重難點突破01 奔馳定理與四心問題（五大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進(jìn)行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
重難點突破01 奔馳定理與四心問題
目錄
技巧一．四心的概念介紹：
（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1．
（2）內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．
（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等．
（4）垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直．
技巧二．奔馳定理---解決面積比例問題
重心定理：三角形三條中線的交點．
已知的頂點，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為．
注意：（1）在中，若為重心，則．
（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2：1，且分的三個三角形面積相等．
重心的向量表示：．
奔馳定理：，則、、的面積之比等于
奔馳定理證明：如圖，令，即滿足
，，，故．
技巧三．三角形四心與推論：
（1）是的重心：．
（2）是的內(nèi)心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．常見結(jié)論
（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上．
為的內(nèi)心．
（2）外心：為的外心．
（3）垂心：為的垂心．
（4）重心：為的重心．
題型一：奔馳定理
例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是內(nèi)部的一點，，，所對的邊分別為，，，若，則與的面積之比為（）
A．B．C．D．
例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知是三角形內(nèi)部一點，且，則的面積與的面積之比為（）
A．B．C．D．
例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若點是所在平面內(nèi)的一點，點是邊靠近的三等分點，且滿足，則與的面積比為（）
A．B．C．D．
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）平面上有及其內(nèi)一點O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
變式2．（2023·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是△ABC的三個內(nèi)角，以下命題錯誤的是（）

A．若，則O為△ABC的重心
B．若，則
C．則O為△ABC（不為直角三角形）的垂心，則
D．若，，，則
變式3．（多選題）（2023·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點，，，的面積分別為，則，是內(nèi)的一點，∠，∠，∠分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）
A．若，則
B．若，，且，則
C．若，則為的垂心
D．若為的內(nèi)心，且，則
變式4．（多選題）（2023·全國·高一專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點，、、的面積分別為、、，則.設(shè)是銳角內(nèi)的一點，、、分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）
A．若，則
B．，，，則
C．若為的內(nèi)心，，則
D．若為的重心，則
題型二：重心定理
例4．（2023·福建泉州·高一?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且，，則下列各式正確的有______．
① ②
③ ④
例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）點是平面上一定點，、、是平面上的三個頂點，、分別是邊、的對角，以下命題正確的是_______（把你認(rèn)為正確的序號全部寫上）．
①動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；
②動點滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點集合中；
③動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；
④動點滿足，則的垂心一定在滿足條件的點集合中；
⑤動點滿足，則的外心一定在滿足條件的點集合中．
例6．（2023·河南·高一河南省實驗中學(xué)校考期中）若為的重心（重心為三條中線交點），且，則___．
變式5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知△ABC的外心為O，且AB=5，，則______．
（2）已知△ABC的重心為O，且AB=5，，則______．
（3）已知△ABC的重心為O，且AB=5，，，D為BC中點，則____．
變式6．（2023·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，，，若是的重心，則______.
變式7．（2023·江西南昌·高三校聯(lián)考期中）銳角中，，，為角，，所對的邊，點為的重心，若，則的取值范圍為______．
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過△ABC重心O的直線PQ交AC于點P，交BC于點Q，，，則n的值為________.
變式9．（2023·上海虹口·高三上海市復(fù)興高級中學(xué)?？计谥校┰谥?，過重心G的直線交邊AB于點P，交邊AC于點Q，設(shè)的面積為，的面積為，且，則的取值范圍為_________．
題型三：內(nèi)心定理
例7．（2023·湖北·模擬預(yù)測）在中，，，，且，若為的內(nèi)心，則_________．
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，，，，I是的內(nèi)心，P是內(nèi)部（不含邊界）的動點.若（，），則的取值范圍是______.
例9．（2023·黑龍江黑河·高三嫩江市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則為________．
變式10．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點是的內(nèi)心，若，則______.
變式11．（2023·甘肅蘭州·高一蘭州市第二中學(xué)校考期末）在面上有及內(nèi)一點滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，，，現(xiàn)有，則為的__心.
變式12．（2023·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
變式13．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上異于長軸端點的動點，，分別為的重心和內(nèi)心，則（）
A．B．C．2D．
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是其內(nèi)心，內(nèi)角所對的邊分別，則（）
A．B．
C．D．
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，，O為△ABC的內(nèi)心，若，則x＋y的最大值為（）
A．B．C．D．
變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）點在所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
則點依次為的（）
A．內(nèi)心、外心、重心、垂心；B．重心、外心、內(nèi)心、垂心；
C．重心、垂心、內(nèi)心、外心；D．外心、內(nèi)心、垂心、重心
變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，為內(nèi)一點，若分別滿足下列四個條件：
①；
②；
③；
④；
則點分別為的（）
A．外心、內(nèi)心、垂心、重心B．內(nèi)心、外心、垂心、重心
C．垂心、內(nèi)心、重心、外心D．內(nèi)心、垂心、外心、重心
題型四：外心定理
例10．（2023·山西呂梁·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)O為的外心，且滿足，，下列結(jié)論中正確的序號為______．
①；②；③．
例11．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知為的外心，，，則___________．
例12．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是的外心，若，且，則實數(shù)的最大值為______．
變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)O為的外心，若，，則___________.
變式19．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知點O是△ABC的外心，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，，且，則的值為________．
變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，．點滿足．過點的直線分別與邊交于點且，．已知點為的外心，，則為______．
變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC中，，點O是△ABC的外心，則________.
變式22．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點是的內(nèi)心、外心、重心、垂心之一，且滿足，則點一定是的（）
A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心
題型五：垂心定理
例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則是的（）
A．重心（三條中線交點）B．內(nèi)心（三條角平分線交點）
C．垂心（三條高線交點）D．外心（三邊中垂線交點）
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則______.
例15．（2023·北京·高三強基計劃）已知H是的垂心，，則的最大內(nèi)角的正弦值是_________．
變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)H是的垂心，且，則_____．
變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，點O、點H分別為的外心和垂心，，則________.
變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，為的垂心，且滿足，則___________.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多