重難點(diǎn)突破03 三角形中的范圍與最值問(wèn)題（十七大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
重難點(diǎn)突破03 三角形中的范圍與最值問(wèn)題
目錄
1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問(wèn)題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問(wèn)題，通常有下列五種解題技巧：
（1）利用基本不等式求范圍或最值；
（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；
（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；
（4）根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；
（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．
要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大．
2、解三角形中的范圍與最值問(wèn)題常見(jiàn)題型：
（1）求角的最值；
（2）求邊和周長(zhǎng)的最值及范圍；
（3）求面積的最值和范圍．
題型一：周長(zhǎng)問(wèn)題
例1．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若為銳角三角形，，求周長(zhǎng)范圍．
【解析】（1）在中，由射影定理得，
則題述條件化簡(jiǎn)為，
由余弦定理得．
可得
所以.
（2）在中，
由正弦定理得，
則周長(zhǎng)，
因?yàn)?，則，
因?yàn)闉殇J角三角形，，
則得，
故．
例2．（2023·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角△ABC中，，，
（1）求角A；
（2）求△ABC的周長(zhǎng)l的范圍.
【解析】（1）∵，
，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?
，所以.
（2），
所以,所以，，
所以
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，且，所以，解得，
所以，所以，
所以.
例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①；②；③；在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．
在銳角中，內(nèi)角、、，的對(duì)邊分別是、、，且______
(1)求角的大??；
(2)若，求周長(zhǎng)的范圍．
【解析】（1）選①，由可得，
，則，可得，；
選②，由可得，
即，即，
，則，故，；
選③，由及正弦定理可得，
、，則，所以，，
故，
，，因此，.
（2）由正弦定理可得，則，，
，
因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，
所以，，則，
故.
變式1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
(1)求角的大??；
(2)若，求周長(zhǎng)的范圍.
【解析】（1）由正弦定理得：，
，，
，
，，，.
（2）由正弦定理：，則，，
，，
周長(zhǎng)為
，
又銳角，，結(jié)合
，，，，即周長(zhǎng)的范圍是.
變式2．（2023·陜西西安·高三西安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且滿足，．
(1)求角A的大??；
(2)求周長(zhǎng)的范圍．
【解析】（1）由余弦定理，即，
所以，因?yàn)?，所以?br>（2）由正弦定理：，則，，
由（1），故
因?yàn)?，則，
所以，即周長(zhǎng)范圍是．
題型二：面積問(wèn)題
例4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，，．
(1)求角A的值；
(2)若，求面積的范圍．
【解析】(1)∵，，，
∴
．
又，∴．又為銳角三角形，
∴或 ∴或（舍去），∴．
(2)由正弦定理知，
又∵，，∴，
∴．
故得到：，∴，
∴面積的范圍為
例5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某植物園內(nèi)有一塊圓形區(qū)域，在其內(nèi)接四邊形內(nèi)種植了兩種花卉，其中區(qū)域內(nèi)種植蘭花，區(qū)域內(nèi)種植丁香花，對(duì)角線BD是一條觀賞小道．測(cè)量可知邊界，，．
（1）求觀賞小道BD的長(zhǎng)及種植區(qū)域的面積；
（2）因地理?xiàng)l件限制，種植丁香花的邊界BC，CD不能變更，而邊界AB，AD可以調(diào)整，使得種植蘭花的面積有所增加，請(qǐng)?jiān)贐AD上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P，使得種植區(qū)域改造后的新區(qū)域（四邊形）的面積最大，并求出這個(gè)面積的最大值．
【解析】（1）設(shè)，則由余弦定理得，
．
由四邊形是圓內(nèi)接四邊形得，
故，即，
解得（負(fù)值舍去），即．
從而，所以，，
故．
答：觀賞小道BD的長(zhǎng)為，種植區(qū)域的面積為．
（2）由（1）及“同弧所對(duì)的圓周角相等”得．
設(shè)，，
則．
在中，由余弦定理有
，
故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．
而，
因此，種植區(qū)域改造后的新區(qū)域的面積的最大值為．
答：當(dāng)為等邊三角形時(shí)，新區(qū)域的面積最大，最大值為．
例6．（2023·山東青島·高三青島三十九中?？计谥校┰冖賏＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，求△ABC的面積的值（或最大值）．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，三邊a，b，c與面積S滿足關(guān)系式：，且______，求△ABC的面積的值（或最大值）．
【解析】∵，
∴，
∵，∴，
選擇條件①：當(dāng)a＝2時(shí)，根據(jù)余弦定理，，∴，
∵，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等），
∴；
選擇條件②：當(dāng)a＝b＝2時(shí)，∵，
∴，∴；
選擇條件③：當(dāng)b＝c＝2，．
變式3．（2023·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某住宅小區(qū)一側(cè)有一塊三角形空地，其中，，．物業(yè)管理部門擬在中間開(kāi)挖一個(gè)三角形人工湖，其中，都在邊上（，均不與重合，在，之間），且．
(1)若在距離點(diǎn)處，求點(diǎn)，之間的距離；
(2)設(shè)，
①求出的面積關(guān)于的表達(dá)式；
②為節(jié)省投入資金，三角形人工湖的面積要盡可能小，試確定的值，使得面積最小，并求出這個(gè)最小面積．
【解析】（1）∵，，，，∴，，
∴由余弦定理，，，
∴．
在中．
（2）①∵，∴，
在中，，
在中，，
∴，
又中邊上的高為，
∴，．
②當(dāng)，時(shí)，最小且．
變式4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，．
（1）D為線段上一點(diǎn)，且，求長(zhǎng)度；
（2）若為銳角三角形，求面積的范圍．
【解析】（1）在中，依題意得：，
則有，于是得，而，則，
又，則，
在中，從而得等邊，即，，
在中由余弦定理得，解得；
（2）在中，，設(shè)，由正弦定理得：
，
于是得，
因是銳角三角形，則，且，
于是有，則，即，，
從而得，
所以面積的取值范圍是．
變式5．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
（1）若，，求的大??；
（2）若，且是鈍角，求面積的大小范圍.
