2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第07講 函數(shù)與方程
目錄

一、函數(shù)的零點(diǎn)
對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).
二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
三、零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)
所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟
（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.
（2）求區(qū)間的中點(diǎn).
（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）
（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.
【解題方法總結(jié)】
函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧:
①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn).
②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).
③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).
④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)，不一定能推出.
【典例例題】
題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間
【例1】（2023·廣西玉林·博白縣中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】D
【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則，于是，即，
而函數(shù)是奇函數(shù)，則有，
所以.
故選：D
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
所以，即，故，
則．
故選：D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)依次為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】對(duì)于 ，顯然是增函數(shù)， ，所以 的唯一零點(diǎn) ；
對(duì)于 ，顯然也是增函數(shù)， ，所以 的唯一零點(diǎn) ；
對(duì)于 ，顯然也是增函數(shù)， ，所以 的唯一零點(diǎn) ；
；
故選：A.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若是方程的一個(gè)解，則可能存在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，所以，
因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)解，
所以是方程的解，令，
則，當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以單調(diào)遞增，
又，
所以.
故選：C.
【解題總結(jié)】
求函數(shù)零點(diǎn)的方法：
（1）代數(shù)法，即求方程的實(shí)根，適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).
題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍
【例2】（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間存在零點(diǎn)，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵和在上是增函數(shù)，
∴在上是增函數(shù)，
∴只需即可，即，解得.
故選：D.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵是奇函數(shù)，∴，，，易知在上是增函數(shù)，
∴有唯一零點(diǎn)0，
函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，∴在上有解，，∴．
故選：A．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為__________.
【答案】
【解析】設(shè)，則，
此時(shí)，則，
令，
當(dāng)時(shí)，，
記，則，
所以在上遞增，在上遞減，
故,所以，
所以的最大值為.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·上海浦東新·高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍___________.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，，，
故，由零點(diǎn)存在性定理知：在區(qū)間上至少有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
，
由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間至少有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，
，
因?yàn)?，，所以，?br>當(dāng)時(shí)，，，遞增，
當(dāng)時(shí)，，，遞減，
故在上遞增，在上遞減，
又，即在上，，
故在區(qū)間上沒有零點(diǎn)．
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有零點(diǎn).
令，，
可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
從而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有零點(diǎn).
又當(dāng)時(shí)，，符合題意，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍．
故答案為：．
【解題總結(jié)】
本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.
題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題
【例3】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則________.
【答案】4
【解析】由，即，
即，
令，則，
即，即.
由，得，
設(shè)函數(shù)，顯然該函數(shù)增函數(shù)，
又，
所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，
因此，即，
所以.
故答案為：4.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，有，解得，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由，解得或，且有，，
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
又因?yàn)椋?br>所以，存在一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，所以不符合題意；
當(dāng)時(shí)，令，解得或，且有，
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
又因?yàn)?，?br>所以，存在一個(gè)負(fù)數(shù)零點(diǎn)，要使存在唯一的零點(diǎn)，
則滿足，解得或，又因?yàn)?，所以?br>綜上，的取值范圍是．
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)榍∮腥齻€(gè)不同的零點(diǎn)，
函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即有三個(gè)解，
而無解，故.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
即，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如下圖，
當(dāng)時(shí)，與必有1個(gè)交點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，
即，即令在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
即，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如下圖，

