2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
重難點突破01 概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用
目錄
題型一：決策問題
例1．（2023·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？计谥校?jù)悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，?？歼^程中達到筆試優(yōu)秀才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達到優(yōu)秀相互獨立．若某考生報考甲大學(xué)，每門科目達到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報考乙大學(xué)，每門科目達到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中．
(1)若，分別求出該考生報考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達到優(yōu)秀的概率；
(2)強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優(yōu)秀科目個數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍．
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會后，由一名高山滑雪運動員甲組成的專業(yè)隊，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊中的兩名隊員輪流與甲進行比賽，若甲連續(xù)贏兩場則專業(yè)隊獲勝；若甲連續(xù)輸兩場則業(yè)余隊獲勝；若比賽三場還沒有決出勝負，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場比賽相互獨立，每場比賽都分出勝負，且甲與乙比賽，甲贏的概率為，甲與丙比賽，甲贏的概率為，其中．
(1)若第一場比賽，業(yè)余隊可以安排乙與甲進行比賽，也可以安排丙與甲進行比賽．請分別計算兩種安排下業(yè)余隊獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙還是丙與甲進行比賽？
(2)為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時，勝隊獲獎金6萬元，負隊獲獎金3萬元；若平局，兩隊各獲獎金3.6萬元．在比賽前，已知業(yè)余隊采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎金金額共計X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍．
例3．（2023·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習(xí)）2020年以來，新冠疫情對商品線下零售影響很大．某商家決定借助線上平臺開展銷售活動．現(xiàn)有甲、乙兩個平臺供選擇，且當(dāng)每件商品的售價為元時，從該商品在兩個平臺所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機抽取100天的日銷售量統(tǒng)計如下，
假設(shè)該商品在兩個平臺日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響，
(1)求“甲平臺日銷售量不低于8件”的概率，并計算“從甲平臺所有銷售數(shù)據(jù)中隨機抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平臺的收費方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺收費30元；乙平臺的收費方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費40元，超過8件的部分，每件收費35元．某商家決定在兩個平臺中選擇一個長期合作，從日銷售收入（單價×日銷售量-平臺費用）的期望值較大的角度，你認為該商家應(yīng)如何決策？說明理由．
變式1．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某學(xué)校舉行“百科知識”競賽，每個班選派一位學(xué)生代表參加.某班經(jīng)過層層選拔，李明和王華進入最后決賽，決賽方式如下：給定個問題，假設(shè)李明能且只能對其中個問題回答正確，王華對其中任意一個問題回答正確的概率均為.由李明和王華各自從中隨機抽取個問題進行回答，而且每個人對每個問題的回答均相互獨立.
(1)求李明和王華回答問題正確的個數(shù)均為的概率；
(2)設(shè)李明和王華回答問題正確的個數(shù)分別為和，求的期望?和方差?，并由此決策派誰代表該班參加競賽更好.
變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)某地區(qū)氣象水文部門長期統(tǒng)計，可知該地區(qū)每年夏季有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.05．今年夏季該地區(qū)某工地有許多大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失20000元，為保護設(shè)備，有以下3種方案：
方案1：修建保護圍墻，建設(shè)費為3000元，但圍墻只能防小洪水；
方案2：修建保護大壩，建設(shè)費為7000元，能夠防大洪水；
方案3：不采取措施
工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？
題型二：道路通行問題
例4．（2023·重慶·高三重慶市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）月日位于重慶朝天門的來福士廣場開業(yè)，成了網(wǎng)紅城市的又一打卡勝地重慶育才謝家灣校區(qū)與來福士之間的駕車往返所需時間為，只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：
以這次駕車往返所需時間的頻率代替某人次駕車往返所需時間的概率．
（1）記的期望為，求；
（2）某天有位教師獨自駕車從謝家校區(qū)返于來福士，記表示這位教師中駕車所用時間少于的人數(shù)，求X的分布列與．
例5．（2023·湖北·統(tǒng)考一模）交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有五個級別：，暢通；，基本暢通；，輕度擁堵；，中度擁堵；，嚴(yán)重擁堵.在晚高峰時段（），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重擁堵的路段的個數(shù)；
(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴(yán)重擁堵的路段中共抽取6個路段，求依次抽取的三個級別路段的個數(shù)；
(3)從(2)中抽取的6個路段中任取2個，求至少有1個路段為輕度擁堵的概率.
例6．（2023·四川眉山·高三四川省眉山第一中學(xué)階段練習(xí)）隨著我國經(jīng)濟的不斷深入發(fā)展，百姓的生活也不斷的改善，尤其是近幾年汽車進入了千家萬戶，這也給城市交通造成了很大的壓力，為此交警部門通過對交通擁堵的研究提出了交通擁堵指數(shù)這一全新概念，交通擁堵指數(shù)簡稱交通指數(shù)，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念．記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有5個級別：暢通；基本暢通；輕度擁堵；中度擁堵；嚴(yán)重擁堵．早高峰時段（T≥3），從北京市交通指揮中心隨機選取了五環(huán)以內(nèi)50個交通路段，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的部分頻率分布直方圖如圖所示：
（1）據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)T∈[4，8）時的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）據(jù)此直方圖求出早高峰二環(huán)以內(nèi)的3個路段至少有兩個嚴(yán)重擁堵的概率是多少？
（3）某人上班路上所用時間若暢通時為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為35分鐘，中度擁堵為45分鐘，嚴(yán)重擁堵為60分鐘，求此人所用時間的數(shù)學(xué)期望．
變式3．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“低碳出行”，一種降低“碳”的出行，以低能耗、低污染為基礎(chǔ)，是環(huán)保的深層次體現(xiàn)，在眾多發(fā)達國家被廣大民眾接受并執(zhí)行，S市即將投放一批公共自行車以方便市民出行，減少污染，緩解交通擁堵，現(xiàn)先對100人做了是否會考慮選擇自行車出行的調(diào)查，結(jié)果如下表.
（1）如果把45周歲以下人群定義為“青年”，完成下列列聯(lián)表，并問你有多少把握認為該地區(qū)市民是否考慮單車與他（她）是不是“青年人”有關(guān)?
參考：，
（2）S市為了鼓勵大家騎自行車上班，為此還專門在幾條平時比較擁堵的城市主道建有無障礙自行車道，該市市民小明家離上班地點10km，現(xiàn)有兩種.上班方案給他選擇；
方案一：選擇自行車，走無障礙自行車道以19km/h的速度直達上班地點.
方案二：開車以30km/h的速度上班，但要經(jīng)過A、B、C三個易堵路段，三個路段堵車的概率分別是，，，且是相互獨立的，并且每次堵車的時間都是10分鐘（假設(shè)除了堵車時間其他時間都是勻速行駛）
若僅從時間的角度考慮，請你給小明作一個選擇，并說明理由.
變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某人某天的工作是駕車從地出發(fā)，到兩地辦事，最后返回地，,三地之間各路段行駛時間及擁堵概率如下表
若在某路段遇到擁堵，則在該路段行駛時間需要延長1小時．
現(xiàn)有如下兩個方案：
方案甲：上午從地出發(fā)到地辦事然后到達地，下午從地辦事后返回地；
方案乙：上午從地出發(fā)到地辦事，下午從地出發(fā)到達地，辦完事后返回地．
（1）若此人早上8點從地出發(fā)，在各地辦事及午餐的累積時間為2小時，且采用方案甲，求他當(dāng)日18點或18點之前能返回地的概率．
（2）甲乙兩個方案中，哪個方案有利于辦完事后更早返回地？請說明理由.
題型三：保險問題
例7．（2023·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某單位有員工50000人，一保險公司針對該單位推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：
對于，，三類工種，職工每人每年保費分別為元?元?元，出險后的賠償金額分別為100萬元?100萬元?50萬元，保險公司在開展此項業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年20萬元.
（1）若保險公司要求每年收益的期望不低于保費的，證明：.
（2）現(xiàn)有如下兩個方案供單位選擇：方案一：單位不與保險公司合作，職工不交保險，出意外后單位自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開展這項工作的固定支出為每年35萬元；方案二：單位與保險公司合作，，，單位負責(zé)職工保費的，職工個人負責(zé)，出險后賠償金由保險公司賠付，單位無額外專項開支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.
例8．（2023·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考三模）已知某保險公司的某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
隨機調(diào)查了該險種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到下表：
該保險公司這種保險的賠付規(guī)定如下：
將所抽樣本的頻率視為概率．
（1）求本年度續(xù)保人保費的平均值的估計值；
（2）按保險合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險3次，則可獲得賠付元；若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險6次，則可獲得賠付元；依此類推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計值．
例9．（2023·廣東深圳·高三校聯(lián)考期末）已知某保險公司的某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
隨機調(diào)查了該險種的名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到下表：
該保險公司這種保險的賠付規(guī)定如下：
將所抽樣本的頻率視為概率.
（1）求本年度續(xù)保人保費的平均值的估計值；
（2）按保險合同規(guī)定，若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險次，則可獲得賠付元；依此類推，求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計值；
（3）續(xù)保人原定約了保險公司的銷售人員在上午之間上門簽合同，因為續(xù)保人臨時有事，外出的時間在上午之間，請問續(xù)保人在離開前見到銷售人員的概率是多少？
變式5．（2023·山東濰坊·校聯(lián)考一模）某保險公司針對一個擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000、6000、2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）：
已知、、三類工種職工每人每年保費分別為25元、25元、40元，出險后的賠償金額分別為100萬元、100萬元、50萬元，保險公司在開展此業(yè)務(wù)的過程中固定支出每年10萬元.