【解析】（1）在中，，由正弦定理得.
∵，∴，∴，
∴.
又∵，∴.
在中，由余弦定理得，即，
解得（舍去），.
∴.
（2）由（1）知，
∴.
由正弦定理，得，∴.
∵，為鈍角，∴，
∴，∴，
∴.
即面積的大小范圍是.
題型三：長(zhǎng)度問(wèn)題
例7．（2023·浙江麗水·高三浙江省麗水中學(xué)校聯(lián)考期末）已知銳角內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若.
(1)求；
(2)若，求的范圍.
【解析】（1）由正弦定理，
又，得；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，
所以，解得，
令，所以，
所以.
例8．（2023·福建莆田·高三?？计谥校┰谥?，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，，
(1)求角B﹔
(2)求的范圍．
【解析】（1），又，所以，因?yàn)?，所?
（2）在中，由（1）及，得，
故，
，
因?yàn)?，則，
﹒
所以的范圍為.
例9．（2023·重慶江北·高三校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別，，，且.
（1）求角的大?。?br>（2）若，，當(dāng)僅有一解時(shí)，寫出的范圍，并求的取值范圍.
【解析】（1）
，即，
，
，
.
（2）根據(jù)題意，由正弦定理得，則，
僅有一解，
或，即或，
或，
當(dāng)時(shí)，，所以，所以；
當(dāng)時(shí)，由正弦定理得，
，
，
，
，
，即，
綜上，.
變式6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足條件；，．
（I）求角A的值；
（Ⅱ）求的范圍．
【解析】（I）由，
利用正弦定理可得，即
故，
又，
（Ⅱ），，利用正弦定理
故，
在中，，故
，，
所以的范圍是
變式7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，分別是角的對(duì)邊.
（1）求角的值；
（2）若，且為銳角三角形，求的范圍.
【解析】（1）由題意知，∴，
由余弦定理可知，，
又∵，∴.
（2）由正弦定理可知，，
即，
∴
，
又∵為銳角三角形，∴，則即，
所以，即，
綜上的取值范圍為.
變式8．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.
（1）求證：；
（2）若是銳角三角形，，求的范圍.
【解析】（1）由兩角差的正弦公式，可得，
又由正弦定理和余弦定理，可得
，
所以
（2）由（1）知

因?yàn)槭卿J角三角形，所以，可得，
又由，可得，所以，所以，
所以，可得，符合.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
變式9．（2023·安徽亳州·高三統(tǒng)考期末）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
（1）求角的大??；
（2）設(shè)為的垂心，且，求的范圍.
【解析】（1）由，結(jié)合正弦定理得
，
整理得，
又為銳角，故.
（2）由是銳角三角形，則垂心必在內(nèi)部，
不妨設(shè)，則.
由為的垂心，則.
在中使用正弦定理得，
，整理得：.
同理在中使用正弦定理得，.
，
結(jié)合
可得.
題型四：轉(zhuǎn)化為角范圍問(wèn)題
例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，即.
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
（2）由（1）知
.
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以，
即的取值范圍是.
例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．
(1)判斷的形狀并給出證明；
(2)若，求的取值范圍．
【解析】（1）為等腰三角形或直角三角形，證明如下：
由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、為的內(nèi)角，所以或，
因此為等腰三角形或直角三角形．
（2）由（1）及知為直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
所以，
因?yàn)?，故?br>得，所以，
因此的取值范圍為．
例12．（2023·河北保定·高一定州一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)判斷的形狀（銳角、直角、鈍角三角形），并給出證明；
(2)求的最小值．
【解析】（1）是鈍角三角形.
由題意可知，，得，
所以,于是有，得或，即或，
又，，
所以是鈍角三角形.
（2）由（1）知，,,有，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即（為銳角），等號(hào)成立，
所以的最小值為
變式10．（2023·廣東佛山·高一大瀝高中?？茧A段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且；
(1)若，判斷的形狀并說(shuō)明理由；
(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.
【解析】（1）是等邊三角形.理由如下：
在中，由得：，
由余弦定理得，即，
由正弦定理及，得，即，
而及，則或，
當(dāng)時(shí)，即，有，此時(shí)，所以是等邊三角形；
當(dāng)，即時(shí)，，有，與矛盾，
所以是等邊三角形.
