\l "_Tc171857734" 01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc171857734 \h 2
\l "_Tc171857735" 02 知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc171857735 \h 3
\l "_Tc171857736" 03 考點(diǎn)突破·題型探究 PAGEREF _Tc171857736 \h 4
\l "_Tc171857737" 知識(shí)點(diǎn)1：復(fù)數(shù)的概念 PAGEREF _Tc171857737 \h 4
\l "_Tc171857738" 知識(shí)點(diǎn)2：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 PAGEREF _Tc171857738 \h 4
\l "_Tc171857739" 解題方法總結(jié) PAGEREF _Tc171857739 \h 6
\l "_Tc171857740" 題型一：復(fù)數(shù)的概念 PAGEREF _Tc171857740 \h 6
\l "_Tc171857741" 題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算 PAGEREF _Tc171857741 \h 8
\l "_Tc171857742" 題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義 PAGEREF _Tc171857742 \h 10
\l "_Tc171857743" 題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù) PAGEREF _Tc171857743 \h 12
\l "_Tc171857744" 題型五：復(fù)數(shù)的模 PAGEREF _Tc171857744 \h 14
\l "_Tc171857745" 題型六：復(fù)數(shù)的三角形式 PAGEREF _Tc171857745 \h 16
\l "_Tc171857746" 題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題 PAGEREF _Tc171857746 \h 19
\l "_Tc171857747" 題型八：復(fù)數(shù)方程 PAGEREF _Tc171857747 \h 23
\l "_Tc171857748" 04真題練習(xí)·命題洞見 PAGEREF _Tc171857748 \h 25
\l "_Tc171857749" 05課本典例·高考素材 PAGEREF _Tc171857749 \h 26
\l "_Tc171857750" 06易錯(cuò)分析·答題模板 PAGEREF _Tc171857750 \h 27
\l "_Tc171857751" 易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用有誤 PAGEREF _Tc171857751 \h 27
\l "_Tc171857752" 答題模板：復(fù)數(shù)式的計(jì)算 PAGEREF _Tc171857752 \h 28
知識(shí)點(diǎn)1：復(fù)數(shù)的概念
（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時(shí)，．
（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．
= 1 \* GB3 ①復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）．兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．
= 2 \* GB3 ②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點(diǎn)）
= 3 \* GB3 ③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計(jì)算公式為，顯然，．
【診斷自測】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
所以的虛部為.
故選：D.
知識(shí)點(diǎn)2：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
1、復(fù)數(shù)運(yùn)算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．
（3）．
實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．
注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
以復(fù)數(shù)分別對應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量．對應(yīng)的向量是．
2、復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面向量；
（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．
（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
3、復(fù)數(shù)的三角形式
（1）復(fù)數(shù)的三角表示式
一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．
（2）輻角的主值
任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．
（3）三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等
兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．
（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算
①兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即
．
②復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的幾何意義
復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，把向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的?fù)數(shù)就是積．
（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算
兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．
【診斷自測】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）若為純虛數(shù)，，則（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】，
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，所以，，
所以.
故選：A.
解題方法總結(jié)
復(fù)數(shù)的方程在復(fù)平面上表示的圖形
(1)表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；
(2)表示以為圓心，r為半徑的圓．

題型一：復(fù)數(shù)的概念
【典例1-1】（2024·新疆·三模）復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)且，則，
因?yàn)?，所?解得：，則的虛部為.
故選：C
【典例1-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù),則的虛部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,則,虛部是.
故選:A.
【方法技巧】
無論是復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運(yùn)算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部兩部分，所以在解決復(fù)數(shù)有關(guān)問題時(shí)要將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都認(rèn)識(shí)清楚．
【變式1-1】（2024·重慶·三模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，
因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，可得，
即，則，，解得，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：A.
【變式1-2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
所以的虛部是.
故選：C
【變式1-3】若復(fù)數(shù)滿足，且為純虛數(shù)，則 .
【答案】/
【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，設(shè)，且，則，
因?yàn)?，所以，所以?br>解得，所以.
故答案為：.
題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【典例2-1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令復(fù)數(shù)，則，
根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件有，解得，所以．
故選：A
【典例2-2】設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由.
故選: C．
【方法技巧】
設(shè)，則
（1）
（2）
（3）
【變式2-1】（2024·青海海南·一模）已知，則（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以?br>則，
故選：D.