（1）求保險公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤的期望值；
（2）現(xiàn)有如下兩個方案供企業(yè)選擇：
方案1：企業(yè)不與保險公司合作，職工不交保險，出意外企業(yè)自行拿出與保險公司提供的等額賠償金賠償付給出意外的職工，企業(yè)開展這項工作的固定支出為每年12萬元；
方案2：企業(yè)與保險公司合作，企業(yè)負責(zé)職工保費的，職工個人負責(zé)，出險后賠償金由保險公司賠付，企業(yè)無額外專項開支.
根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.
變式6．（2023·全國·高考真題）購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10 000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為．
（Ⅰ）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率；
（Ⅱ）設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費（單位：元）．
變式7．（2023·北京豐臺·高三統(tǒng)考期末）某市醫(yī)療保險實行定點醫(yī)療制度，按照“就近就醫(yī)、方便管理”的原則，參加保險人員可自主選擇四家醫(yī)療保險定點醫(yī)院和一家社區(qū)醫(yī)院作為本人就診的醫(yī)療機構(gòu)，若甲、乙、丙、丁4名參加保險人員所在地區(qū)附近有三家社區(qū)醫(yī)院，并且他們的選擇是等可能的、相互獨立的
(1)求甲、乙兩人都選擇A社區(qū)醫(yī)院的概率；
(2)求甲、乙兩人不選擇同一家社區(qū)醫(yī)院的概率；
(3)設(shè)4名參加保險人員中選擇A社區(qū)醫(yī)院的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
題型四：概率最值問題
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某電子工廠生產(chǎn)一種電子元件，產(chǎn)品出廠前要檢出所有次品.已知這種電子元件次品率為0.01，且這種電子元件是否為次品相互獨立.現(xiàn)要檢測3000個這種電子元件，檢測的流程是：先將這3000個電子元件分成個數(shù)相等的若干組，設(shè)每組有個電子元件，將每組的個電子元件串聯(lián)起來，成組進行檢測，若檢測通過，則本組全部電子元件為正品，不需要再檢測；若檢測不通過，則本組至少有一個電子元件是次品，再對本組個電子元件逐一檢測.
（1）當(dāng)時，估算一組待檢測電子元件中有次品的概率；
（2）設(shè)一組電子元件的檢測次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；
（3）估算當(dāng)為何值時，每個電子元件的檢測次數(shù)最小，并估算此時檢測的總次數(shù)（提示：利用進行估算）.
例11．（2023·江西新余·高三新余市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）現(xiàn)如今國家大力提倡養(yǎng)老社會化、市場化，老年公寓是其養(yǎng)老措施中的一種能夠滿足老年人的高質(zhì)量、多樣化、專業(yè)化生活及療養(yǎng)需求.某老年公寓負責(zé)人為了能給老年人提供更加良好的服務(wù)，現(xiàn)對所入住的 120 名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間類型情況如下表所示：
(1)若按入住房間的類型采用分層抽樣的方法從這 120 名老年人中隨機抽取 10 人，再從這10人中隨機抽取4 人進行詢問，記隨機抽取的4 人中入住單人間的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(2)記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見時要求把入住單人間的2人和入住多人間的且人組成一組，負責(zé)人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人入住房間類型相同，則該組標(biāo)為，否則該組標(biāo)為.記詢問的某組被標(biāo)為的概率為.
（i）試用含的代數(shù)式表示;
（ii）若一共詢問了5組，用表示恰有3組被標(biāo)為的概率，試求的最大值及此時的值.
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推進素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.
(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？
(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點.
變式8．（2023·山東濰坊·高三?？茧A段練習(xí)）今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病例，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多．9月19日，中國疾控中心發(fā)布了我國首例“輸入性猴痘病例”的溯源公告．我國作為為人民健康負責(zé)任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力．據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學(xué)觀察21天．在醫(yī)學(xué)觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大．對該國家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學(xué)觀察結(jié)束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：
(1)是否有的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；
(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學(xué)現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率．現(xiàn)從該國所有結(jié)束醫(yī)學(xué)觀察的密切接觸者中隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：
(3)該國現(xiàn)有一個中風(fēng)險村莊，當(dāng)?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測．每名成員進行檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立．記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當(dāng)為何值時，最大？附：
變式9．（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)?？寄M預(yù)測）進入冬季，某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率為，且每人是否感染這種病毒相互獨立．
(1)記100個人中恰有5人感染病毒的概率是，求的最大值點；
(2)為確保校園安全，某校組織該校的6000名師生做病毒檢測，如果對每一名師生逐一檢測，就需要檢測6000次，但實際上在檢測時都是按人一組分組，然后將各組k個人的檢測樣本混合再檢測．如果混合樣本呈陰性，說明這k個人全部陰性；如果混合樣本呈陽性，說明其中至少有一人檢測呈陽性，就需要對該組每個人再逐一檢測一次．當(dāng)p取時，求k的值，使得總檢測次數(shù)的期望最少．
題型五：放回與不放回問題
例13．（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某中學(xué)為了解學(xué)生課外玩網(wǎng)絡(luò)游戲（俗稱“網(wǎng)游”）的情況，使調(diào)查結(jié)果盡量真實可靠，決定在高一年級采取如下“隨機回答問題”的方式進行問卷調(diào)查：一個袋子中裝有6個大小相同的小球，其中2個黑球，4個紅球，所有學(xué)生從袋子中有放回地隨機摸球兩次，每次摸出一球，約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式①回答問卷，否則按方式②回答問卷”.
方式①：若第一次摸到的是紅球，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”.
方式②：若你課外玩網(wǎng)游，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”.
當(dāng)所有學(xué)生完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計畫“√”，畫“×”的比例，用頻率估計概率.
(1)若高一某班有45名學(xué)生，用X表示其中按方式①回答問卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.
(2)若所有調(diào)查問卷中，畫“√”與畫“×”的比例為1∶2，試用所學(xué)概率知識求該中學(xué)高一年級學(xué)生課外玩網(wǎng)游的估計值.（估計值）
例14．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，甲盒中有3個紅球和1個白球，乙盒中有2個紅球和2個白球，所有的球除顏色外都相同.某人隨機選擇一個盒子，并從中隨機摸出2個球觀察顏色后放回，此過程為一次試驗.重復(fù)以上試驗，直到某次試驗中摸出2個紅球時，停止試驗.
(1)求一次試驗中摸出2個紅球的概率；
(2)在3次試驗后恰好停止試驗的條件下，求累計摸到2個紅球的概率.
例15．（2023·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)校考開學(xué)考試）某公司使用甲、乙兩臺機器生產(chǎn)芯片，已知每天甲機器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的六成，且合格率為；乙機器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的四成，且合格率為，已知兩臺機器生產(chǎn)芯片的質(zhì)量互不影響. 現(xiàn)對某天生產(chǎn)的芯片進行抽樣.
(1)從所有芯片中任意抽取一個，求該芯片是不合格品的概率；
(2)現(xiàn)采用有放回的方法隨機抽取3個芯片，記其中由乙機器生產(chǎn)的芯片的數(shù)量為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
變式10．（2023·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)校考開學(xué)考試）中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開，為弘揚中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知識”競賽活動.競賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道A類試題得10分；每答對1道B類試題得20分，答錯都不得分.每位參加競賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）.已知小明同學(xué)A類試題中有7道題會作答，而他答對各道B類試題的概率均為.
(1)若小明同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率；
(2)若小明只作答A類試題，設(shè)X表示小明答這3道試題的總得分，求X的分布列和期望.
變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某商場在周年慶活動期間為回饋新老顧客，采用抽獎的形式領(lǐng)取購物卡.該商場在一個紙箱里放15個小球（除顏色外其余均相同）：3個紅球、5個黃球和7個白球，每個顧客不放回地從中拿3次，每次拿1個球，每拿到一個紅球獲得一張類購物卡，每拿到一個黃球獲得一張類購物卡，每拿到一個白球獲得一張類購物卡.
(1)已知某顧客在3次中只有1次抽到白球的條件下，求至多有1次抽到紅球的概率；
(2)設(shè)拿到紅球的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
題型六：體育比賽問題
例16．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）最是一年春好處，運動健兒滿華附.為吸引同學(xué)們積極參與運動，鼓勵同學(xué)們持之以恒地參與鍛煉，養(yǎng)成良好的習(xí)慣，弘揚“無體育，不華附”的精神理念，2023年3月華附舉辦了春季運動會.春季運動會的集體項目要求每個學(xué)生在足球繞桿、踢毽子和跳大繩3個項目中任意選擇一個參加.來自高三的某學(xué)生為了在此次春季運動會中取得優(yōu)秀成績，決定每天訓(xùn)練一個集體項目.第一天在3個項目中任意選一項開始訓(xùn)練，從第二天起，每天都是從前一天沒有訓(xùn)練的2個項目中任意選一項訓(xùn)練.
(1)若該學(xué)生進行了3天的訓(xùn)練，求第三天訓(xùn)練的是“足球繞桿”的概率.