（2）由（1）知，，由余弦定理得，為銳角，
而是銳角三角形，則，得，
，得，因此，
，令，則，
對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，于是，
因此，即有，
所以的取值范圍是.
變式11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知.
(1)若，求角A的大??；
(2)求的取值范圍.
【解析】（1）由正弦定理得：，
∵，∴或，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以舍去，所以.
（2）
（或者用積化和差公式一步得到）
∵，∴，所以A為銳角，又，
所以，所以，
所以，
所以.
變式12．（2023·江西吉安·高二江西省峽江中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是，．
（1）求角A的大??；
（2）求的取值范圍．
【解析】（1）∵，
結(jié)合余弦定理，可得，
∴，∴
又∵，∴；
（2）由（1）得，∴，
∴
，
∵是銳角三角形，∴，解得，
∴，，
∴.
變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，∴，
∴，∴
，∴，∴或（不符合題意舍去），
∴，
∴
，
設(shè)，
∵是銳角三角形，∴，∴，
∴，
∴，
令，則，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，
∴.
故選：C．
題型五：倍角問(wèn)題
例13．（2023·浙江紹興·高一諸暨中學(xué)?？计谥校┰阡J角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)證明：；
(2)若，求a的取值范圍；
(3)若的三邊邊長(zhǎng)為連續(xù)的正整數(shù)，求的面積．
【解析】(1)因?yàn)闉殇J角三角形，所以.
由正弦定理有，
又在中，所以有,
所以，
因此有，
化簡(jiǎn)整理得，
所以,
即.
(2)因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，
又，得，因此，得，
所以.
由（1）有，
若時(shí)，，
又因?yàn)椋?br>所以.
(3)設(shè)的三邊分別為.
當(dāng)時(shí)，由，
所以有，解得，
因此三邊分別為，所以，
所以，所以；
當(dāng)時(shí)，同理有，解得，此時(shí)不能構(gòu)成三角形，故不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，同理有，化簡(jiǎn)得，此時(shí)無(wú)整數(shù)解，故不滿足題意.
綜上可知：.
例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，且為銳角，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，即，．
為銳角，則
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
的最小值為．
故選：A
例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）銳角的角所對(duì)的邊為，，則的范圍是_________．
【答案】
【解析】∵為銳角三角形，，∴，∴ ，∴，即，由正弦定理得：，所以的取值范圍為）.所以答案應(yīng)填：．
變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為5，若，則的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】在中，，，
，
，即，
由余弦定理可得，，
故，
由正弦定理可得，，化簡(jiǎn)整理可得，，
故或（舍去），
則，
為銳角三角形，
，解得，
故，
故答案為：
變式15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的取值范圍為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】由于，作，則，
因?yàn)?，，可得?br>所以，
令，可得，
所以，
令，可得，
由，可得在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
綜上．
故答案為：．
變式16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在銳角中,，,
而，，所以，
所以由正弦定理可知:,
故選：B.
變式17．（2023·福建三明·高一三明市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角中，，，的對(duì)邊分別是，，則的范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在銳角中，，因?yàn)椋?
所以，，解得，
所以，，而，
，
所以，
所以由正弦定理可知：
，
因?yàn)?，所以，所以?br>即.
故選：A.
變式18．（2023·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？计谥校┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，C，若A＝2B，則的最小值為（）
A．－1B．C．3D．
【答案】C
【解析】因?yàn)锳＝2B，,所以由正弦定理，得

，
因?yàn)锳＝2B，所以，
所以，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：C.
題型六：角平分線問(wèn)題
例16．（2023·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若角的平分線交于點(diǎn)，且，求的最小值.
【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>則，
可得，
整理得
注意到，且，則，，且，
可得或
解得或（舍去），
故.
（2）若的平分線交于點(diǎn)，則，
因?yàn)椋?br>則，
即，整理得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值.
例17．（2023·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期中）如圖，中，，的平分線AD交BC于．

(1)若，求的余弦值；
(2)若，求AD的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c,
因?yàn)锳D是的平分線，所以到AB，AC的距離相等，
又，所以，所以．
由題意，．
中，①,
中， ②
聯(lián)立①②得．又，則．
所以．
（2）因?yàn)?，，?br>所以
所以．
所以．
因?yàn)?，所以?br>所以．
例18．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）在①，②，③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答．
已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，．
(1)求角C的值；
(2)若角C的平分線交于點(diǎn)D，且，求的最小值．
【解析】（1）選擇條件①：∵，
∴由正弦定理得，
∵，∴，
∴，∴，即，
∴，∵，∴，∴；
選擇條件②：∵，∴，
∴，∴．
∵，∴；
選擇條件③：
∵，∴，
∵，∴，
由正弦定理得，即，
∴，∵，∴．
（2）角C的平分線交AB于點(diǎn)D，在中，，
在中，，在中，∵，
∴，∴，∴，
∴．
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，
∴的最小值為．
變式19．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，角A的平分線與邊交于點(diǎn).
(1)求角A；
(2)若，求的最小值.
【解析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)可得：
，
∴，
即，
由∴
又∵，∴，∴，
又，∴.
（2）

根據(jù)角A的平分線與邊交于點(diǎn)，所以，
，即，
所以，即.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.
