則
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
所以點(diǎn)M的軌跡如圖所示，是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，
所以點(diǎn)M軌跡圍成的圖形面積為，
故選：A
題型四：圓的包絡(luò)線(xiàn)問(wèn)題
例10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線(xiàn)系M：，則下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①存在一個(gè)直線(xiàn)與所有直線(xiàn)相交；②M中所有直線(xiàn)均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)，存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線(xiàn)上；④M中的直線(xiàn)所能?chē)傻恼切蚊娣e都相等.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】根據(jù)直線(xiàn)系M：，
可得到直線(xiàn)M的距離，
所以所有直線(xiàn)都為圓心為，半徑為1的圓的切線(xiàn)，
對(duì)于①：因?yàn)橹本€(xiàn)系為圓的任意切線(xiàn)，所以不存在一個(gè)直線(xiàn)與所有直線(xiàn)相交，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：因?yàn)橹本€(xiàn)系為圓的任意切線(xiàn)，所以該直線(xiàn)系不過(guò)定點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，作圓的外切正n邊形，其所有邊都為圓的切線(xiàn)，即為直線(xiàn)系中的直線(xiàn)，故③正確；
對(duì)于④：如圖所示：
正和正面積不相等，故④錯(cuò)誤；
故選：B
例11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線(xiàn)系（），則下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①存在一個(gè)圓與所有直線(xiàn)相交；
②存在一個(gè)圓與所有直線(xiàn)不相交；
③存在一個(gè)圓與所有直線(xiàn)相切；
④中所有直線(xiàn)均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；
⑤不存在定點(diǎn)不在中的任一條直線(xiàn)上；
⑥對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線(xiàn)上；
⑦中的直線(xiàn)所能?chē)傻恼切蚊娣e都相等．
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】根據(jù)直線(xiàn)系（）得到，
所有直線(xiàn)都為圓心為，半徑為1的圓的切線(xiàn)．
對(duì)于①，可取圓心為，半徑為2的圓，該圓與所有直線(xiàn)相交，所以①正確；
對(duì)于②，可取圓心為，半徑為的圓，該圓與所有直線(xiàn)不相交，所以②正確；
對(duì)于③，可取圓心為，半徑為1的圓，該圓與所有直線(xiàn)相切，所以③正確；
對(duì)于④，所有的直線(xiàn)與一個(gè)圓相切，沒(méi)有過(guò)定點(diǎn)，所以④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，存在不在中的任一條直線(xiàn)上，所以⑤錯(cuò)誤；
對(duì)于⑥，可取圓的外接正三角形，其所有邊均在中的直線(xiàn)上，所以⑥正確；
對(duì)于⑦，可以在圓的三等分點(diǎn)做圓的三條切線(xiàn)，把其中一條切線(xiàn)平移到過(guò)另外兩個(gè)點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)，也為正三角形，但是它與圓的外接正三角形的面積不相等，所以⑦錯(cuò)誤；
故①②③⑥正確，④⑤⑦錯(cuò)，所以真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)．
故選：B．
例12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線(xiàn)系，對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：
（1）當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，或；
（2）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)傾斜角為；
（3）中所有直線(xiàn)均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；
（4）存在定點(diǎn)不在中任意一條直線(xiàn)上．
其中正確的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②④
【答案】D
【解析】，
（1）當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，則，解得或或，故（1）錯(cuò)誤；
（2）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為：，
斜率，即，傾斜角，故（2）正確；
（3）由直線(xiàn)系
可令，消去可得，
故直線(xiàn)系表示圓的切線(xiàn)的集合，故（3）不正確．
（4）因?yàn)閷?duì)任意，存在定點(diǎn)不在直線(xiàn)系中的任意一條上，故（4）正確；
故選：D．
變式11．（多選題）（2023·遼寧葫蘆島·高二校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)有一組圓：（）.下列四個(gè)命題中真命題的是
A．存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相切
B．存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相交
C．存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均不相交
D．所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)
【答案】BD
【解析】圓心為，半徑為，
，，，，，圓與圓是內(nèi)含關(guān)系，因此不可能有直線(xiàn)與這兩個(gè)圓都相切，從而A錯(cuò)誤；
易知圓心在直線(xiàn)上，此直線(xiàn)與所有圓都相交，B正確；
若取無(wú)窮大，則所有直線(xiàn)都與圓相交，C錯(cuò)；
將代入圓方程得，即，等式左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，因此方程無(wú)整數(shù)解，即原點(diǎn)不在任一圓上，D正確．
故選：BD．
變式12．（多選題）（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，直線(xiàn)，下面五個(gè)命題，其中正確的是（ ）
A．對(duì)任意實(shí)數(shù)與，直線(xiàn)和圓有公共點(diǎn)
B．對(duì)任意實(shí)數(shù)與，直線(xiàn)與圓都相離
C．存在實(shí)數(shù)與，直線(xiàn)和圓相離
D．對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，使得直線(xiàn)與圓相切
【答案】AD
【解析】AB選項(xiàng)，由題意知圓的圓心為，半徑為，直線(xiàn)的方程可以寫(xiě)作，過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以直線(xiàn)與圓相切或相交，
