第03講復(fù)數(shù)（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進(jìn)行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
第03講復(fù)數(shù)
目錄
知識點一、復(fù)數(shù)的概念
（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時，．
（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．
= 1 \* GB3 ①復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應(yīng)點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．
= 2 \* GB3 ②兩個復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點）
= 3 \* GB3 ③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．
知識點二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運算法則
1、復(fù)數(shù)運算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．
（3）．
實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復(fù)數(shù)．
注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
以復(fù)數(shù)分別對應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量．對應(yīng)的向量是．
2、復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面內(nèi)的點；
（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面向量；
（3）復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復(fù)數(shù)．
（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點到原點的距離．
3、復(fù)數(shù)的三角形式
（1）復(fù)數(shù)的三角表示式
一般地，任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．
（2）輻角的主值
任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．
（3）三角形式下的兩個復(fù)數(shù)相等
兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．
（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運算
①兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即
．
②復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示的幾何意義
復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的?fù)數(shù)就是積．
（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運算
兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．
題型一：復(fù)數(shù)的概念
例1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)（）
A．B．C．D．
例2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（）
A．B．C．D．
例3．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）
A．2B．2或C．D．
例4．（多選題）（2023·河南安陽·安陽一中校考模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)，則（）
A．B．z的實部與虛部之差為3
C．D．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限
例5．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）若是純虛數(shù)，，則的實部為______.
【解題方法總結(jié)】
無論是復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實部和虛部兩部分，所以在解決復(fù)數(shù)有關(guān)問題時要將復(fù)數(shù)的實部和虛部都認(rèn)識清楚．
題型二：復(fù)數(shù)的運算
例6．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，則（）
A．B．1C．D．
例7．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）若，則（）
A．B．
C．D．
例8．（2023·陜西榆林·高三綏德中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）
A．B．C．D．
例9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則（）
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
設(shè)，則
（1）
（2）
（3）
題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義
例10．（2023·河南鄭州·三模）復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則（）
A．B．C．D．
例12．（2023·湖北·校聯(lián)考三模）如圖，正方形OABC中，點A對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則頂點B對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）
A．B．C．D．
例13．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點分別為，，則（）
A．2B．C．D．1
【解題方法總結(jié)】
復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實質(zhì)是復(fù)平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這是研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點．
題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)
例14．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知（是虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個根，則（）
A．9B．1C．D．
例15．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，若，則（）
A．，B．，
C．，D．，
例16．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，且，其中a是實數(shù)，則（）
A．B．C．D．
例17．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）
A．2B．C．4D．
例18．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)，且，其中a，b是實數(shù)，則（）
A．，B．，
C．，D．，
【解題方法總結(jié)】
復(fù)數(shù)相等：
共軛復(fù)數(shù)：．
題型五：復(fù)數(shù)的模
例19．（2023·河南·統(tǒng)考二模）若，則_______．
例20．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則__________．
例21．（2023·遼寧鐵嶺·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則=__________.
【解題方法總結(jié)】
題型六：復(fù)數(shù)的三角形式
例22．（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公式（x∈R，i為虛數(shù)單位），這個公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)此公式，下面四個結(jié)果中不成立的是（）
A．B．
C．D．
例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理．則（）
A．1B．C．D．i
例24．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美．若復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（）
A．B．C．1D．
例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解題方法總結(jié)】
一般地，任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．
題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題
例26．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）若，則的最大值與最小值的和為___________.
例27．（2023·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則的最大值為____________.
例28．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是復(fù)數(shù)且，則的最小值為（）
A．1B．C．D．
例29．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
例30．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）
A．B．C．4D．
【解題方法總結(jié)】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，其中為實數(shù)，則（）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若．則（）
A．B．C．D．
考點要求
考題統(tǒng)計
考情分析
（1）通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù)．
（2）理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義．
（3）掌握復(fù)數(shù)的四則運算，了解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義．
2022年I卷II卷第2題，5分
2021年II卷第1題，5分
2021年I卷第2題，5分
高考對集合的考查相對穩(wěn)定，每年必考題型，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．復(fù)數(shù)的運算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義是?？键c，難度較低，預(yù)測高考在此處仍以簡單題為主．

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案更多

相關(guān)學(xué)案

相關(guān)學(xué)案 更多

相關(guān)學(xué)案更多