(2)設(shè)該學(xué)生在賽前最后6天訓(xùn)練中選擇“跳大繩”的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
例17．（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目之一．冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線MN的左側(cè)）有一個發(fā)球區(qū)，運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心O的遠近決定勝負，甲、乙兩人進行投擲冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓O中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)A中，得2分，冰壺的重心落在圓環(huán)B中，得1分，其余情況均得0分．已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互不影響，甲、乙得3分的概率分別為，；甲、乙得2分的概率分別為，；甲、乙得1分的概率分別為，．
(1)求甲、乙兩人所得分?jǐn)?shù)相同的概率；
(2)設(shè)甲、乙兩人所得的分?jǐn)?shù)之和為X，求X的分布列和期望．
例18．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生的運動興趣，增強學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個年級之間進行單循環(huán)比賽，每個年級各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學(xué)），比賽時一個年級領(lǐng)先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負．已知高三每位隊員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對手的可能性均為，高三每位隊員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，高二每位隊員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，且隊員、年級之間的勝負相互獨立．
(1)求高二年級與高一年級比賽時，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級的概率．
(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．
變式12．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32支球隊參加，歐洲球隊有13支：其中有5支歐洲球隊闖入8強.比賽進入淘汰賽階段后，必須要分出勝負.淘汰賽規(guī)則如下：在比賽常規(guī)時間90分鐘內(nèi)分出勝負；比賽結(jié)束，若比分相同.則進入30分鐘的加時賽.在加時賽分出勝負，比賽結(jié)束，若加時賽比分依然相同，就要通過點球大戰(zhàn)來分出最后的勝負.點球大戰(zhàn)分為2個階段，第一階段：共5輪，雙方每輪各派1名球員，依次踢點球，以5輪的總進球數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，5輪合計踢進點球數(shù)更多的球隊獲得比賽的勝利.如果第一階段的5輪還是平局，則進入第二階段：在該階段雙方每輪各派1名球員，依次踢點球，如果在一輪里，雙方都進球或者雙方都不進球，則繼續(xù)下一輪，直到某一輪里，一方罰進點球，另一方?jīng)]罰進，比賽結(jié)束，罰進點球的一方獲得最終的勝利.
(1)根據(jù)題意填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷32支決賽圈球隊“闖入8強”與“是歐洲球隊”是否有關(guān).
(2)甲、乙兩隊在淘汰賽相遇，經(jīng)過120分鐘比賽未分出勝負，雙方進入點球大戰(zhàn).已知甲隊球員每輪踢進點球的概率為，乙隊球員每輪踢進點球的概率為，每輪每隊是否進球相互獨立，在點球大戰(zhàn)中，兩隊前3輪比分為，試求出甲隊在第二階段第一輪結(jié)束后獲得最終勝利的概率.
參考公式：.
變式13．（2023·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）為了豐富學(xué)生的課外活動，某中學(xué)舉辦羽毛球比賽，經(jīng)過三輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位先贏得三局比賽時，則該選手獲勝，則比賽結(jié)束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在每一局獲勝的概率均為.
(1)若比賽進行三局就結(jié)束的概率為，求的最小值；
(2)記（1）中，取得最小值時，的值為，以作為的值，用表示甲、乙實際比賽的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
題型七：幾何問題
例19．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二〇中學(xué)?？寄M預(yù)測）某人玩一項有獎游戲活動，其規(guī)則是：有一個質(zhì)地均勻的正四面體（每個面均為全等的正三角形的三棱錐），四個面上分別刻著1，2，3，4，拋擲該正四面體5次，記錄下每次與地面接觸的面上的數(shù)字.
(1)求接觸面上的5個數(shù)的乘積能被4整除的概率；
(2)若每次拋擲到接觸地面的數(shù)字為3時獎勵200元，否則倒罰100元，
①設(shè)甲出門帶了1000元來參加該游戲，記游戲后甲身上的錢為X元，求；
②若在游戲過程中，甲決定當(dāng)自己贏了的錢一旦不低于300元時立即結(jié)束游戲，求甲不超過三次就結(jié)束游戲的概率.
例20．（2023·江西·高考真題）如圖，從，，，，，，這6個點中隨機選取3個點．（1）求這3點與原點恰好是正三棱錐的四個頂點的概率；（2）求這3點與原點共面的概率．
例21．（2023·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，三棱錐的外接球半徑.

(1)求三棱錐的側(cè)面積的最大值；
(2)若在底面上，有一個小球由頂點處開始隨機沿底邊自由滾動，每次滾動一條底邊，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為；當(dāng)球在頂點處時，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為；當(dāng)球在頂點處時，滾向頂點的概率為，滾向頂點的概率為.若小球滾動3次，記球滾到頂點處的次數(shù)為，求數(shù)學(xué)期望的值.
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，設(shè)隨機變量表示所得三角形的面積.
（1）求概率的值；
（2）求隨機變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.
題型八：彩票問題
例22．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在一種稱為“幸運35”的福利彩票中，規(guī)定從01，02，…，35這35個號碼中任選7個不同號碼組成一注，并通過搖獎機從這35個號碼中搖出7個不同的號碼作為特等獎.與特等獎號碼僅6個相同的為一等獎，僅5個相同的為二等獎，僅4個相同的為三等獎，其他的情況不得獎比.為了便于計算，假定每個投注號只有1次中獎機會（只計獎金額最大的獎），該期的每組號碼均有人買，且彩票無重復(fù)號碼比.若每注彩票為2元，特等獎獎金為100萬元/注，一等獎獎金為1萬元/注，二等獎獎金為100元/注，三等獎獎金為10元/注，試求：
(1)獎金額X（元）的概率分布；
(2)這一期彩票售完可以為福利事業(yè)籌集多少資金（不計發(fā)售彩票的費用）？
例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）中國福利彩票雙色球游戲規(guī)則是由中華人民共和國財政部制定的規(guī)則，是一種聯(lián)合發(fā)行的“樂透型”福利彩票.“雙色球”彩票投注區(qū)分為紅色球號碼區(qū)和藍色球號碼區(qū)，“雙色球”每注投注號碼由6個紅色球號碼和1個藍色球號碼組成，紅色球號碼從1—33中選擇；藍色球號碼從1—16中選擇.“雙色球”獎級設(shè)置分為高等獎和低等獎，一等獎和二等獎為高等獎，三至六等獎為低等獎.“雙色球”彩票以投注者所選單注投注號碼與當(dāng)期開出中獎號碼相符的球色和個數(shù)確定中獎等級：
一等獎：7個號碼相符（6個紅色球號碼和1個藍色球號碼）（紅色球號碼順序不限，下同）；
二等獎：6個紅色球號碼相符；
三等獎：5個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；
四等獎：5個紅色球號碼，或4個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；
五等獎：4個紅色球號碼，或3個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；
六等獎：1個藍色球號碼相符（有無紅色球號碼相符均可）.
（1）求中三等獎的概率（結(jié)果用a表示）；
（2）小王買了一注彩票，在已知小王中了高等獎的條件下，求小王中二等獎的概率.
參考數(shù)據(jù)：
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張．1張彩票可能中獎金額的均值是多少元？
變式15．（2023·高二課時練習(xí)）某人花2元錢買彩票，他抽中100元獎的概率是0.1%，抽中10元獎的概率是1%，抽中1元獎的概率是20%，假設(shè)各種獎不能同時抽中，試求：
(1)此人收益的概率分布；
(2)此人收益的期望值．
變式16．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)某個福利彩票方案，每注彩票號碼都是從1~37這37個數(shù)中選取7個數(shù).如果所選7個數(shù)與開出的7個數(shù)一樣（不管排列順序），彩票即中一等獎.
（1）多少注不同號碼的彩票可有一個一等獎？
（2）如果要將一等獎的中獎機會提高到以上且不超過，可在37個數(shù)中取幾個數(shù)？
題型九：納稅問題
例25．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）自2019年1月1日起，對個人所得稅起征點和稅率進行調(diào)整.調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減去5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額．依照個人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計算方法如表：
(1)假如李先生某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記x表示總收入，y表示應(yīng)納的稅，試分別求出調(diào)整前和調(diào)整后y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
(2)某稅務(wù)部門在李先生所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：
先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選2人作為新納稅法知識宣講員，求選中的2人收入都在的概率；
例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）個人所得稅起征點是個人所得稅工薪所得減除費用標(biāo)準(zhǔn)或免征額，個稅起征點與個人稅負高低的關(guān)系最為直接，因此成為廣大工薪階層關(guān)注的焦點.隨著我國人民收入的逐步增加，國家稅務(wù)總局綜合考慮人民群眾消費支出水平增長等各方面因素，規(guī)定從2019年1月1日起，我國實施個稅新政.實施的個稅新政主要內(nèi)容包括: ①個稅起征點為元②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除; ③專項附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計算方法及其對應(yīng)的稅率表如下:
隨機抽取某市名同一收入層級的無親屬關(guān)系的男性互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者(以下互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都是指無親屬關(guān)系的男性)的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計分析，預(yù)估他們2022年的人均月收入為元.統(tǒng)計資料還表明，他們均符合住房專項扣除，同時他們每人至多只有一個符合子女教育扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是.此外，他們均不符合其他專項附加扣除.新個稅政策下該市的專項附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為:住房元/月，子女教育每孩元/月，贍養(yǎng)老人元/月等.假設(shè)該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入.根據(jù)樣本估計總體的思想，解決下列問題.
（1）按新個稅方案，設(shè)該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年月繳個稅為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
（2）根據(jù)新舊個稅方案，估計從2022年1月開始，經(jīng)過幾個月，該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者各月少繳的個稅之和就能購買一臺價值為元的華為智慧屏巨幕電視?
例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）隨著改革開放的不斷深入，祖國不斷富強，人民生活水平逐步提高，為了進一步改善民生，2019年1月1日起我國實施了個人所得稅的新政策，新政策的主要內(nèi)容包括：①個稅起征點為5000元；②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)=(收入)-(個稅起征點)-(專項附加扣除)；③專項附加扣除包括贍養(yǎng)老人?子女教育?繼續(xù)教育?大病醫(yī)療等.新個稅政策下贍養(yǎng)老人的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：獨生子女每月扣除2000元，非獨生子女與其兄弟姐妹按照每月2000元的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)偪鄢?，但每個人的分?jǐn)傤~度不能超過1000元；子女教育的扣除標(biāo)準(zhǔn)為：每個子女每月扣除1000元(可由父母中的一方扣除，或者父母雙方各扣除500元)稅率表如下：
（1）稅務(wù)部門在小李所在公司用分層抽樣方法抽取某月100位不同層次員工的稅前收入，并制成如圖的頻率分布直方圖.