任意實(shí)數(shù)與，直線(xiàn)和圓有公共點(diǎn)，A正確，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由以上分析知不存在實(shí)數(shù)與，直線(xiàn)和圓相離，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，點(diǎn)恰好為直線(xiàn)與圓的切點(diǎn)，故直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，①當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與軸垂直，則，即，解得，存在，使得直線(xiàn)與圓相切；
②當(dāng)時(shí)，若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則，
直線(xiàn)的斜率為，
所以，即，
此時(shí)對(duì)任意的，均存在實(shí)數(shù)，使得，則直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，
綜上所述，對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，使得直線(xiàn)與圓相切，D正確．
故選：AD．
變式13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)與圓相切，則滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有（ ）條
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由于直線(xiàn)和圓相切，故圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即，（其中），故，或 ，正弦值為的只有在軸正半軸，正弦值為可以在第三或者第四象限，故有種可能，所以選.
題型五：阿波羅尼斯圓問(wèn)題、反演點(diǎn)問(wèn)題、阿波羅尼斯球問(wèn)題
例13．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫(xiě)出了經(jīng)典之作《圓錐曲線(xiàn)論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問(wèn)題，例如:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來(lái)該軌跡被人們稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足，若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，
即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
所以圓心在此直線(xiàn)上，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值是.
故選：B.
例14．（2023·高二單元測(cè)試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（，且），那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點(diǎn)到，的距離之比為，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，
即點(diǎn)的軌跡方程為以為圓心，為半徑的圓，
則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為圓心到直線(xiàn)的距離減去半徑，
即，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小值為.
故選：A
例15．（2023·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓.后世把這種圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知，，直線(xiàn)，直線(xiàn)，若為，的交點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知過(guò)定點(diǎn)，
過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)椋?，即?br>所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，故圓心為，半徑為3，
則的軌跡方程為，即，易知O、Q在該圓內(nèi)，
又，
即，
取，則，又，
所以，
所以的最小值為.
故選：A.
變式14．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線(xiàn)有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線(xiàn)》一書(shū)中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：已知圓上的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖，點(diǎn)M在圓上，取點(diǎn)，連接，有，
當(dāng)點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，，又，因此∽，
則有，當(dāng)點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，有，則，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是線(xiàn)段BN與圓O的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故選：C
變式15．（2023·高二單元測(cè)試）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓．已知 ，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn) P滿(mǎn)足，則r的取值可以為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由，得，整理得，
又點(diǎn)是圓：上有且僅有的一點(diǎn)，所以?xún)蓤A相切.
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，
圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，兩圓的圓心距為3，
當(dāng)兩圓外切時(shí)，，得，
當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，，得．
故選：A.
變式16．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知平面，，A、B是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，C、D是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，，，．P是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】由題意易得PD與平面所成角為，PC與平面所成角為，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴P點(diǎn)軌跡為阿氏圓．
在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
所以，
整理得：，
所以點(diǎn)P在內(nèi)的軌跡為以為圓心，以4為半徑的上半圓，
因?yàn)槠矫妫?，，?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，?br>所以二面角的平面角為，
由圖可知，當(dāng)PB與圓相切時(shí)，最大，余弦值最小，
此時(shí)，故.