所以的小值為18.
變式20．（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足，且．
(1)求證：；
(2)已知是的平分線，若，求線段長(zhǎng)度的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又為銳角三角形，則，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此線段長(zhǎng)度的取值范圍.
變式21．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．
(1)求角的大??；
(2)若，與的平分線交于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值．
【解析】（1）由正弦定理得：，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以，故．
（2）

由（1）知，，有，
而與的平分線交于點(diǎn)，即有，于是，
設(shè)，則，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以的周長(zhǎng)為
，由，得，
則當(dāng)，即時(shí)，的周長(zhǎng)取得最大值，
所以周長(zhǎng)的最大值為．
變式22．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，邊上有一動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)為邊中點(diǎn)時(shí)，若，求的長(zhǎng)度；
(2)當(dāng)為的平分線時(shí)，若，求的最大值.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，即.
由正弦定理，得.
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
又因?yàn)?，所以，所?
因?yàn)闉檫呏悬c(diǎn)，所以，則.
又，
所以，即，即，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得.
又，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，所以.
因?yàn)槠椒郑?br>所以，
所以，
所以.
令，則.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以當(dāng)即時(shí)，取得最大值為，
所以的最大值為.
題型七：中線問(wèn)題
例19．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一雅禮中學(xué)校考期中）在銳角中，角的對(duì)邊分別是，，，若
(1)求角的大?。?br>(2)若，求中線長(zhǎng)的范圍（點(diǎn)是邊中點(diǎn)）.
【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>即，所以，
因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?
（2）由（1）得，且，由余弦定理知，，得到，
因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)，所以，兩邊平方可得:
，
所以，
因?yàn)?，又，?br>所以,
又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，得到，
所以，由的圖像與性質(zhì)知，，
所以，所以，得到
故.
例20．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求邊中線的取值范圍．
【解析】（1）由已知可得，
由余弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，又，
所以．
（2）因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，
則，
即．
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以．
例21．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角C的大?。?br>(2)若，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長(zhǎng)的取值范圍．
【解析】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因?yàn)椋裕?br>（2）由余弦定理可得，
又，
則，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由題意得，解得，則，
所以，所以，
所以，所以中線CD長(zhǎng)的取值范圍為．
變式23．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若
(1)求角A的大小；
(2)若，求中線AD長(zhǎng)的最大值（點(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)）．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得：,
即，
,
因?yàn)椋裕?br>所以，
因?yàn)?所以.
（2）由（1）得，
則，
所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC中點(diǎn)，
所以,
兩邊平方可得：,
則，
所以，
中線AD長(zhǎng)的最大值為.
變式24．（2023·廣東廣州·高二廣州六中?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，求邊上的中線長(zhǎng)度的最小值．
【解析】（1）由得,
,
即.
（2）,
即
，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．
題型八：四心問(wèn)題
例22．（2023·四川涼山·校聯(lián)考一模）設(shè)（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的重心、內(nèi)心分別是，且，若，則的最小值是__________．
【答案】
【解析】因?yàn)橹匦摹?nèi)心分別是，且，所以，（r為內(nèi)切圓的半徑），
又.且.
解得.
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即為等邊三角形有最小值.
例23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.
（1）求角的大小；
（2）若，為的內(nèi)心，求的最大值.
【解析】（1），
由正弦定理可得，，
即，
又，
，
，
又
.
（2）設(shè)，
為的內(nèi)心，且，
，
，
在中，
由正弦定理得，，
，，
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即為等邊三角形時(shí)取等號(hào)，
故的最大值為2.
例24．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若為的垂心，，求面積的最大值.
【解析】（1）由題可得，
結(jié)合正弦定理可得，即，
∴，又，∴.
（2）設(shè)邊，上的高分別為，則為與的交點(diǎn)，
則在四邊形中，，
∵，∴，故，
在中，，，
則，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴，故面積的最大值為.
變式25．（2023·江蘇無(wú)錫·高一錫東高中?？计谥校┰谥校謩e是角的對(duì)邊，．
(1)求角A的大小；
(2)若為銳角三角形，且其面積為，點(diǎn)為重心，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，線段與線段相交于點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
又因?yàn)椋瑒t，
可得，即，所以.
（2）由題意可得，，
所以，
因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，故設(shè)，
同理、、三點(diǎn)共線，故設(shè)，
則，解得，
所以，
則，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)闉殇J角三角形，
當(dāng)為銳角，則，即，
即，所以；
當(dāng)為銳角，則，即，
則，即，所以；
綜上可得，
又因?yàn)椋?br>則，
因?yàn)?，則，
且在上單調(diào)遞減，，
所以，即，
所以．

變式26．（2023·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且外接圓的半徑為．
(1)求C的大?。?br>(2)若G是的重心，求面積的最大值．
【解析】(1)由正弦定理，得
因?yàn)椋?
所以，所以,因?yàn)?故．
(2)由（1）得，
所以，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
連接BG，并延長(zhǎng)BG交AC于D，則D是AC的中點(diǎn)，且，
過(guò)G作于F，過(guò)B作于E，則，
所以．故面積的最大值為
變式27．（2023·遼寧撫順·高一撫順一中校考階段練習(xí)）如圖，記銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，A的角平分線交BC于點(diǎn)D，O為的重心，過(guò)O作，交AD于點(diǎn)P，過(guò)P作于點(diǎn)E.