（i）請根據(jù)頻率分布直方圖估計該公司員工稅前收入的中位數(shù)；
（ii）同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表，在不考慮他們的專項附加扣除的情況下，甲?乙兩位同學(xué)用如下兩種方法估計小李所在的公司員工該月平均納稅，請判斷哪位同學(xué)的方法是正確的，不需說明理由.甲同學(xué)：(元)；乙同學(xué)：先計算收入的均值(元)，再利用均值計算平均納稅為：(元)
（2）為研究某城市月薪為20000元群體的納稅情況，現(xiàn)收集了該城市500名公司白領(lǐng)(每人至多1個孩子)的相關(guān)資料，通過整理數(shù)據(jù)知道：這500人中有一個孩子符合子女教育專項附加扣除(假定由他們各自全部扣除)的有400人，不符合子女教育專項附加扣除的人有100人，符合子女專項附加扣除的人中有300人也符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除，不符合子女專項附加扣除的人中有50人符合贍養(yǎng)老人專項附加扣除，并且他們均不符合其他專項附加扣除(統(tǒng)計的500人中，任何兩人均不在一個家庭且為獨生子女).若他們的月收入均為20000元，依據(jù)樣本估計總體的思想，試估計在新個稅政策下這類人群每月應(yīng)繳納個稅金額(單位：元)的分布列與期望.
變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）企業(yè)在商業(yè)活動中有依法納稅的基本義務(wù)，不依法納稅叫做逃稅，是一種違法行為．某地區(qū)有2萬家企業(yè)，政府部門抽取部分企業(yè)統(tǒng)計其去年的收入，得到下面的頻率分布表．根據(jù)當(dāng)?shù)卣呔C合測算，企業(yè)應(yīng)繳的稅額約為收入的5%，而去年該地區(qū)企業(yè)實際繳稅的總額為291億元．
（1）估計該地區(qū)去年收入大于等于4千萬元的企業(yè)數(shù)量；
（2）估計該地區(qū)企業(yè)去年的平均收入，并以此估計該地區(qū)逃稅的企業(yè)數(shù)量；
（3）根據(jù)統(tǒng)計，該地區(qū)企業(yè)逃稅被查出來的概率為0.3，被查出逃稅的企業(yè)除了要補繳稅款以外，還會被處以應(yīng)繳稅額倍的罰款，從企業(yè)逃稅的獲益期望考慮，至少定為多少，才能對逃稅行為起到懲罰作用？
注：每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表，假設(shè)逃稅的企業(yè)繳稅額為0，未逃稅的企業(yè)都足額繳稅．
變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）隨著經(jīng)濟的發(fā)展，個人收入的提高，自2019年1月1日起，個人所得稅起征點和稅率的調(diào)整，調(diào)整如下：納稅人的工資、薪資所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額，依照個人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計算方法如下表：
（1）假如小紅某月的工資、薪資等所得稅前收入總和不高于10000元，記表示總收入，表示應(yīng)納的稅，試寫出調(diào)整前后關(guān)于的函數(shù)表達式；
（2）某稅務(wù)部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：
①先從收入在[3000，5000）及[5000，7000）的人群中按分層抽樣抽取6人，再從中選3人作為新納稅法知識宣講員，用表示抽到作為宣講員的收入在[3000，5000）元的人數(shù)，表示抽到作為宣講員的收入在[5000，7000）元的人數(shù)，隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
②小紅該月的工資、薪資等稅前收入為8500元時，請你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實際收入比調(diào)整前增加了多少？
題型十：疾病問題
例28．（2023·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對某款血液試劑進行試生產(chǎn).
(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款血液試劑在生產(chǎn)中，經(jīng)過前三道工序后的次品率為.第四道工序中智能自動檢測為次品的血液試劑會被自動淘汰，合格的血液試劑進入流水線并由工人進行抽查檢驗.
已知批次I的血液試劑智能自動檢測顯示合格率為98%，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個血液試劑恰為合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：設(shè)隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有.藥廠宣稱該血液試劑對檢測某種疾病的有效率為，現(xiàn)隨機選擇了100份血液樣本，使用該血液試劑進行檢測，每份血液樣本檢測結(jié)果相互獨立，顯示有效的份數(shù)不超過60份，請結(jié)合切比雪夫不等式，通過計算說明該企業(yè)的宣傳內(nèi)容是否真實可信.
例29．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）衛(wèi)生檢疫部門在進行病毒檢疫時常采用“混采檢測”或“逐一檢測”的形式進行，某興趣小組利用“混采檢測”進行試驗，已知6只動物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗來確定患病的動物，血液化驗結(jié)果呈陽性的為患病動物，下面是兩種化驗方案：
方案甲：將各動物的血液逐個化驗，直到查出患病動物為止.
方案乙：先取4只動物的血液混在一起化驗，若呈陽性，則對這4只動物的血液再逐個化驗，直到查出患病動物；若不呈陽性，則對剩下的2只動物再逐個化驗，直到查出患病動物.
(1)用表示依方案甲所需化驗次數(shù)，求變量的期望；
(2)求依方案甲所需化驗次數(shù)少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率.
例30．（2023·遼寧·高三東北育才學(xué)校校聯(lián)考開學(xué)考試）某單位有名職工，通過抽驗篩查一種疾病的患者．假設(shè)患疾病的人在當(dāng)?shù)厝巳褐械谋壤秊?專家建議隨機地按（且為的正因數(shù)）人一組分組，然后將各組個人的血樣混合再化驗. 如果混管血樣呈陰性，說明這個人全部陰性；如果混管血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次.設(shè)該種方法需要化驗的總次數(shù)為.
(1)當(dāng)時，求的取值范圍并解釋其實際意義；
(2)現(xiàn)對混管血樣逐一化驗，至化驗出陽性樣本時停止，最多化驗次.記為混管的化驗次數(shù)，當(dāng)足夠大時，證明：；
(3)根據(jù)經(jīng)驗預(yù)測本次檢測時個人患病的概率，當(dāng)時，按照計算得混管數(shù)量的期望；某次檢驗中，試判斷個人患病的概率為是否合理.（如果，則說明假設(shè)不合理）．
附：若，則，，.
變式19．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，已知該疾病的患病率為，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性.將患病者判定為陰性或?qū)⑽椿疾≌吲卸殛栃跃鶠檎`診.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.
(1)當(dāng)臨界值時，已知某人是患病者，求該人被誤診的概率；
(2)當(dāng)時，求利用該指標(biāo)作為檢測標(biāo)準(zhǔn)的誤診率的解析式，并求使最小的臨界值.
變式20．（2023·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)當(dāng)漏診率％時，求臨界值c和誤診率；
(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當(dāng)屬由兩位俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markv）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：
設(shè)為一個非負隨機變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對任意，均有，
馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：
設(shè)的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標(biāo)所對應(yīng)的求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
設(shè)隨機變量的期望為，方差為，則對任意，均有
(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量成立．
(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請結(jié)合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實可信．
題型十一：建議問題
例31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖（如圖1），考慮到受市場影響，預(yù)測該地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購價格情況如表1（該預(yù)測價格與畝產(chǎn)量互不影響）.
表1
假設(shè)圖1中同組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值估算，并以頻率估計概率.
(1)試估計地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為元的概率；
(2)設(shè)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入元的成本進行某項技術(shù)改良，則可使每畝冬小麥產(chǎn)量平均增加.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良？并說明理由.
例32．（2023·北京·高三北京市第一六一中學(xué)校考期中）某校為了鼓勵學(xué)生熱心公益，服務(wù)社會，成立了“慈善義工社”.本學(xué)期該?！按壬屏x工社”為學(xué)生提供了4次參加公益活動的機會，學(xué)生可通過網(wǎng)絡(luò)平臺報名并參加該活動.活動結(jié)束后，為了解學(xué)生實際參加這4次活動的情況，從全校4000名學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表，其中“√表示參加，“×”表示未參加.
根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計，該校4000名學(xué)生中約有120名這4次活動均未參加.
(1)求的值；
(2)若學(xué)生每次參加公益活動可獲得10個公益積分，任取該校一名學(xué)生，記該生在本學(xué)期活動中獲得的公益積分為，以頻率作為概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)如果你是該?！按壬屏x工社”的負責(zé)人之一，那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，在安排下學(xué)期的公益活動時你會提出什么改進建議？并說明理由.
例33．（2023·北京東城·高三景山學(xué)校?？奸_學(xué)考試）汽車租賃公司為了調(diào)查兩種車型的出租情況，現(xiàn)隨機抽取了這兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計了每輛車某個星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
(1)從出租天數(shù)為3天的汽車（僅限兩種車型）中隨機抽取一輛，估計這輛汽車恰好是A型車的概率；
(2)根據(jù)這個星期的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（用頻率估計概率），求該公司一輛型車，一輛型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天的概率；
(3)如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從A，B兩種車型中購買一輛，請你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識，給出建議應(yīng)該購買哪一種車型，并說明你的理由.