【變式2-2】（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）下列有關(guān)復(fù)數(shù)，的等式中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，
對于A，令，，A錯(cuò)誤；
對于B，
，B正確；
對于C，，
則，，
因此，C正確；
對于D，，D正確.
故選：A
【變式2-3】已知復(fù)數(shù)，的模長為1，且，則的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，
則，，
所以，
，
因?yàn)?，，所以，?br>因?yàn)?，所以，所以?br>即，所以，
所以，，
所以.
故選：.
題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義
【典例3-1】（2024·山西呂梁·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】由復(fù)數(shù)滿足，可得，則，
則復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.
故選：D.
【典例3-2】若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．
故選：D．
【方法技巧】
復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是復(fù)平面上的點(diǎn)，其實(shí)部、虛部分別是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這是研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點(diǎn)．
【變式3-1】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為的虛部為，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【解析】，所以，所以，
其在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為，位于第一象限．
故選：A．
【變式3-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】設(shè)，則，
則，即，所以，，
解得，，故，對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．
故選：D．
【變式3-3】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為的虛部為，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】由復(fù)數(shù)，可得，
所以，所以在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為，位于第四象限．
故選：D．
【變式3-4】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量在上的投影向量對應(yīng)復(fù)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)榘褟?fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，
所以旋轉(zhuǎn)后的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，
所以旋轉(zhuǎn)后的向量，
又因?yàn)?，?br>所以向量在上的投影向量是，即對應(yīng)復(fù)數(shù)是.
故選：.
題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軛復(fù)數(shù)
【典例4-1】（2024·天津武清·模擬預(yù)測）已知，且，則 ．
【答案】1
【解析】由題意可得：，所以.
故答案為：1.
【典例4-2】已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是，若，則 .
【答案】
【解析】設(shè)，則，
因?yàn)?，所以?br>整理得，
所以，解得，所以.
故答案為：
【方法技巧】
復(fù)數(shù)相等：
共軛復(fù)數(shù)：．
【變式4-1】（2024·山東聊城·二模）已知，且，則 ．
【答案】1
【解析】，
所以，解得.
故答案為：1
【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為 ．
【答案】
【解析】解法一：
設(shè)復(fù)數(shù)，則，
由復(fù)數(shù)相等，得，解得，即復(fù)數(shù)，
所以，所以的虛部為．
解法二：
由，得．因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以也是實(shí)數(shù)，
則有，所以的虛部為．
故答案為：
【變式4-3】已知，且滿足（其中為虛數(shù)單位），則 ．
【答案】2
【解析】由題意，可得，
所以，解得，所以.
故答案為：2
【變式4-4】已知a，，，則 .
【答案】6
【解析】，故，，得，，所以.
故答案為：6.
題型五：復(fù)數(shù)的模
【典例5-1】已知復(fù)數(shù)，且，則 .
【答案】或3
【解析】復(fù)數(shù)，
可得，則
整理得，，即
因?yàn)?，所以且?br>又因，故，解得，或.
故答案為：或3.
【典例5-2】（2024·江西南昌·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則 .
【答案】
【解析】令，則有，即，，
解得，即，.
故答案為：.
【方法技巧】

【變式5-1】復(fù)數(shù)的模為 .
【答案】/
【解析】
故．
故答案為：．
【變式5-2】已知，則 ．
【答案】5
【解析】假設(shè)，
則，，
∵，
∴①，②，③，
∴③-①-②得，
∴，
∴，
故答案為：5
【變式5-3】（2024·福建廈門·三模）復(fù)數(shù)滿足，，則 .
【答案】
【解析】設(shè)，則，
由，，
得，解得，
所以，
故答案為：.
【變式5-4】已知復(fù)數(shù)數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋瑒t，
所以
所以，
所以
.
故答案為：
題型六：復(fù)數(shù)的三角形式
【典例6-1】一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)（，）都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開來，（，）叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱“代數(shù)形式”. 已知，，，其中，，則 ．(結(jié)果表示代數(shù)形式)
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
又，，所以，
所以.
所以，
，
.
故答案為：.
【典例6-2】計(jì)算的結(jié)果是 .