故選：B．
變式17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知三棱錐中，底面為等邊三角形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).若點(diǎn)、是空間中的兩動(dòng)點(diǎn)，且，，則（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】建立直角坐標(biāo)系如圖所示，
，底面為等邊三角形，且.所以O(shè)D=2,AO=.B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0),點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以E（，，0）點(diǎn)為的中點(diǎn)，F(xiàn)（- ，- ，0），設(shè)M（x,y,z）,，所以 ，所以點(diǎn)M在以（0,0,0）為球心，以1為半徑的球上，同理N也在這個(gè)球上，且，所以MN為球的直徑，= .
故選B.
變式18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】如圖所示：
取點(diǎn)，設(shè)，
則，
在和中，，
所以和相似，且相似比為，
所以，則，
而，
即的最小值為，
所以.
故答案為：.
變式19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】9
【解析】為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn)，
取，則，
故答案為：9
變式20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體中，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，點(diǎn)是正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是空間兩動(dòng)點(diǎn)，若且，則的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則,，設(shè)
由題設(shè)
即
也即
由此可知點(diǎn)都是在球心為,半徑為2的球面上
又,故點(diǎn)是球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)
所以，
所以
而在正方體的表面上,故當(dāng)點(diǎn)在正方體的頂點(diǎn)上時(shí),
此時(shí)的值最小為
故答案為 ：.
題型六：圓中的垂直問(wèn)題
例16．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線(xiàn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)相互垂直，圓，若直線(xiàn)與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則 ．
【答案】
【解析】由直線(xiàn)，可得斜率，
因?yàn)榍抑本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率為，
所以的方程為，
又由圓，即，
可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
則圓心到直線(xiàn)的距離為，
所以弦長(zhǎng).
故答案為：.
例17．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為．若直線(xiàn)上存在一點(diǎn)，使過(guò)所作的圓的兩條切線(xiàn)相互垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】記兩個(gè)切點(diǎn)為，則由于，因此四邊形是正方形，，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，于是圓心直線(xiàn)的距離不大于，
，解得.
考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系.
例18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知AC，BD為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則的最大值為 ．
【答案】20
【解析】設(shè)圓心到AC，BD的距離分別為m，n．
因?yàn)锳C，BD相互垂直，所以，
由垂徑定理得，
則，
由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故．
故答案為：20
變式21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)定點(diǎn)作兩條相互垂直的直線(xiàn)、，設(shè)原點(diǎn)到直線(xiàn)、的距離分別為、，則的最大值是 ．
【答案】
【解析】如圖所示：
作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，
可得四邊形為矩形，
，
故可設(shè)，
，其中，
當(dāng)取最大值1時(shí)，取最大值.
故答案為：
變式22．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線(xiàn)分別交圓于、和、兩點(diǎn)，則四邊形面積的最大值為 ．
【答案】23
【解析】圓，圓心坐標(biāo)，半徑，
設(shè)圓心到、的距離分別為、，
，則
四邊形的面積為
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
四邊形面積的最大值為23．
故答案為：23．
變式23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓.已知過(guò)原點(diǎn)且相互垂直的兩條直線(xiàn)和，其中與圓相交于，兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn).若，則直線(xiàn)的斜率為 .
【答案】
【解析】設(shè)：，：，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，列出式子
，求出的值即可.由圓，可知圓心，半徑為.
設(shè)直線(xiàn)：，則：，
圓心到直線(xiàn)的距離為，
，
.
圓心到直線(xiàn)的距離為半徑，即，
并根據(jù)垂徑定理的應(yīng)用，可列式得到，
解得.
故答案為：.
題型七：圓的存在性問(wèn)題
例19．（2023·河南·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓和兩點(diǎn)，.若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為 ．
【答案】11
【解析】由題意可得：圓的圓心，半徑，
∵，則點(diǎn)在以為直徑的圓上（不能是兩點(diǎn)），
以為直徑的圓的圓心為，半徑，
注意到圓心到y(tǒng)軸的距離為，即y軸與圓相離，
由題意可得：圓與圓有公共點(diǎn)（由于y軸與圓相離，公共點(diǎn)不可能為），且,
則，即，解得，
故的最大值為11.