變式22．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）某社區(qū)擬對該社區(qū)內(nèi)8000人進行核酸檢測，現(xiàn)有以下兩種核酸檢測方案：
方案一：4人一組，采樣混合后進行檢測；
方案二：2人一組，采樣混合后進行檢測；
若混合樣本檢測結(jié)果呈陽性，則對該組所有樣本全部進行單個檢測；若混合樣本檢測結(jié)果呈陰性，則不再檢測.
(1)某家庭有6人，在采取方案一檢測時，隨機選2人與另外2名鄰居組成一組，余下4人組成一組，求該家庭6人中甲，乙兩人被分在同一組的概率；
(2)假設(shè)每個人核酸檢測呈陽性的概率都是0.01，每個人核酸檢測結(jié)果相互獨立，分別求該社區(qū)選擇上述兩種檢測方案的檢測次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.以較少檢測次數(shù)為依據(jù)，你建議選擇哪種方案？
（附：，）
變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）機動車輛保險即汽車保險（簡稱車險），是指對機動車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財產(chǎn)損失負賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險．機動車輛保險一般包括交強險和商業(yè)險，商業(yè)險包括基本險和附加險兩部分．經(jīng)驗表明新車商業(yè)險保費與購車價格有較強的線性相關(guān)關(guān)系，下面是隨機采集的相關(guān)數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程（精確到0.01）；
(2)某保險公司規(guī)定：上一年的出險次數(shù)決定了下一年的保費倍率，上一年沒有出險，則下一年保費倍率為85%，上一年出險一次，則下一年保費倍率為100%，上一年出險兩次，則下一年保費倍率為125%．太原王女士2022年1月購買了一輛價值32萬元的新車．若該車2022年2月已出過一次險，4月又發(fā)生事故，王女士到汽車維修店詢價，預(yù)計修車費用為800元，理賠人員建議王女士自費維修（即不出險），你認為王女士是否應(yīng)該接受該建議？請說明理由．（假設(shè)車輛2022年與2023年都購買相同的商業(yè)險產(chǎn)品）
參考數(shù)據(jù)：．
參考公式：．
變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為弘揚中華傳統(tǒng)文化，吸收前人在修身?處世?治國?理政等方面的智慧和經(jīng)驗，養(yǎng)浩然正氣，塑高尚人格，不斷提高學(xué)生的人文素質(zhì)和精神境界，某校舉行傳統(tǒng)文化知識競賽活動.競賽共有“儒”和“道”兩類題，每類各5題.其中每答對1題“儒”題得10分，答錯得0分；每答對1題“道”題得20分，答錯扣5分.每位參加競賽的同學(xué)從這兩類題中共抽出4題回答（每個題抽后不放回），要求“道”題中至少抽2題作答.已知小明同學(xué)“儒”題中有4題會作答，答對各個“道”題的概率均為.
(1)若小明同學(xué)在“儒”題中只抽1題作答，求他在這次競賽中得分為35分的概率；
(2)若小明同學(xué)第1題是從“儒”題中抽出并回答正確，根據(jù)得分期望給他建議，應(yīng)從“道”題中抽取幾道題作答？
題型十二：概率與數(shù)列遞推問題
例34．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無關(guān)，即.已知甲盒子中裝有2個黑球和1個白球，乙盒子中裝有2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復(fù)次這樣的操作.記甲盒子中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為.
(1)求，和，；
(2)證明：為等比數(shù)列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
例35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲乙兩人輪流擲硬幣，第一局甲先擲，誰先擲出正面誰就勝，上一局的負者下一局先擲．問：
(1)第一局甲勝的概率；
(2)第局甲勝的概率．
例36．（2023·河北保定·河北省唐縣第一中學(xué)?？级＃┰谀硞€周末，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約打臺球．四人約定游戲規(guī)則：①每輪游戲均將四人分成兩組，進行組內(nèi)一對一對打；②第一輪甲乙對打、丙丁對打；③每輪游戲結(jié)束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在下一輪游戲中對打，同樣的，兩名失敗者組成敗者組在下一輪游戲中對打；④每輪比賽均無平局出現(xiàn)．已知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概率均為，甲勝丙、乙勝丁的概率均為，甲勝丁的概率為．
(1)設(shè)在前三輪比賽中，甲乙對打的次數(shù)為隨機變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；
(2)求在第10輪比賽中，甲丙對打的概率．
變式25．（2023·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）有編號為1，2，3，...，18，19，20的20個箱子，第一個箱子有2個黃球1個綠球，其余箱子均為2個黃球2個綠球，現(xiàn)從第一個箱子中取出一個球放入第二個箱子，再從第二個箱子中取出一個球放入第三個箱子，以此類推，最后從第19個箱子取出一個球放入第20個箱子，記為從第個箱子中取出黃球的概率.
(1)求；
(2)求.
變式26．（2023·江西·校聯(lián)考二模）文具盒里裝有7支規(guī)格一致的圓珠筆，其中4支黑筆，3支紅筆.某學(xué)校甲、乙、丙三位教師共需取出3支紅筆批閱試卷，每次從文具盒中隨機取出一支筆，若取出的是紅筆，則不放回；若取出的是黑筆，則放回文具盒，繼續(xù)抽取，直至將3支紅筆全部抽出.
(1)在第2次取出黑筆的前提下，求第1次取出紅筆的概率；
(2)抽取3次后，記取出紅筆的數(shù)量為，求隨機變量的分布列；
(3)因?qū)W校臨時工作安排，甲教師不再參與閱卷，記恰好在第n次抽取中抽出第2支紅筆的概率為，求的通項公式.
變式27．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）2022年12月18日，第二十二屆男足世界杯決賽在梅西率領(lǐng)的阿根廷隊與姆巴佩率領(lǐng)的法國隊之間展開，法國隊在上半場落后兩球的情況下，下半場連進兩球，2比2戰(zhàn)平進入加時賽，加時賽兩隊各進一球（比分3∶3）再次戰(zhàn)平，在隨后的點球大戰(zhàn)中，阿根廷隊發(fā)揮出色，最終贏得了比賽的勝利，時隔36年再次成功奪得世界杯冠軍，梅西如愿以償，成功捧起大力神杯．
(1)法國隊與阿根廷隊實力相當(dāng)，在比賽前很難預(yù)測誰勝誰負．賽前有3人對比賽最終結(jié)果進行了預(yù)測，假設(shè)每人預(yù)測正確的概率均為，求預(yù)測正確的人數(shù)X的分布列和期望；
(2)足球的傳接配合非常重要，傳接球訓(xùn)練也是平常訓(xùn)練的重要項目，梅西和其他4名隊友在某次傳接球的訓(xùn)練中，假設(shè)球從梅西腳下開始，等可能地隨機傳向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外4人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住，記第n次傳球之前球在梅西腳下的概率為，求．
變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某中學(xué)舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分．
(1)已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個團隊參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個團隊中的一個回答問題，無論答題對錯，該團隊回答后由其他團隊搶答下一問題，且其他團隊有相同的機會搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為，若．
①求P2，P3；
②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大?。?br>題型十三：硬幣問題
例37．（2023·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）同學(xué)甲進行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設(shè)兩個關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面朝上，則順利進入闖關(guān)界面，可以開始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學(xué)在每次進入闖關(guān)界面后能夠成功通過關(guān)卡的概率均為，且第一關(guān)是否成功通過都不影響第二關(guān)的進行．
(1)同學(xué)甲在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡的概率；
(2)同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)為，求的分布列．
例38．（2023·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）草莓具有較高的營養(yǎng)價值?醫(yī)療價值和生態(tài)價值.草莓漿果芳香多汁，營養(yǎng)豐富，素有“水果皇后”的美稱.某草莓園統(tǒng)計了最近100天的草莓日銷售量（單位：千克），數(shù)據(jù)如下所示.
(1)求a的值及這100天草莓日銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）.
(2)該草莓的售價為60元每千克，為了增加草莓銷售量，該草莓園推出“玩游戲，送優(yōu)惠”活動，有以下兩種游戲方案供顧客二選一.

游戲一：不透明盒子里裝有2個紅球，4個黑球，顧客從中不放回摸出3個球，每摸出一個紅球每千克草莓優(yōu)惠3元，摸出黑球不優(yōu)惠.
游戲二：一張紙板共畫了11個同心圓，圓心處標(biāo)記數(shù)字0，從內(nèi)到外的圓環(huán)內(nèi)依次標(biāo)記數(shù)字1到10，在圓心處有一顆骰子，顧客拋擲硬幣決定骰子從圓心向外環(huán)移動，若擲出的硬幣正面向上，則骰子向外移動一環(huán)（如：從圓心移動到標(biāo)上數(shù)字1的環(huán)內(nèi)）；若擲出的硬幣反面向上，則骰子向外移動兩環(huán)（如：從標(biāo)上數(shù)字1的環(huán)內(nèi)移動到標(biāo)上數(shù)字3的環(huán)內(nèi)）.顧客重復(fù)擲硬幣直到骰子移到標(biāo)上數(shù)字9的環(huán)就可以獲得“九折優(yōu)惠券”，或移到標(biāo)上數(shù)字10的環(huán)就游戲結(jié)束無優(yōu)惠.有兩個孩子對于選擇哪個游戲可以獲得更大優(yōu)惠出現(xiàn)了分歧，你能幫助他們判斷嗎？
例39．（2023·全國·長郡中學(xué)校聯(lián)考二模）某公司有員工140人，為調(diào)查員工對薪酬待遇的滿意度，現(xiàn)隨機抽取了15人，通過問卷調(diào)查，有3人對薪酬不滿意.