(1)求的取值范圍；
(2)若四邊形BDPE與的面積之比為，求的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)椋沂卿J角三角形，
所以，均為銳角，
所以
解得.
(2)如圖，連接AO，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)G.
因?yàn)椐盀榈闹匦模?br>所以G為BC的中點(diǎn)，.
因?yàn)?，所以，?br>所以，所以.
設(shè)，，則.
因?yàn)椋?br>，
，
所以由，得，即.
因?yàn)椋?br>所以四邊形的面積為：
，
.
由，得，
即，
所以.
變式28．（2023·浙江·高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）若O是的外心，且，則的最大值是（）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】如圖所示：

設(shè)，，，，
由，
得
化簡(jiǎn)得，由是的外心可知，
是三邊中垂線交點(diǎn)，得，代入上式得
，所以，
根據(jù)題意知，是三角形外接圓的半徑，可得，.
所以，
由柯西不等式可得：，
所以，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立.
所以的最大值為.
故選：C.
變式29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是三角形的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為（）
A．6B．C．D．3
【答案】D
【解析】如圖所示：設(shè).
由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，由是三角形的外心可得，是三邊中垂線交點(diǎn)，
則，代入上式得，，即
依據(jù)題意，為外接圓半徑，根據(jù)正弦定理可得，
代入得，則
結(jié)合不等式可得，的最大值為3
故選：D
題型九：坐標(biāo)法
例25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，，則的最小值為_(kāi)_____．
【答案】2
【解析】因?yàn)椋?，所?
在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.
如圖所示：設(shè)的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標(biāo)系.
設(shè)E為AC的中點(diǎn)，所以，.
所以點(diǎn)M的軌跡為：，可寫出（為參數(shù)）.
因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)部，所以（其中滿足，）.
所以
因?yàn)闈M足，，所以，
所以當(dāng)時(shí)最小.
故答案為：2
例26．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，，，，M是所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建系，如圖所示，根據(jù)題意，可得A、B、C坐標(biāo)，設(shè)，可得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積公式，可得的表達(dá)式，即可求得答案.以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示：
因?yàn)?，，?br>所以，設(shè)，
則，
所以
=，
當(dāng)時(shí)，有最小值，且為，
故答案為：
例27．（2023·湖北武漢·高二武漢市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知B，C為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?br>所以，化簡(jiǎn)得，
即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
所以
所以的取值范圍是，
從而的取值范圍是．
故答案為：．
變式30．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，且所在平面內(nèi)存在一點(diǎn)使得，則面積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系，解不等式，得出的范圍，再由三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出面積的最大值.以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系
設(shè)，，，則
設(shè)，由得
即，
即點(diǎn)既在為圓心，為半徑的圓上，又在為圓心，1為半徑的圓上
可得，由兩邊平方化簡(jiǎn)可得
則的面積為
由，可得，取得最大值，且為.
故選：B.
變式31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等邊中，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是（）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，
以的BC邊的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，過(guò)O點(diǎn)垂直于BC的直線為y軸，建立建立直角坐標(biāo)系如圖，
再將延x軸翻折得，求得的外接圓的圓心為Q，， M點(diǎn)的劣弧上，
不妨設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為2，可得：，，，，
點(diǎn)所在圓的方程為：.
設(shè)參數(shù)方程為：，
，
，
其中，
即，解得，；
故選：C.
變式32．（2023·江西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意得：的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值，
因?yàn)椋?br>，
所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，
取的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，故，，
因?yàn)椋?，故，則，
故點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，即取得最小值，
因?yàn)椋?，同理得：，?br>，
故的最小值為.
故選：B
題型十：隱圓問(wèn)題
例28．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面四邊形中，連接對(duì)角線，已知，，，，則對(duì)角線的最大值為（）
A．27B．16C．10D．25
【答案】A
【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB,DC分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則,因?yàn)椋?，所以由平面幾何知識(shí)得A點(diǎn)軌跡為圓弧（因?yàn)闉槠矫嫠倪呅?，所以取圖中第四象限部分的圓弧），設(shè)圓心為E,則由正弦定理可得圓半徑為，
因此對(duì)角線的最大值為
故選：A
例29．（2023·江蘇泰州·高三階段練習(xí)）已知中，，為的重心，且滿足，則的面積的最大值為_(kāi)_____.
【答案】/
【解析】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)要使，則在坐標(biāo)原點(diǎn)，顯然不成立，
當(dāng)時(shí)要使，則，解得，顯然不成立，
所以且，因?yàn)?br>所以，即
整理得，(且)
所以當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，的面積取得最大值為.
故答案為：
例30．（2023·湖北武漢·高二武漢市洪山高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知等邊的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)G是內(nèi)的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)且滿足，則的最大值為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】由，可知點(diǎn)G為的重心，以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出的坐標(biāo)，設(shè)，由可知在以為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離最值求出的最大值.由，可知點(diǎn)G為的重心.
以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，.
設(shè)，由可知P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，
所以的最大值為.