故答案為：11.
例20．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)訄A的方程為，則圓心的軌跡方程為 ．若對(duì)于圓上的任意點(diǎn)，在圓：上均存在點(diǎn)，使得，則滿(mǎn)足條件的圓心的軌跡長(zhǎng)度為 ．
【答案】
【解析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，故①，②，①×2＋②得：
，故圓心的軌跡方程為；
如圖所示，取圓上一點(diǎn)P，要使最大，則過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線(xiàn)，
連接并延長(zhǎng)交圓M于點(diǎn)，則點(diǎn)離圓O的距離最大，
故要使得對(duì)于圓上的任意點(diǎn)，在圓：上均存在點(diǎn)，使得，
則只需要過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，若此時(shí)即可，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
圓心到直線(xiàn)的距離為，
由勾股定理得：圓心的軌跡長(zhǎng)度為.
故答案為：，
例21．（2023·上海普陀·高三上海市晉元高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)都在圓上，易知在圓上存在點(diǎn)，使得.
當(dāng)時(shí)，要使圓上存在點(diǎn)使得，則的最大值大于或等于時(shí)一定存在，而當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：
變式24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)P使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 .
【答案】
【解析】設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，整理得：，
直線(xiàn)上存在點(diǎn)P使得等價(jià)于直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)，
所以，解得：.
故答案為：.
變式25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，，．若，在所在的平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得，則的面積的最大值為 ．
【答案】
【解析】以所在直線(xiàn)為軸，邊的垂直平分線(xiàn)為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，.
由，得，即①，又，
故②，其中①式可以看作以(0，0)為圓心，半徑為的圓的軌跡方程，②式可以看作以為圓心，半徑為的圓的軌跡方程，
由題意知兩圓有公共點(diǎn)，即點(diǎn)，則③，
又，得④，由③，④得，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.
故答案為：.
變式26．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)滿(mǎn)足3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】設(shè)，則
若3，則即
∴的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，
若圓上存在點(diǎn)滿(mǎn)足3，
則圓和圓有公共點(diǎn)，
解得：
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
變式27．（2023·陜西西安·高三西安鐵一中濱河高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線(xiàn)上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由可得，
因此圓的圓心為，半徑為1，
若直線(xiàn)上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，
只需點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
即，解得，
所以的取值范圍是，
故答案為：.
變式28．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)P在直線(xiàn)上，若過(guò)點(diǎn)P存在直線(xiàn)與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題，即，故為的中點(diǎn)，即過(guò)點(diǎn)P存在直線(xiàn)與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足為的中點(diǎn).考慮當(dāng)確定，在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的軌跡為與圓相切且半徑為1的圓上.故當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，的軌跡為以為圓心，內(nèi)外半徑分別為1，3的圓環(huán)內(nèi).
故只需分析此圓環(huán)與直線(xiàn)相交的部分即可. 易得外圓方程,聯(lián)立有,解得或,故點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是
故答案為:
變式29．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)和點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，且動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上至少存在兩點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離等于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)，則，
即，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
要在圓上至少存在兩點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于，
則需圓心到直線(xiàn)的距離，
解得.
故答案為：
變式30．（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）已知圓，對(duì)直線(xiàn)上一點(diǎn)，在圓上總存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由題意當(dāng)是圓切線(xiàn)時(shí)，取得最大值，而當(dāng)時(shí)，，
所以由在圓上總存在點(diǎn)，使得，得，
即，解得．
故答案為：．
變式31．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（0，a），D（0，a+2）.若存在點(diǎn)P，使得|PA|=|PB|，|PC|=|PD|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【解析】設(shè)P（x，y），則由|PA|=|PB|，得，
整理得，即P在以（5，0）為圓心，為半徑的圓上.
又由|PC|=|PD|，知點(diǎn)P在線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)y=a+1上
因而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)y=a+1與圓有交點(diǎn)，所以|a+1|≤2，
解得
故答案為：

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