重難點(diǎn)突破08 圓錐曲線的垂直弦問(wèn)題（八大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破08 圓錐曲線的垂直弦問(wèn)題
目錄
1、過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過(guò)定點(diǎn)．
2、過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過(guò)定點(diǎn)．
3、過(guò)橢圓的短軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過(guò)定點(diǎn)．
4、過(guò)橢圓內(nèi)的任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過(guò)定點(diǎn)．
5、以為直角定點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)
6、以上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．
7、以右頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．
8、以為直角定點(diǎn)的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)，
9、以為直角定點(diǎn)的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)
題型一：橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)
例1．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且|PA||PB|cs2θ=1.（P不在線段AB上）
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點(diǎn)P、Q，試問(wèn)直線PQ是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.
例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，短軸長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
(2)M，D分別為橢圓C的左?右頂點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作兩條互相垂直的直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？并求出面積的最大值.
例3．（2023·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段為垂足，若點(diǎn)滿足.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
變式1．（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點(diǎn)分別為，．
(1)寫(xiě)出橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；
(2)證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值．
變式2．（2023·天津河北·高三天津外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，與軸垂直.直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線的斜率為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
變式3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)分別是圓的左?右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，與x軸垂直.直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，且直線MN的斜率為
(1)求橢圓C的離心率.
(2)設(shè)是橢圓C的上頂點(diǎn)，過(guò)D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A?B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作線段AB的垂線，垂足為Q，判斷在y軸上是否存在定點(diǎn)R，使得的長(zhǎng)度為定值？并證明你的結(jié)論.
變式4．（2023·云南昆明·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線.分別交橢圓于兩點(diǎn)（點(diǎn)不同于橢圓的右頂點(diǎn)），證明：直線過(guò)定點(diǎn).
題型二：雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)
例4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且雙曲線C的右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P分別作兩條互相垂直的直線PA，PB與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)均與點(diǎn)P不重合），設(shè)直線AB：，試求和之間滿足的關(guān)系式．
例5．（2023·江蘇南京·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Р與定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到定直線l：的距離之比是常數(shù)，記P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(，0)兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)M，N(異于點(diǎn)A)，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn).
例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線，經(jīng)過(guò)雙曲線上的點(diǎn)作互相垂直的直線AM?AN分別交雙曲線于M?N兩點(diǎn).設(shè)線段AM?AN的中點(diǎn)分別為B?C，直線OB?OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且它們的乘積為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A作（D為垂足），請(qǐng)問(wèn)：是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
題型三：拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過(guò)定點(diǎn)
例7．（2023·江蘇泰州·高二靖江高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過(guò)拋物線C上一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線C相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
例8．（2023·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰在拋物線的準(zhǔn)線上．
(1)求拋物線的方程；
(2)是拋物線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交拋物線于兩點(diǎn)，證明直線恒經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
例9．（2023·江西吉安·高二吉安一中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，，．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)在C上，過(guò)Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．
變式5．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).
(1)求的值；
(2)求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求的最小值.
變式6．（2023·四川綿陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)拋物線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為，與拋物線的交點(diǎn)為，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)拋物線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦和，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
變式8．（2023·云南曲靖·高二?？计谀┮阎c(diǎn)與點(diǎn)的距離比它的直線的距離小2．
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)是點(diǎn)軌跡上互相垂直的兩條弦，問(wèn)：直線是否經(jīng)過(guò)軸上一定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，說(shuō)明理由．
題型四：橢圓兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過(guò)定點(diǎn)
例10．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）雙曲線：的左右頂點(diǎn)分別為，，動(dòng)直線垂直的實(shí)軸，且交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作的兩條互相垂直的弦，，證明：過(guò)兩弦，中點(diǎn)的直線恒過(guò)定點(diǎn).
例11．（2023·全國(guó)·高二期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)F作兩條斜率不為0且互相垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，線段AB的中點(diǎn)為M，線段CD的中點(diǎn)為N，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
例12．（2023·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和等于4．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)過(guò)作互相垂直的兩條直線、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，求四邊形面積的最小值．
變式9．（2023·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長(zhǎng)度為．過(guò)作互相垂直的兩條直線、，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、的中點(diǎn)分別為、．
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)求四邊形面積的最小值．
變式10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與交于兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型五：雙曲線兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過(guò)定點(diǎn)
例13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線C的右焦點(diǎn)F，半焦距c=2，點(diǎn)F到直線的距離為，過(guò)點(diǎn)F作雙曲線C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).
例14．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，.交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
例15．（2023·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，半焦距，點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線必過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).
變式11．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦（斜率均存在）、.兩條弦的中點(diǎn)分別為、，那么直線是否過(guò)定點(diǎn)?若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明原因；若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo).
題型六：拋物線兩條互相垂直的弦中點(diǎn)所在直線過(guò)定點(diǎn)
例16．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線：焦點(diǎn)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，位于的上方區(qū)域，且的最小值為3.
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，且，分別為線段和的中點(diǎn).直線是否恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.
例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上.
(1)求拋物線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線于、兩點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
例18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交C于H，I兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設(shè)弦AB，DE的中點(diǎn)分別為P，Q，試判斷直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)．求出其坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
變式12．（2023·山西·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線C：（），過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，拋物線C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為3．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若線段AB的中點(diǎn)為M，線段DE的中點(diǎn)為N，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)．
變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）動(dòng)圓P與直線相切，點(diǎn)在動(dòng)圓上．
(1)求圓心P的軌跡Q的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F作曲線O的兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN必過(guò)定點(diǎn)．
變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，且的面積為．
(1)求拋物線C的方程．
(2)過(guò)點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)．若是，求出所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由．
變式15．（2023·安徽滁州·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，也是PF的中點(diǎn)．，．
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程E；
(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求直線MN過(guò)定點(diǎn)R的坐標(biāo)．
變式16．（2023·福建福州·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系 xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，且三角形POQ的三邊所在直線的斜率滿足.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)過(guò)F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積；
(3)過(guò)點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，分別交軌跡 C 于點(diǎn)A，B和M，N，設(shè)線段AB，MN的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).，求證：直線EF恒過(guò)一定點(diǎn).
變式17．（2023·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)作兩條斜率不為且互相垂直的直線分別交橢圓于、和、，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過(guò)軸上一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
變式18．（2023·湖南·高三階段練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，兩切點(diǎn)分別為，，且．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，，分別為線段和的中點(diǎn)，求面積的最小值．
題型七：內(nèi)接直角三角形范圍與最值問(wèn)題
例19．（2023·江西·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)最大距離為2，若到橢圓右頂點(diǎn)距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為、，過(guò)作兩條互相垂直的直線交橢圓于、，問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，并求出面積的最大值.如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
例20．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD中點(diǎn)分別為，.
(1)寫(xiě)出橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)及該橢圓的離心率；
(2)證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.
例21．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A，，上頂點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)A點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.
題型八：兩條互相垂直的弦中點(diǎn)范圍與最值問(wèn)題
例22．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G的準(zhǔn)線方程為.
(1)求拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線和，與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，M，N分別是線段PQ，CD的中點(diǎn)，求△FMN面積的最小值.
例23．（2023·廣東珠?！じ呷？奸_(kāi)學(xué)考試）已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．
(1)求拋物線的方程；
(2)過(guò)軸上一動(dòng)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)和，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求的最小值．

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