1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部．(i為虛數(shù)單位)
(2)分類：
(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應(yīng)關(guān)系．
3．復(fù)數(shù)的運算
(1)運算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
【思考辨析】
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．( × )
(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.( × )
(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大?。? × )
(4)原點是實軸與虛軸的交點．( √ )
(5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．( √ )
1．(2016·全國乙卷)設(shè)(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a等于( )
A．－3B．－2C．2D．3
答案 A
解析 ∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，
∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故選A.
2．(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)已知復(fù)數(shù)z滿足(z－1)i＝1＋i，則z等于( )
A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i
答案 C
解析 由(z－1)i＝1＋i，兩邊同乘以－i，則有z－1＝1－i，所以z＝2－i.
3．(2016·黃山一模)設(shè)i是虛數(shù)單位，若z＝csθ＋isinθ，且其對應(yīng)的點位于復(fù)平面內(nèi)的第二象限，則θ位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
答案 B
解析 ∵z＝csθ＋isinθ對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(csθ，sinθ)，且點(csθ，sinθ)位于第二象限，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csθ0，))∴θ為第二象限角，故選B.
4．(教材改編)在復(fù)平面內(nèi)，向量eq \(AB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量eq \(CB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量eq \(CA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( )
A．1－2iB．－1＋2i
C．3＋4iD．－3－4i
答案 D
解析 eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
5．i2011＋i2012＋i2013＋i2014＋i2015＋i2016＋i2017＝________.
答案 1
解析 原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.
題型一 復(fù)數(shù)的概念
例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于( )
A．3，－2B．3,2
C．3，－3D．－1,4
(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
(3)(2016·天津)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，則z的實部為________．
答案 (1)A (2)A (3)1
解析 (1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，
∴a＝3，b＝－2，故選A.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m＋1＝3，,m2＋m－4＝－2，))解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要條件．
(3)∵(1＋i)z＝2，∴z＝eq \f(2,1＋i)＝1－i，∴其實部為1.
引申探究
1．將本例(1)中方程左邊改為(1＋i)(2－3i)，求a，b的值．
解 (1＋i)(2－3i)
＝2＋3－i＝5－i＝a＋bi，
所以a＝5，b＝－1.
2．將本例(3)中的條件“(1＋i)z＝2”改為“(1＋i)3z＝2”，求z的實部．
解 z＝eq \f(2,?1＋i?3)＝eq \f(2,－2＋2i)
＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i，
∴z的實部為－eq \f(1,2).
思維升華 解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項
(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
(1)已知a∈R，復(fù)數(shù)z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若eq \f(z1,z2)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)eq \f(z1,z2)的虛部為( )
A．1B．iC.eq \f(2,5)D．0
(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z2＝－4，若z的虛部大于0，則z＝________.
答案 (1)A (2)2i
解析 (1)由eq \f(z1,z2)＝eq \f(2＋ai,1－2i)＝eq \f(?2＋ai??1＋2i?,5)＝eq \f(2－2a,5)＋eq \f(4＋a,5)i是純虛數(shù)，得a＝1，此時eq \f(z1,z2)＝i，其虛部為1.
(2)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R，b>0)，
則z2＝a2－b2＋2abi＝－4，
因此a＝0，－b2＝－4，b＝±2，
又b>0，∴b＝2，∴z＝2i.
題型二 復(fù)數(shù)的運算
命題點1 復(fù)數(shù)的乘法運算
例2 (1)(2016·四川)設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1＋i)2等于( )
A．0B．2C．2iD．2＋2i
(2)(2016·全國乙卷)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|等于( )
A．1B.eq \r(2)C.eq \r(3)D．2
(3)(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)若a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a等于( )
A．－1B．0C．1D．2
答案 (1)C (2)B (3)B
解析 (1)(1＋i)2＝12＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i.
(2)由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,x＝y(tǒng)))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))所以|x＋yi|＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2)，故選B.
(3)因為a為實數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故選B.