(1)試估計公司中對薪酬不滿意的人數(shù)；
(2)從15名調(diào)查對象中抽取2人，用表示其中對薪酬不滿意的人數(shù)，試求的數(shù)學(xué)期望；
(3)實際上，由于問題比較敏感，被調(diào)查者為了保護自己的隱私往往會做出相反的回答，導(dǎo)致調(diào)查數(shù)據(jù)失真.為此對調(diào)查方法進行優(yōu)化，現(xiàn)向15名調(diào)查對象提供兩個問題：
問題A：你對公司薪酬是否不滿意？
問題B：現(xiàn)場拋一枚硬幣，是否正面朝上？
在一個密閉房間里有一個箱子，箱子中放入大小相同的10個小球，其中黑色小球7個，白色小球3個，每位調(diào)查對象進入房間后，從箱子中摸出一個小球后放回，若是黑球，則回答問題A，若是白球，則拋硬幣完成問題B.若有6人回答“是”，試用全概率公式估計公司中對薪酬不滿意的人數(shù).
變式29．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學(xué)?？级＃┲袑W(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為，且每場比賽結(jié)果相互獨立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進行獨立重復(fù)試驗，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．
(1)若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；
(2)若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率．
變式30．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）小明和小紅進行拋擲硬幣比賽，規(guī)定小明和小紅每人拋6次.小明得分規(guī)則為每連續(xù)拋擲次結(jié)果相同則得分（規(guī)定連續(xù)拋擲結(jié)果不同不得分，如正反正反正反不得分，正正反正反反得4分），小紅每拋擲一次正面結(jié)果則得2分，得分高者獲勝.
(1)求小紅得8分的概率；
(2)求小明得分的分布列和期望，并比較兩人誰獲勝的概率大？
題型十四：自主選科問題
例40．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來高考選考歷史的情況，隨機選取了100名高一學(xué)生，將他們某次歷史測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中a的值并估計這100名學(xué)生本次歷史測試成績的中位數(shù)．
(2)據(jù)調(diào)查，本次歷史測試成績不低于60分的學(xué)生，高考將選考歷史科目；成績低于60分的學(xué)生，高考將不選考歷史科目．按分層抽樣的方法從測試成績在，的學(xué)生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考歷史科目的概率．
例41．（2023·山西臨汾·高三統(tǒng)考期中）山西省高考綜合改革從2022年秋季入學(xué)的高一年級學(xué)生開始實施，新高考將實行“3＋1＋2”模式，其中3表示語文、數(shù)學(xué)、外語三科必選，1表示從物理、歷史兩科中選擇一科，2表示從化學(xué)、生物學(xué)、思想政治、地理四科中選擇兩科.相應(yīng)的，高校在招生時可對特定專業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求.現(xiàn)從某中學(xué)2022年高一年級所有學(xué)生中隨機抽取20人進行選科情況調(diào)查，得到如下統(tǒng)計表：
(1)請創(chuàng)建列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān)聯(lián).
(2)某高校在其人工智能方向?qū)I(yè)甲的招生簡章中明確要求，考生必須選擇物理，且在化學(xué)和生物學(xué)2門中至少選修1門，方可報名.現(xiàn)從該中學(xué)高一新生中隨機抽取4人，設(shè)具備這所高校專業(yè)甲報名資格的人數(shù)為，用樣本的頻率估計概率，求的分布列與期望.
附：
例42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2014年9月教育部發(fā)布關(guān)于深化考試招生制度改革的實施意見，部分省份先行改革實踐，目前，全國多數(shù)省份進入新高考改革．改革后，考生的高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門全國統(tǒng)一考試科目成績和3門選擇性科目成績組成．
方案一：選擇性考試科目學(xué)生可以從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中任選3門參加選擇性考試．
方案二：3門選擇性科目由學(xué)生先從物理、歷史2門科目中任選1門，再從思想政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中任選2門參加選擇性考試．
(1)某省執(zhí)行方案一，甲同學(xué)對選擇性科目的選擇是隨機的，求甲同學(xué)在選擇物理科目的條件下，選擇化學(xué)科目的概率；
(2)某省執(zhí)行方案二，為調(diào)查學(xué)生的選科情況，從某校高二年級抽取了10名同學(xué)，其中有6名首選物理，4名首選歷史，現(xiàn)從這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進一步調(diào)查，將其中首選歷史的人數(shù)記作X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
變式31．（2023·湖北黃石·大冶市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）目前，全國多數(shù)省份已經(jīng)開始了新高考改革．改革后，考生的高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門全國統(tǒng)一考試科目成績和3門選擇性科目成績組成．注：甲、乙兩名同學(xué)對選擇性科目的選擇是隨機的．
(1)A省規(guī)定：選擇性考試科目學(xué)生可以從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中任選3門參加選擇性考試．求甲同學(xué)在選擇物理科目的條件下，選擇化學(xué)科目的概率；
(2)B省規(guī)定：3門選擇性科目由學(xué)生首先從物理科目和歷史科目中任選1門，再從思想政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中任選2門．
①求乙同學(xué)同時選擇物理科目和化學(xué)科目的概率；
②為調(diào)查學(xué)生的選科情況，從某校高二年級抽取了10名同學(xué)，其中有6名首選物理，4名首選歷史．現(xiàn)從這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進一步調(diào)查．將其中首選歷史的人數(shù)記作X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
變式32．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）新高考按照“”的模式設(shè)置，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科．某校為了解該校考生的選科情況，從首選科目為物理的考生中隨機抽取12名（包含考生甲和考生乙）進行調(diào)查．假設(shè)考生選擇每個科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響．
(1)求考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率．
(2)已知抽取的這12名考生中，女生有3名．從這12名考生中隨機抽取3名，記X為抽取到的女生人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
變式33．（2023·全國·模擬預(yù)測）在新的高考改革形式下，江蘇、遼寧、廣東、河北、湖南、湖北、福建、重慶八個省市在2021年首次實施“3+1+2”模式新高考．為了適應(yīng)新高考模式，在2021年1月23日至1月25日進行了“八省聯(lián)考”，考完后，網(wǎng)上流傳很多種對各地考生考試成績的評價，對12種組合的選擇也產(chǎn)生不同的質(zhì)疑．為此，某校隨機抽一名考生小明（語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、政治、生物的組合）在高一選科前某兩次六科對應(yīng)成績進行分析，借此成績進行相應(yīng)的推斷．表1是小明同學(xué)高一選科前兩次測試成績（滿分100分）：
表1
（1）從小明同學(xué)第一次測試的科目中隨機抽取1科，求該科成績大于90分的概率；
（2）從小明同學(xué)第一次測試和第二次測試的科目中各隨機抽取1科，記X為抽取的2科中成績大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；
（3）現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測試成績（滿分100分）及相關(guān)統(tǒng)計信息如表2所示：
表2
將每科兩次測試成績的均值作為該科的總評成績，這6科總評成績的方差為D3．有一種觀點認為：若x1＝x2，D1＜D2，能推出D1≤D3≤D2．則有理由認為“八省聯(lián)考”考生成績與選科有關(guān)，否則沒有理由否定12種選科模式的不合理性，即新高考模式12種選科模式是可取的．假設(shè)這種觀點是正確的，通過表2內(nèi)容，你認為新高考模式12種組合選科模式是否可??？
題型十五：高爾頓板問題
例43．（2023·全國·高二課堂例題）如圖是一塊高爾頓板的示意圖．在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列.

例44．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖所示的高爾頓板，小球從通道口落下，第1次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2…，7的球槽內(nèi).

(1)若進行一次以上試驗，求小球落入6號槽的概率；
(2)小明同學(xué)利用該圖中的高爾頓板來到社團文化節(jié)上進行盈利性“抽獎”活動，8元可以玩一次游戲，小球掉入號球槽得到的獎金為元，其中
（i）求的分布列；
（ii）很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小明同學(xué)能盈利嗎？
例45．（2023·河北唐山·高二開灤第一中學(xué)校考期末）如圖是一塊高爾頓板示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為0，1，2．3…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

變式34．（2023·全國·高二專題練習(xí)）高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖1所示的高爾頓板有層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過次與小木塊碰撞，最后掉入編號為、、、的球槽內(nèi).例如小球要掉入號球槽，則在次碰撞中有次向右次向左滾下.

(1)如圖1，進行一次高爾頓板試驗，試比較小球落入號球槽、號球槽的概率大小；
(2)小明改進了高爾頓板（如圖2），首先將小木塊減少至層，且小球在下落的過程中與小木塊碰撞一次時，有的概率向左，的概率向右滾下，小球共經(jīng)過次碰撞后，最后掉入編號為、、、的球槽內(nèi).小明準(zhǔn)備利用改進后的高爾頓板進行盈利性“抽獎”活動，只需付費元就可以玩一次游戲，小球掉入號球槽得到的獎金為元，其中.你覺得小明能盈利嗎？請說明理由.