故答案為：
變式33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，，．若，則的最小值為_(kāi)___．
【答案】
【解析】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S正向，建立如下平面直角坐標(biāo)系.
則，，
設(shè)，則，，
因?yàn)?br>所以，即：
整理得：，所以點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上.
在軸上取，連接
可得，所以，所以
由圖可得：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)在圖中的位置時(shí)，最小.
此時(shí)最小為.
故答案為．
變式34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若滿足條件，，則面積的最大值為_(kāi)_.
【答案】
【解析】如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為x軸，的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，設(shè)，由，
得，
化簡(jiǎn)可得,
則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，
且去掉點(diǎn)，和，；
所以的面積的最大值為，
故答案為：.
變式35．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，為定長(zhǎng)，，若的面積的最大值為，則邊的長(zhǎng)為_(kāi)___________．
【答案】
【解析】設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，
，利用求向量模的公式，可得，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)一步求出的值即為所求.設(shè)，以為原點(diǎn)，為軸建系，則，，設(shè)，，
則，
即，
由，可得.
則.
故答案為：.
變式36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)P使得，，則的面積最大值為_(kāi)_________________．
【答案】
【解析】以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
設(shè)，由，，可得，
即，
即點(diǎn)P既在以為圓心，半徑為的圓上，也在為圓心，為半徑的圓上，
可得，
由兩邊平方化簡(jiǎn)可得，
則的面積為，
由，可得．
故答案為：.
變式37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中，，所在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則面積的最大值為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】設(shè)，以所在直線為軸、其中垂線所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，設(shè)，由，得，即，
則，
則，
即，
解得，即，
即面積的最大值為.
題型十一：兩邊夾問(wèn)題
例31．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，且的周長(zhǎng)為12．
(1)求證：為直角三角形；
(2)求面積的最大值．
【解析】（1）在中有，，
又，
則，
可得，
可得①，
又，，是三角形內(nèi)角，
若，則，此時(shí)①式不成立；
若，則，此時(shí)①式不成立；
所以，則，則，
所以是直角三角形．
（2）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，則直角三角形的面積，
又，則，
所以，
即，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為．
例32．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，，延長(zhǎng)至，若，則面積的最大值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】，
，①
又成等比數(shù)列，，
由正弦定理可得，②
①-②得
，
，解得，
由，
得，
，為正三角形，
設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為，
則，
，時(shí)等號(hào)成立．
即面積的最大值為，故答案為.
例33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為，b，c．已知，b，c依次成等比數(shù)列，且，延長(zhǎng)邊BC到D，若，則面積的最大值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】∵，
，
∴，①
∵a，b，c依次成等比數(shù)列，
∴，
由正弦定理可得，②
①-②可得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，即
∴為正三角形，設(shè)邊長(zhǎng)a，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)
故答案為
題型十二：與正切有關(guān)的最值問(wèn)題
例34．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在銳角三角形中，角??的對(duì)邊分別為??，且滿足，則的取值范圍為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，所以?br>，
由正弦定理得，所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，，
由，得，，
，
，所以．
故答案為：．
例35．（2023·全國(guó)·高一階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.
(1)求A角的值；
(2)若為銳角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，∵?br>∴，∵，∴，∴，
因?yàn)椋?，?
（2）由正弦定理，
，
∵為銳角三角形，∴，即，，
∴}
∴的取值范圍是.
例36．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．求：
(1)；
(2)的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以,
因?yàn)椋?br>，
因?yàn)?
（2）由正弦定理，
，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，所以的取值范圍是.
變式38．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，
得，
由余弦定理，可得，
又由正弦定理，可得，
所以，
得，又，
所以，所以.
又，
所以，所以.
又，且，故，
所以.
又，所以，得，
所以，
故選：C.
變式39．（2023·安徽合肥·高一合肥市第七中學(xué)校考期中）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】△ABC中，，
由，得，∴；
即，∵，∴，
∴，∴ ，
∴，
∵△ABC為銳角三角形，∴,∴，
∴，
∴,
∴，
故選：D．
變式40．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴所以
因此
設(shè)，∵是銳角三角形，∴，∴
∴，在上單調(diào)遞增，
∴，
故選：C
題型十三：最大角問(wèn)題
例37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問(wèn)題：“設(shè)點(diǎn)M，N是銳角∠AQB的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在QB邊上找一點(diǎn)P，使得∠MPN最大．”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過(guò)M，N兩點(diǎn)且和射線QB相切的圓與射線QB的切點(diǎn)．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)，，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)∠MPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（）
A．1B．－7C．1或－7D．2或－7
【答案】A
【解析】，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，易知，
則經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓的圓心在線段的垂直平分線上，
設(shè)圓心為，則圓的方程為，
當(dāng)取最大值時(shí)，圓必與軸相切于點(diǎn)（由題中結(jié)論得），
則此時(shí)P的坐標(biāo)為，
代入圓的方程得
，解得或，
即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為和，
因?yàn)閷?duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，
又過(guò)點(diǎn)M，N，的圓的半徑大于過(guò)點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，
所以，故點(diǎn)為所求，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
故選：A
例38．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在中，由正弦定理及得：，
即，整理得：，
即，因，則，否則為鈍角，也為鈍角，矛盾，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.