【答案】
【解析】，
同理可得，
原式．
故答案為：
【方法技巧】
一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．
【變式6-1】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知，則在下列表達(dá)式中表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因，則，
對于A，，故A項(xiàng)正確；
對于B， ，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D，由B項(xiàng)知，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：A.
【變式6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為，設(shè)是以軸的非負(fù)半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復(fù)數(shù)的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，，例如：，，復(fù)數(shù)滿足：，則可能取值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，
則，
所以，，即，
所以
故時(shí)，，故可取，
故選：D
【變式6-3】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【解析】，
在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.
故選：B.
【變式6-4】（2024·湖北恩施·模擬預(yù)測）任意一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667－1754年）創(chuàng)立的，指的是：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則，已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】由題意可得，
故，
所以
.
故選：B
題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題
【典例7-1】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)，滿足，，則的最大值是（ ）
A．B．C．7D．8
【答案】D
【解析】設(shè)，，，，
因?yàn)椋?br>所以，，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
又表示點(diǎn)與的距離，
所以的最大值是，
故選：D.
【典例7-2】（2024·山東煙臺(tái)·三模）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】若復(fù)數(shù)z滿足，則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)集是線段的垂直平分線，其中，
所以的最小值為.
故選：B.
【方法技巧】
利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化
【變式7-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A．7B．6C．D．
【答案】A
【解析】，
又，
即在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
又點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，
所以的最大值為.
故選：A.
【變式7-2】（2024·湖南長沙·三模）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】表示對應(yīng)的點(diǎn)是單位圓上的點(diǎn)，
的幾何意義表示單位圓上的點(diǎn)和之間的距離，
的取值范圍轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離加上半徑可得最大值，減去半徑可得最小值，
所以最大距離為，最小距離為，
所以的取值范圍為.
故選：B
【變式7-3】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)為以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)，
而在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)不妨設(shè)為，
所以，
易知.
故選：B
【變式7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知復(fù)數(shù)，滿足，（其中i是虛數(shù)單位），則的最小值為（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】D
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為
，
由題意可知：，
可知點(diǎn)的軌跡表示為焦點(diǎn)分別為的橢圓，
則長半軸長為，半焦距，短半軸長為，
且該橢圓的長軸所在直線為，短軸所在直線為．
因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，
若使得最小，則需取得最小值，
即點(diǎn)為第一象限內(nèi)的短軸端點(diǎn)，此時(shí)．
故選：D.
【變式7-5】（2024·山東·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)為，
則可表示為復(fù)平面上點(diǎn)到的距離，
可表示為復(fù)平面上點(diǎn)到的距離，
由題意可知：點(diǎn)在線段的中垂線上，如下圖：
線段的中點(diǎn)為，直線的斜率，
則的軌跡方程為，整理可得，
由可表示為點(diǎn)到的距離，
.
故選：A.
【變式7-6】已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】復(fù)數(shù)滿足，
則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓，
則橢圓短半軸長為，橢圓方程為，
表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，
當(dāng)點(diǎn)位于橢圓長軸上的頂點(diǎn)時(shí)，取值大值2；
當(dāng)點(diǎn)位于橢圓短軸上的頂點(diǎn)時(shí)，取值小值；
故的取值范圍為，
故選：D
【變式7-7】（2024·安徽安慶·一模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z|＝1，那么取最大值時(shí)的復(fù)數(shù)z為（ ）
A．+iB．+iC．iD．i
【答案】A
【解析】復(fù)數(shù)滿足條件，它是復(fù)平面上的單位圓，那么表示單位圓上的點(diǎn)到的距離，
要使此距離取最大值的復(fù)數(shù)，就是和連線和單位圓在第一象限的交點(diǎn)．
點(diǎn)到原點(diǎn)距離是2．單位圓半徑是1，又，所以．
故對應(yīng)的復(fù)數(shù)為．
故選：A
題型八：復(fù)數(shù)方程
【典例8-1】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則 （ ）
A．25B．5C．D．41
【答案】C
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，
所以，所以，
所以，所以，
則，
故選：C.
【典例8-2】（2024·江蘇·一模）已知是關(guān)于x的方程的根，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】依題意知方程的根互為共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合韋達(dá)定理可求得結(jié)果.因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的根，則另一根為
由韋達(dá)定理得，所以
故選：B
【方法技巧】
復(fù)數(shù)方程是包含復(fù)數(shù)的方程，其中復(fù)數(shù)具有實(shí)部和虛部。解復(fù)數(shù)方程時(shí)，通常將利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及三角形式進(jìn)行求解。
【變式8-1】（2024·上海嘉定·三模）已知復(fù)數(shù)x滿足方程，那么 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋瑒t.