變式35．（2023·全國·高二專題練習(xí)）高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的球槽內(nèi)．球槽從左到右分別編號為．

(1)若進行一次高爾頓板試驗，求這個小球掉入號球槽的概率；
(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團文化節(jié)上進行盈利性“抽獎”活動，元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入號球槽得到的獎金為元，其中．
①求的分布列；
②高爾頓板游戲火爆進行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小明同學(xué)能盈利嗎？
題型十六：自主招生問題
例46．（2023·江西南昌·高二南昌市八一中學(xué)校考期末）某高校在今年的自主招生考試中制定了如下的規(guī)則：筆試階段，考生從6道備選試題中一次性抽取3道題，并獨立完成所抽取的3道題，至少正確完成其中2道試題則可以進入面試．已知考生甲能正確完成6道試題中的4道題，另外2道題不能完成．
(1)求考生甲能通過筆試進入面試的概率；
(2)記所抽取的三道題中考生甲能正確完成的題數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
例47．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在某大學(xué)舉行的自主招生考試中，隨機抽取了100名考生的成績（單位：分），并把所得數(shù)據(jù)列成了如下所示的頻數(shù)分布表：
(1)求抽取樣本的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；
(2)已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認為這次成績服從正態(tài)分布（其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差），且規(guī)定82.7分是復(fù)試線，那么在這2000名考生中，能進入復(fù)試的有多少人？（附：，若，則，）．
例48．（2023·江蘇揚州·高三校考階段練習(xí)）自主招生和強基計劃是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié).自主招生是學(xué)生通過高校組織的筆試和面試之后，可以得到相應(yīng)的降分政策.2020年1月，教育部決定2020年起不再組織開展高校自主招生工作，而是在部分一流大學(xué)建設(shè)高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點（也稱強基計劃）.下表是某高校從2018年起至2022年通過自主招生或強基計劃在部分專業(yè)的招生人數(shù)：
請根據(jù)表格回答下列問題：
(1)統(tǒng)計表明招生總數(shù)和年份間有較強的線性關(guān)系.記為年份與的差，為當(dāng)年數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)，試用最小二乘法建立關(guān)于的線性回歸方程，并以此預(yù)測年的數(shù)學(xué)、物理和化學(xué)的招生總?cè)藬?shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；
(2)在強基計劃實施的首年，為了保證招生錄取結(jié)果的公平公正，該校招生辦對年強基計劃錄取結(jié)果進行抽檢.此次抽檢從這名學(xué)生中隨機選取位學(xué)生進行評審.記選取到數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生人數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望；
(3)經(jīng)統(tǒng)計該校學(xué)生的本科學(xué)習(xí)年限占比如下：四年畢業(yè)的占，五年畢業(yè)的占，六年畢業(yè)的占.現(xiàn)從到年間通過上述方式被該校錄取的學(xué)生中隨機抽取1名，若該生是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，求該生恰好在年畢業(yè)的概率.
附：為回歸方程，，．
變式36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某高中在招高一新生時，有統(tǒng)一考試招生和自主招生兩種方式．參加自主招生的同學(xué)必須依次進行“語文”“數(shù)學(xué)”“科學(xué)”三科的考試，若語文達到優(yōu)秀，則得1分，若數(shù)學(xué)達到優(yōu)秀，則得2分，若科學(xué)達到優(yōu)秀，則得3分，若各科未達到優(yōu)秀，則不得分．已知小明三科考試都達到優(yōu)秀的概率為，至少一科考試優(yōu)秀的概率為，數(shù)學(xué)考試達到優(yōu)秀的概率為，語文考試達到優(yōu)秀的概率大于科學(xué)考試達到優(yōu)秀的概率，且小明各科達到優(yōu)秀與否相互獨立．
(1)求小明語文考試達到優(yōu)秀的概率；
(2)求小明三科考試所得總分的分布列和期望．
變式37．（2023·陜西西安·統(tǒng)考二模）某高校自主招生考試中，所有去面試的考生全部參加了“語言表達能力”和“競爭與團隊意識”兩個科目的測試，成績分別為、、、、五個等級，某考場考生的兩科測試成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖，其中“語言表達能力”成績等級為的考生有10人．
（1）求該考場考生中“競爭與團隊意識”科目成績等級為的人數(shù)；
（2）已知等級、、、、分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分．求該考場學(xué)生“語言表達能力”科目的平均分．
題型十七：順序排位問題
例49．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）為了豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校羽毛球社團舉行羽毛球個人賽，有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加，甲與其他三人各進行一場比賽，共進行三場比賽，而且三場比賽相互獨立.根據(jù)甲最近分別與乙、丙、丁比賽的情況，得到如下統(tǒng)計表：
以上表中的頻率作為概率，求解下列問題.
(1)如果甲按照第一場與乙比賽、第二場與丙比賽、第三場與丁比賽的順序進行比賽.
（?。┣蠹字辽賱僖粓龅母怕?；
（ⅱ）如果甲勝一場得2分，負一場得0分，設(shè)甲的得分為，求的分布列與期望；
(2)記“甲與乙、丙、丁進行三場比賽中甲連勝二場”的概率為，那么以什么樣的出場順序才能使概率最大，并求出的最大值.
例50．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）2022年的男足世界杯在卡塔爾舉辦，參賽的32支球隊共分為8個小組，每個小組有4支球隊，小組賽采取單循環(huán)賽制，即每支球隊都要和同組的其他3支球隊各比賽一場.每場比賽獲勝的球隊積3分，負隊積0分.若打平則雙方各積1分，三輪比賽結(jié)束后，積分從多到少排名靠前的2支球隊小組出線（如果積分相等，還要按照其他規(guī)則來排名）.已知甲、乙、丙、丁4支球隊分在同一個組，且甲隊與乙、丙、丁3支球隊比賽獲勝的概率分別為，，，與三支球隊打平的概率均為，每場比賽的結(jié)果相互獨立.
(1)某人對甲隊的三輪小組賽結(jié)果進行了預(yù)測，他認為三場都會是平局，記隨機變量X＝“結(jié)果預(yù)測正確的場次”，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)假設(shè)各隊先后對陣順序完全隨機，記甲隊至少連續(xù)獲勝兩場的概率為p，那么甲隊在第二輪比賽對陣哪個對手時，p的取值最大，這個最大值是多少？
例51．（2023·北京·高三專題練習(xí)）周末李夢提出和父親?母親?弟弟進行羽毛球比賽，李夢與他們?nèi)烁鬟M行一場比賽，共進行三場比賽，而且三場比賽相互獨立.根據(jù)李夢最近分別與父親?母親?弟弟比賽的情況，得到如下統(tǒng)計表：
以上表中的頻率作為概率，求解下列問題.
(1)如果按照第一場與父親比賽?第二場與母親比賽?第三場與弟弟比賽的順序進行比賽.
（i）求李夢連勝三場的概率；
（ii）如果李夢勝一場得1分，負一場得0分，設(shè)李夢的得分為X，求X的分布列與期望；
(2)記“與父親?母親?弟弟三場比賽中李夢連勝二場”的概率為p，此概率p與父親，母親，弟弟出場的順序是否有關(guān)？如果有關(guān)，什么樣的出場順序使概率p最大（不必計算）？如果無關(guān)，請給出簡要說明.
變式38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）文淵中學(xué)計劃在2023年2月舉行趣味運動會，其中設(shè)置“夾球接力跑”項目，需要男同學(xué)和女同學(xué)一起合作完成．高一（15）班代表隊共派出3個小組（編號為，，）角逐該項目，每個小組由1名男生和2名女生組成，其中男生單獨完成該項目的概率為0.6，女生單獨完成該項目的概率為（）．假設(shè)他們參加比賽的機會互不影響，記每個小組能完成比賽的人數(shù)為．
(1)證明：在的概率分布中，最大；
(2)如果比賽當(dāng)天天氣出現(xiàn)異常，則將臨時更改比賽規(guī)則：每個代表隊每次指派一個小組，比賽時間一分鐘，如果一分鐘內(nèi)不能完成，則重新指派另一組參賽．高一（15）班代表隊的領(lǐng)隊了解后發(fā)現(xiàn)，小組能順利完成比賽的概率為（），且各個小組能否完成比賽相互獨立．在更改比賽規(guī)則后，領(lǐng)隊如何安排小組的出場順序能使指派的小組個數(shù)的均值最?。空埥o出證明．
變式39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有，，三類歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三類歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應(yīng)的獎勵基金.假設(shè)甲猜對每類歌曲的歌名相互獨立，猜對三類歌曲的概率及猜對時獲得相應(yīng)的獎勵基金如下表：
(1)求甲按“，，”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；
(2)若，設(shè)甲按“，，”的順序猜歌名獲得的獎勵基金總額為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(3)寫出的一個值，使得甲按“，，”的順序猜歌名比按“，，”的順序猜歌名所得獎勵基金的期望高.（結(jié)論不要求證明）
變式40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某中學(xué)2022年10月舉行了2022“翱翔杯”秋季運動會，其中有“夾球跑”和“定點投籃”兩個項目，某班代表隊共派出1男（甲同學(xué)）2女（乙同學(xué)和丙同學(xué)）三人參加這兩個項目，其中男生單獨完成“夾球跑”的概率為0.6，女生單獨完成“夾球跑”的概率為（）．假設(shè)每個同學(xué)能否完成“夾球跑”互不影響，記這三名同學(xué)能完成“夾球跑”的人數(shù)為．
(1)證明：在的概率分布中，最大．
(2)對于“定點投籃”項目，比賽規(guī)則如下：該代表隊先指派一人上場投籃，如果投中，則比賽終止，如果沒有投中，則重新指派下一名同學(xué)繼續(xù)投籃，如果三名同學(xué)均未投中，比賽也終止．該班代表隊的領(lǐng)隊了解后發(fā)現(xiàn)，甲、乙、丙三名同學(xué)投籃命中的概率依次為（，2，3），每位同學(xué)能否命中相互獨立．請幫領(lǐng)隊分析如何安排三名同學(xué)的出場順序，才能使得該代表隊出場投籃人數(shù)的均值最?。坎⒔o出證明．
變式41．（2023·福建泉州·高三校聯(lián)考期中）中國乒乓球隊是中國體育軍團的王牌之師，屢次在國際大賽上爭金奪銀，被體育迷們習(xí)慣地稱為“夢之隊”.小明是一名乒乓球運動愛好者，為提高乒乓球水平，決定在假期針對乒乓球技術(shù)的五個基本因素：弧線、力量、速度、旋轉(zhuǎn)和落點進行訓(xùn)練.假設(shè)小明每天進行多次分項（將五個因素分別對應(yīng)五項，一次練一項）訓(xùn)練，為增加趣味性，計劃每次（從第二次起）都是從上次未訓(xùn)練的四個項目中等可能地隨機選一項訓(xùn)練.