故選：D
例39．（2023·江西上饒·高三上饒中學(xué)校考期中）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，當(dāng)tan(A－B)取最大值時(shí)，角C的值為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，化簡(jiǎn)得.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由于故為銳角，故，所以.故選A.
變式41．（2023·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）最大視角問(wèn)題是1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問(wèn)題，故最大視角問(wèn)題一般稱為“米勒問(wèn)題”．如圖，樹(shù)頂離地面12米，樹(shù)上另一點(diǎn)離地面8米，若在離地面2米的處看此樹(shù)，則的最大值為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則．

設(shè)，在中，．
在中，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
故選：C.
變式42．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中）如圖：已知樹(shù)頂A離地面米，樹(shù)上另一點(diǎn)離地面米，某人在離地面米的處看此樹(shù)，則該人離此樹(shù)（）米時(shí)，看A、的視角最大.
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，
則，
則
又，且余弦函數(shù)在單調(diào)遞減，
則當(dāng)，即時(shí)最大.
即該人離此樹(shù)6米時(shí)，看A、的視角最大.
故選：C
題型十四：費(fèi)馬點(diǎn)、布洛卡點(diǎn)、拿破侖三角形問(wèn)題
例40．（2023·重慶沙坪壩·高一重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）內(nèi)一點(diǎn)O，滿足，則點(diǎn)O稱為三角形的布洛卡點(diǎn)．王聰同學(xué)對(duì)布洛卡點(diǎn)產(chǎn)生興趣，對(duì)其進(jìn)行探索得到許多正確結(jié)論，比如，請(qǐng)你和他一起解決如下問(wèn)題：
(1)若a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，，證明：；
(2)在（1）的條件下，若的周長(zhǎng)為4，試把表示為a的函數(shù)，并求的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)，
在和中，由正弦定理得
又，，
，
，又，
，即．
（2）
，即，
又成等比數(shù)列，設(shè)（公比）（），
，解得：，又，得，
由且，則，故在上遞增，
所以在上為減函數(shù)，易知，
例41．（2023·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問(wèn)題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知在中，已知，，，且點(diǎn)在線段上，且滿足，若點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，?br>由余弦定理可得，
由正弦定理，即，所以，
顯然為銳角，所以，
設(shè)，則，即，
解得，即，
所以，
所以，
又，即為銳角，
所以的三個(gè)內(nèi)角均小于，則為三角形的正等角中心，
所以
，
所以，
因?yàn)?br>.
故選：C
例42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)取到最小值時(shí)，則稱該點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”.當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)滿足如下特征：.如圖，在中，，，則其費(fèi)馬點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和為（）
A．4B．2
C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，為等腰三角形，
，，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
，其費(fèi)馬點(diǎn)到，，三點(diǎn)距離之和為4．
故選：A
變式43．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）拿破侖·波拿巴最早提出了一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)”.在△ABC中，已知，且，，現(xiàn)以BC，AC，AB為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的邊長(zhǎng)為（）
A．3B．2C．D．
【答案】B
【解析】如圖，連接，由題設(shè)，
因?yàn)橐詾檫呄蛲庾魅齻€(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，
所以，，故.
故選：B.
變式44．（2023·河南·高一校聯(lián)考期末）幾何定理：以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形（稱為拿破侖三角形）的頂點(diǎn)．在中，已知，，外接圓的半徑為，現(xiàn)以其三邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，，，則的面積為（）
A．3B．2C．D．
【答案】C
【解析】中，，故，，
故，，，
外接圓圓心為對(duì)應(yīng)等邊三角形的中心，如圖所示，連接，，

則，故，
，，故，
，，則，
根據(jù)對(duì)稱性知：，故為等邊三角形，
其面積.
故選：C.
題型十五：托勒密定理及旋轉(zhuǎn)相似
例43．（2023·江蘇淮安·高一校聯(lián)考期中）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC、BD是其兩條對(duì)角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（）
A．B．16C．D．12
【答案】C
【解析】設(shè)，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因?yàn)椋?br>因此，
.
故選：C.
例44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和．其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，、是其兩條對(duì)角線，，且為正三角形，則四邊形的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因?yàn)?，?br>因此，
.
故選：C.
例45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】連接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于半徑為的圓，
它的對(duì)角互補(bǔ)，所以，
所以,所以，
所以四邊形ABCD的周長(zhǎng)為．
故選：A．
變式45．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）凸四邊形就是沒(méi)有角度數(shù)大于180°的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形ABCD中，，，，，當(dāng)變化時(shí)，對(duì)角線BD的最大值為（）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，，，，
在△ABC中，由余弦定理，得，
由正弦定理，得，∴.
∵，，，
在△BCD中，由余弦定理，得,
∴
，
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，為，
即BD的最大值為.
故選：C.