故答案為：.
【變式8-2】已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，其中p，，則p＋q＝ ．
【答案】19
【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的一個(gè)根，
所以是方程的另一個(gè)根，
所以，解得，
所以，
故答案為：19
【變式8-3】若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則 .
【答案】3
【解析】∵實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根為，
∴其共軛復(fù)數(shù)也是方程的根.
由根與系數(shù)的關(guān)系知，，
∴ ，.
故答案為：
【變式8-4】的平方根為
【答案】
【解析】設(shè)所求復(fù)數(shù)為，由題意有，即，
則，解得或，即或，
即的平方根為，
故答案為.
【變式8-5】（2024·高三·上海浦東新·開學(xué)考試）若實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根是，則 ．
【答案】1
【解析】因?yàn)殛P(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根是，所以另一個(gè)根為，
根據(jù)韋達(dá)定理可得，所以.
又，所以，所以
故答案為：.
1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】依題意得，，故.
故選：D
2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所?
故選：C.
3．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若，則（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【解析】由，則.
故選：A
4．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得.
故選：C.
5．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【解析】若，則.
故選：C.
1．利用公式，把下列各式分解成一次因式的積；
（1）；
（2）.
【解析】（1）；
（2）.
2．若，則復(fù)平面內(nèi)滿足的點(diǎn)2的集合是什么圖形？
【解析】解法1：由復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，復(fù)平面內(nèi)滿足的點(diǎn)Z的集合是以為圓心，以3為半徑的圓.
解法2：.
即，
故復(fù)平面內(nèi)滿足的點(diǎn)2的集合是以為圓心，以3為半徑的圓.
3．已知－3＋2i是關(guān)于x的方程2x2＋px＋q＝0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p、q的值．
【解析】∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一個(gè)根，
∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0
即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
∴解得
4．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：
（1）；
（2）.
【解析】（1）,
∴方程的根為，即.
（2），
∴方程的根為，即.
易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用有誤
易錯(cuò)分析： (1)區(qū)分與
(2)區(qū)分與
【易錯(cuò)題1】設(shè)有下面四個(gè)命題
：若復(fù)數(shù)滿足，則；
：若復(fù)數(shù)滿足，則；
：若復(fù)數(shù)滿足，則；
：若復(fù)數(shù)，則.
其中的真命題為
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，則由得，所以，故正確；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，而知，故不正確；
當(dāng)時(shí)，滿足，但，故不正確；
對于，因?yàn)閷?shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故正確，故選B.
【易錯(cuò)題2】已知（，為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．3C．1D．2
【答案】B
【解析】由，
可得，，
因此．
故選：B．
答題模板：復(fù)數(shù)式的計(jì)算
1、模板解決思路
復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是知道．復(fù)數(shù)的乘法類似多項(xiàng)式（或單項(xiàng)式）乘法，復(fù)數(shù)的除法類似分母有理化．
2、模板解決步驟
第一步：如果是除法運(yùn)算，利用分母有理化，將復(fù)數(shù)的除法化簡．
第二步：按照多項(xiàng)式乘法，將復(fù)數(shù)乘法化簡．
第三步：把代入，進(jìn)一步化簡，求得最終結(jié)果．
【經(jīng)典例題1】已知a，b為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以?br>則，即，
從而，即，解得，故
故選：A.
【經(jīng)典例題2】計(jì)算 （其中為虛數(shù)單位）．
【答案】/
【解析】.
故答案為：
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
（2）復(fù)數(shù)的幾何意義
（3）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
2024年I卷第2題，5分
2024年II卷第1題，5分
2023年I卷第2題，5分
2023年II卷第1題，5分
2022年I卷II卷第2題，5分
2021年II卷第1題，5分
2021年I卷第2題，5分
高考對復(fù)數(shù)的考查相對穩(wěn)定，每年必考題型，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．復(fù)數(shù)的運(yùn)算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義是?？键c(diǎn)，難度較低，預(yù)測高考在此處仍以簡單題為主．
復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）通過方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)．
（2）理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義．
（3）掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義．

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