當(dāng)時(shí)，必有1個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，
所以，即在上有根，
令
故，解得：.
綜上所述：的取值范圍是.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.
【答案】
【解析】設(shè)切線切點(diǎn)為，因，則切線方程為：.
因過，則，由題函數(shù)圖象
與直線有兩個(gè)交點(diǎn).，
得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又，，.
據(jù)此可得大致圖象如下.則由圖可得，當(dāng)時(shí)，曲線有兩條過的切線.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·天津北辰·統(tǒng)考三模）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】令，
因?yàn)楹瘮?shù)有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，
又有三個(gè)零點(diǎn)，
所以必須有兩個(gè)零點(diǎn)，且其零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)不相等，
且函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)均為函數(shù)的零點(diǎn)，
由可得，，所以，
所以為函數(shù)的零點(diǎn)，
即，
所以，
令，可得，
由已知有兩個(gè)根，
設(shè)，則有兩個(gè)正根，
所以，，
所以，故，
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，
設(shè)其根為，，則，
設(shè)，則，，
所以，
令，則，
則，，
且，，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的零點(diǎn)，又也為函數(shù)的零點(diǎn)，
且與互不相等，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則___________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br>故，即，
即.
由，得.
令，因?yàn)樵龊瘮?shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
而，故，解得，則.
故答案為：
【解題總結(jié)】
方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.
題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題
【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>由可得，
所以，關(guān)于的方程、共有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.
①先討論方程的解的個(gè)數(shù).
當(dāng)時(shí)，由，可得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
所以，方程只有兩解和；
②下面討論方程的解的個(gè)數(shù).
當(dāng)時(shí)，由可得，可得或，
當(dāng)時(shí)，由，可得，此時(shí)方程有無數(shù)個(gè)解，不合乎題意，
當(dāng)時(shí)，由可得，
因?yàn)?，由題意可得或或，
解得或.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)滿足（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【解析】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由于方程至多兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為和，
由圖象可知，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0?2?3?4，
由于關(guān)于x的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
則關(guān)于u的二次方程的一根為，則，
則方程的另一根為，
直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)必為4，則，解得.
所以且.
故選：C.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·四川資陽·高三統(tǒng)考期末）定義在R上函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且則關(guān)于x的方程()有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則n的所有可能的值為
A．2B．4
C．2或4D．2或4或6
【答案】B
【解析】∵函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴是奇函數(shù)，時(shí)，在上遞減，在上遞增，
作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知的解的個(gè)數(shù)是1，2，3.
或時(shí)，有一個(gè)解，時(shí)，有兩個(gè)解，時(shí)，有三個(gè)解，
方程中設(shè)，則方程化為，其判別式為恒成立，方程必有兩不等實(shí)根，，，，兩根一正一負(fù)，不妨設(shè)，
若，則，，和都有兩個(gè)根，原方程有4個(gè)根；
若，則，，∴，，有三個(gè)根，有一個(gè)根，原方程共有4個(gè)根；
若，則，，∴，，有一個(gè)根，有三個(gè)根，原方程共有4個(gè)根．
綜上原方程有4個(gè)根．
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為
A．B．或C．或D．或或
【答案】A
【解析】在和上單增，上單減，又當(dāng)時(shí)，時(shí)，故的圖象大致為：
令，則方程必有兩個(gè)根，且，不仿設(shè) ，當(dāng)時(shí)，恰有，此時(shí)，有個(gè)根，，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)無根，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)有個(gè)根，，有個(gè)根，綜上，對(duì)任意，方程均有個(gè)根，故選A.
【解題總結(jié)】
1、涉及幾個(gè)根的取值范圍問題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來確定取值范圍．
2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí)．
題型五：函數(shù)的對(duì)稱問題
【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，函數(shù)g（x）=ax-3的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為，即，
若函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則等價(jià)為在上有解，即，在上有解，
由，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，
即當(dāng)時(shí)，取得極小值同時(shí)也是最小值，且，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)，要使得有解，
則當(dāng)過點(diǎn) 時(shí)，得，過點(diǎn)時(shí)，，解得，
綜上可得．
故選C．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題知，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，的圖象如下，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與無交點(diǎn)，即無零點(diǎn)．
故選：D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且，關(guān)于軸對(duì)稱，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，
根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
則，
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，
由于，，且，
所以．
故選：A．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)上一點(diǎn)，，且關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，在上，
有解，即有解．
令，則，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
，，，
有解等價(jià)于與圖象有交點(diǎn)， ．
故選：B
【解題總結(jié)】
轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題
題型六：函數(shù)的零點(diǎn)問題之分段分析法模型
【例6】（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)
所以有解
即有解
令，
則
因?yàn)?，且由圖象可知，所以
所以在上單調(diào)遞減，令得
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
所以
且當(dāng)時(shí)
所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即
故選：A
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·湖北·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>又，
∵函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，
∴方程有解，
即有解．
令，
則，
∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
∴．
又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
要使方程有解，則需滿足，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·福建廈門·廈門外國語學(xué)校?？家荒＃┤糁辽俅嬖谝粋€(gè)，使得方程成立．則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】原方程化簡得:有解,令,,當(dāng)時(shí),,所以f(x)在單調(diào)遞減,當(dāng)x

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