變式46．（2023·江蘇無(wú)錫·高一江蘇省江陰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，以為邊作等腰直角三角形(為直角頂點(diǎn)，，兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)).當(dāng)角變化時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值是（）
A．3B．4C．5D．9
【答案】A
【解析】中，，，，
在中，由正弦定理得：，
，
在中，
，
當(dāng)時(shí)最大為9，故最大值為3，
故選：A
變式47．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，，，以為邊作等腰直角三角形（為直角頂點(diǎn)，、兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)）.當(dāng)變化時(shí)，線段長(zhǎng)的最大值為（）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】方法一：如圖，將繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，得到，連接，
，，
在中，，，
，，
，
在中，，
當(dāng)點(diǎn) 在上時(shí)，即、、三點(diǎn)共線，此時(shí)有的最大值，
的最大值為：，
，
的最大值為： .
故選：C.

方法二：如圖，設(shè) ，，
在中，由余弦定理可知：，
在中，由余弦定理可知：，
由同角關(guān)系可得：，
，
令，
則
，
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
的最大值為： .
故選：C.

變式48．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD為正三角形，則BCD面積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在ABC中，設(shè)，，
由余弦定理得：，
∵ACD為正三角形，
∴，
，
，
在ABC中，由正弦定理：，
∴，
∴，
∴，
，
∵，∴為銳角，，
∴，
，
當(dāng)時(shí)，．
題型十六：三角形中的平方問(wèn)題
例46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，則△ABC面積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，兩式平方相加得，而，兩式結(jié)合有，再用基本不等式求解.因?yàn)閍2+b2+2c2＝8，
所以，
由余弦定理得，
即①
由正弦定理得，
即②
由①，②平方相加得，
所以，
即，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，取等號(hào).
故選：B
例47．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由得：，
故，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
由于 ,故，
則，則，
故答案為：
例48．（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測(cè)）秦九韶是我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從陽(yáng)，開(kāi)平方得積．”如果把以上這段文字寫成公式就是，其中a，b，c是的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，且，則面積S的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，得，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.
故選：B
變式49．（2023·河南洛陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由余弦定理知，
因?yàn)榍?，可得，即?br>又由，可得，
因?yàn)?，所以，解得?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為，
所以的面積的最大值為．
故選：B.
變式50．（2023·云南·統(tǒng)考一模）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、.若，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依題意，
由余弦定理得，，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
即為銳角，，，
，
所以的最大值為.
故選：B
變式51．（2023·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊，，滿足，則的取值范圍（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
設(shè)（），由得，
由得，兩邊除以得，解得（因?yàn)椋?br>由得，兩邊同除以得，解得，
由得，兩邊除以得，此不等式恒成立，
綜上．
故選：A．
變式52．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角三角形 ABC 中，已知，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正弦定理，得：，
如圖，作BD⊥AC于D，設(shè)AD＝x，CD＝y(tǒng)，BD＝h，
因?yàn)椋裕?br>化簡(jiǎn)，得：，解得：，
，，
，
＝
＝＝，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.
故選：C
題型十七：等面積法、張角定理
例49．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別是，內(nèi)角的角平分線交邊于點(diǎn)，且．若，則面積的最小值是（）
A．16B．C．64D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由題可知，，
所以，即，
又，即，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
所以.
故選：B.
例50．（2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知△ABC的面積為, ∠BAC=, AD是△ABC的角平分線, 則AD長(zhǎng)度的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】中，∠BAC=, AD是角平分線得
，，
而
因此
得
而，
所以
故選D項(xiàng).
例51．（2023·上海寶山·高三上海市吳淞中學(xué)校考期中）給定平面上四點(diǎn)滿足，則面積的最大值為_(kāi)______.
【答案】
【解析】，，，
，
，
設(shè)到的距離為，則由等面積可得，
，
面積的最大值為．
故答案為：．
變式53．（2023·安徽·高一安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，是的角平分線，且交于點(diǎn).若的面積為，則的最大值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】

設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.
因?yàn)?，所?
由已知可得，.
又，，
即，
整理得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故AM的最大值為.
故答案為：.
變式54．（2023·江西新余·高一新余市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別是，內(nèi)角的角平分線交邊于點(diǎn)，且.若，則面積的最小值是______.
【答案】
【解析】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由題可知，，
所以，即，
又，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
所以，
即面積的最小值是.
故答案為：
變式55．（2023·江西九江·高一德安縣第一中學(xué)?？计谥校┲校慕瞧椒志€交AC于D點(diǎn)，若且，則面積的最小值為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】因?yàn)?，為的角平分線，
所以，又，
故由三角形面積公式可得，
，
，
又，
所以，
由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以面積的最小值為.
故答案為：.
變式56．（2023·湖北武漢·高一華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期中）已知中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，，的角平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)__．
【答案】
【解析】因?yàn)?，的角平分線交于點(diǎn)，且，
因?yàn)椋矗?br>即，即，所以，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.
故答案為：.
變式57．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，的角平分線交于點(diǎn)D．若，則的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】
對(duì)用正弦定理，可得，設(shè)，，由于為三角形內(nèi)角，則，由可得，，整理得，，對(duì)，由余弦定理，，即，故，即，于是，根據(jù)基本不等式，，即，結(jié)合，解得，即，于是.
故答案為：
變式58．（2023·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中校考階段練習(xí)）已知，，為上一點(diǎn)，且為的角平分線，則的最小值為_(kāi)__________.
【答案】16
【解析】
為的角平分線，，
由等面積法，
所以，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即最小值為16.
故答案為：16

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