(1)若某天在五個項目中等可能地隨機選一項開始訓(xùn)練，求第三次訓(xùn)練的是“弧線”的概率；
(2)若某天僅進行了6次訓(xùn)練，五個項目均有訓(xùn)練，且第1次訓(xùn)練的是“旋轉(zhuǎn)”，前后訓(xùn)練項不同視為不同的訓(xùn)練順序，設(shè)變量為6次訓(xùn)練中“旋轉(zhuǎn)”項訓(xùn)練的次數(shù)，求的分布列及期望.
題型十八：博彩問題
例52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．
現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．
假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．
當(dāng)賭徒手中有n元（，）時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：
(1)請直接寫出與的數(shù)值．
(2)證明是一個等差數(shù)列，并寫出公差d．
(3)當(dāng)時，分別計算，時，的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當(dāng)時，的統(tǒng)計含義．
例53．（2023·全國·高二專題練習(xí)）公元年，法國一位著名的統(tǒng)計學(xué)家德梅赫(Demere)向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡(B.Pascal)提請了一個問題，帕斯卡和費馬(Fermat)討論了這個問題，后來惠更斯(C.Huygens)也加入了討論，這三位當(dāng)時全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答.該問題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏局，誰便贏得全部賭注元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨立.在甲贏了局，乙贏了局時，賭博意外終止.賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.
（1）規(guī)定如果出現(xiàn)無人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.若，，，，，則甲應(yīng)分得多少賭注？
（2）記事件為“賭博繼續(xù)進行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)，，時賭博繼續(xù)進行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷當(dāng)時，事件是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于，則稱該隨機事件為小概率事件.
例54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公元1651年，法國學(xué)者德梅赫向數(shù)學(xué)家帕斯卡請教了一個問題：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏滿4局，誰便贏得全部賭注元，已知每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨立，在甲贏了2局且乙贏了1局后，賭博意外終止，則賭注該怎么分才合理？帕斯卡先和費爾馬討論了這個問題，后來惠更斯也加入了討論，這三位當(dāng)時歐洲乃至全世界著名的數(shù)學(xué)家給出的分配賭注的方案是：如果出現(xiàn)無人先贏4局且賭博意外終止的情況，則甲、乙按照賭博再繼續(xù)進行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注．（友情提醒：珍愛生命，遠離賭博）
（1）若，甲?乙賭博意外終止，則甲應(yīng)分得多少元賭注？
（2）若，求賭博繼續(xù)進行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷“賭博繼續(xù)進行下去乙贏得全部賭注”是否為小概率事件（發(fā)生概率小于的隨機事件稱為小概率事件）．
變式42．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計學(xué)家德梅赫向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡提請了一個問題，帕斯卡和費馬討論了這個問題，后來惠更斯也加入了討論，這三位當(dāng)時全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答該問題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏局，誰便贏得全部賭注元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨立.在甲贏了局，乙贏了局時，賭博意外終止賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.
（1）甲、乙賭博意外終止，若，則甲應(yīng)分得多少賭注？
（2）記事件為“賭博繼續(xù)進行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)時賭博繼續(xù)進行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷當(dāng)時，事件是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機事件為小概率事件.
變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一個摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個大小相同、顏色各異的玻璃球．參加者交費1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時，游戲費被沒收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時，參加者可相應(yīng)獲得游戲費的0倍，1倍，倍的獎勵（），且游戲費仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為元．
（1）求概率的值；
（2）為使收益的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求的最小值．
（注：概率學(xué)源于賭博，請自覺遠離不正當(dāng)?shù)挠螒颍。?br>商品日銷售量（單位：件）
6
7
8
9
10
甲平臺的天數(shù)
14
26
26
24
10
乙平臺的天數(shù)
10
25
35
20
10
（小時）

頻數(shù)（次）
年齡
考慮騎車
不考慮騎車
15以下
6
3
16
6
13
6
14
16
5
9
75以上
1
5
合計
55
45
騎車
不騎車
合計
45歲以下
45歲以上
合計
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.07
2.70
3.84
5.02
6.63
7.87
10.82
路段
正常行駛所用時間（小時）
上午擁堵概率
下午擁堵概率
1
0．3
0．6
2
0．2
0．7
3
0．3
0．9
工種類別
賠付概率
上年度出險次數(shù)
0
1
2
3
保費（元）
出險次數(shù)
0
1
2
3
頻數(shù)
280
80
24
12
4
出險序次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次及以上
賠付金額（元）
0
上年度出險次數(shù)
0
1
2
3
≥4
保費（元）
出險次數(shù)
0
1
2
3
≥4
頻數(shù)
280
80
24
12
4
出險序次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次及以上
賠付金額（元）
工種類別
A
B
C
賠付頻率
入住房間的類型
單人間
雙人間
三人間
人數(shù)
36
60
24
接種天花疫苗與否/人數(shù)
感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
未接種天花疫苗
30
60
接種天花疫苗
20
90
0.1
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
歐洲球隊
其他球隊
合計
闖入強
未闖入強
合計
個人所得稅稅率（調(diào)整前）
個人所得稅稅率（調(diào)整后）
免征額3500元
免征額5000元
級數(shù)
全月應(yīng)納稅所得額
稅率（%）
級數(shù)
全月應(yīng)納稅所得額
稅率（%）
1
不超過1500元的部分
3
1
不超過3000元的部分
3
2
超過1500元至4500元的部分
10
2
超過3000元至12000元的部分
10
3
超過4500元至9000元的部分
20
3
超過12000元至25000元的部分
20
…
…
…
…
…
…
收入
（元）
人數(shù)
30
40
10
8
7
5
舊個稅稅率表(個稅起征點元)
新個稅稅率表(個稅起征點元)
繳稅級數(shù)
每月應(yīng)納稅所得額(含稅) 收入個稅起征點
稅率/%
每月應(yīng)納稅所得額(含稅）收入個稅起征點專項附加扣除
稅率/%
1
不超過元
不超過元
2
部分超過元至元部分
部分超過元至元部分
3
超過元至元的部分
超過元至元的部分
4
超過元至元的部分
超過元至元的部分
5
超過元至元部分
超過元至元部分
···
···
···
···
級數(shù)
全月應(yīng)納稅所得額
稅率
1
不超過3000元的部分
3%
2
超過3000元至12000元的部分
10%
3
超過12000元至25000元的部分
20%
4
超過25000元至35000元的部分
25%
…
…
…
收入（千萬元）
頻率
0.3
0.5
0.12
0.06
0.02
個人所得稅稅率表（調(diào)整前）
個人所得稅稅率表（調(diào)整后）
免征額3500元
免征額5000元
級數(shù)
全月應(yīng)納稅所得額
稅率（%）
級數(shù)
全月應(yīng)納稅所得額
稅率（%）
1
不超過1500元部分
3
1
不超過3000元部分
3
2
超過1500元至4500元的部分
10
2
超過3000元至12000元的部分
10
3
超過4500元至9000元的部分
20
3
超過12000元至25000元的部分
20
…
…
…
…
…
…
收入（元）
[3000，5000）
[5000，7000）
[7000，9000）
[9000，11000）
[11000，13000）
人數(shù)
20
40
15
10
5
明年冬小麥統(tǒng)一收購價格（單位：元）
概率
公益活動
學(xué)生人數(shù)
第1次
第2次
第3次
第4次
30
×
×
√
√
20
×
√
×
√
15
√
√
√
√
12
√
√
√
×
10
×
√
×
×
a
√
×
×
×
b
×
×
×
×
型車
出租天數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
車輛數(shù)
5
10
30
35
15
3
2
B型車
出租天數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
車輛數(shù)
14
20
20
16
15
10
5
購車價格x（萬元）
5
10
15
20
25
30
35
商業(yè)險保費y（元）
1737
2077
2417
2757
3097
3622
3962
銷售量區(qū)間
天數(shù)
20
25
10
40
5
序號
選科情況
序號
選科情況
序號
選科情況
序號
選科情況
1
史化生
6
物化政
11
史地政
16
物化地
2
物化地
7
物化生
12
物化地
17
物化政
3
物化地
8
史生地
13
物生地
18
物化地
4
史生地
9
史化地
14
物化地
19
史化地
5
史地政
10
史化政
15
物地政
20
史地政
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
語文
數(shù)學(xué)
英語
物理
政治
生物
第一次
87
92
91
92
85
93
第二次
82
94
95
88
94
87
語文
數(shù)學(xué)
英語
物理
政治
生物
6科成績均值
6科成績方差
第一次
a1
a2
a3
a4
a5
a6
x1
D1
第二次
b1
b2
b3
b4
b5
b6
x2
D2
組別
頻數(shù)
5
18
28
26
17
6
年份
數(shù)學(xué)
物理
化學(xué)
總計
2018
4
7
6
17
2019
5
8
5
18
2020
6
9
5
20
2021
8
7
6
21
2022
9
8
6
23
乙
丙
丁
比賽的次數(shù)
60
60
50
甲獲勝的次數(shù)
20
30
40
父親
母親
弟弟
比賽的次數(shù)
50
60
40
李夢獲勝的次數(shù)
10
30
32
歌曲類別
猜對的概率
0.8
0.5
獲得的獎勵基金額/元
1000
2000
3000

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