命題點2 復(fù)數(shù)的除法運算
例3 (1)(2016·全國丙卷)若z＝1＋2i，則eq \f(4i,z\x\t(z)－1)等于( )
A．1B．－1C．iD．－i
(2)(2016·北京)復(fù)數(shù)eq \f(1＋2i,2－i)等于( )
A．iB．1＋iC．－iD．1－i
(3)(eq \f(1＋i,1－i))6＋eq \f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝________.
答案 (1)C (2)A (3)－1＋i
解析 (1)z＝1＋2i，zeq \x\t(z)＝5，eq \f(4i,z\x\t(z)－1)＝i.
(2)eq \f(1＋2i,2－i)＝eq \f(?1＋2i??2＋i?,?2－i??2＋i?)＝eq \f(5i,5)＝i.
(3)原式＝[eq \f(?1＋i?2,2)]6＋eq \f(?\r(2)＋\r(3)i??\r(3)＋\r(2)i?,?\r(3)?2＋?\r(2)?2)
＝i6＋eq \f(\r(6)＋2i＋3i－\r(6),5)＝－1＋i.
命題點3 復(fù)數(shù)的綜合運算
例4 (1)(2016·山東)若復(fù)數(shù)z滿足2z＋eq \x\t(z)＝3－2i，其中i為虛數(shù)單位，則z等于( )
A．1＋2iB．1－2i
C．－1＋2iD．－1－2i
(2)(2016·全國丙卷)若z＝4＋3i，則eq \f(\x\t(z),|z|)等于( )
A．1B．－1
C．eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)iD．eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i
(3)若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為( )
A．－4B．－eq \f(4,5)C．4D.eq \f(4,5)
答案 (1)B (2)D (3)D
解析 (1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq \x\t(z)＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＝3，,b＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，))∴z＝1－2i，故選B.
(2)z＝4＋3i，|z|＝5，eq \f(\x\t(z),|z|)＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i.
(3)設(shè)z＝a＋bi，
故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3b－4a＝0，,3a＋4b＝5，))解得b＝eq \f(4,5).
思維升華 復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略
(1)復(fù)數(shù)的乘法．復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．
(2)復(fù)數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.
(3)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題．先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答．
(4)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題．先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答．
(5)復(fù)數(shù)的綜合運算．分別運用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運算，要注意運算順序，要先算乘除，后算加減，有括號要先算括號里面的．
(1)(2015·山東)若復(fù)數(shù)z滿足eq \f(\x\t(z),1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z等于( )
A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2017＝________.
(3)eq \f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1－i)))2017＝________.
答案 (1)A (2)i (3)eq \f(\r(2),2)＋(eq \f(\r(2),2)＋1)i
解析 (1)eq \x\t(z)＝i(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i，故選A.
(2)(eq \f(1＋i,1－i))2017＝[eq \f(?1＋i?2,?1－i??1＋i?)]2017＝i2017＝i.
(3)eq \f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋(eq \f(\r(2),1－i))2017
＝eq \f(i?1＋2\r(3)i?,1＋2\r(3)i)＋(eq \f(\r(2),1－i))[(eq \f(\r(2),1－i))2]1008
＝i＋i1008·eq \f(\r(2),2)(1＋i)＝eq \f(\r(2),2)＋(eq \f(\r(2),2)＋1)i.
題型三 復(fù)數(shù)的幾何意義
例5 (1)△ABC的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若復(fù)數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應(yīng)的點為△ABC的( )
A．內(nèi)心B．垂心
C．重心D．外心
答案 D
解析 由幾何意義知，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到△ABC三個頂點距離都相等，z對應(yīng)的點是△ABC的外心．
(2)如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求：
①eq \(AO,\s\up6(→))、eq \(BC,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)；
②對角線eq \(CA,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)；
③B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．
解 ①eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))，∴eq \(AO,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.
∵eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))，∴eq \(BC,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.
②eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，∴eq \(CA,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(OB,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.
思維升華 因為復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)時，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可．
已知z是復(fù)數(shù)，z＋2i，eq \f(z,2－i)均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．
解 設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意得y＝－2.
∵eq \f(z,2－i)＝eq \f(x－2i,2－i)＝eq \f(1,5)(x－2i)(2＋i)
＝eq \f(1,5)(2x＋2)＋eq \f(1,5)(x－4)i，
由題意得x＝4.∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根據(jù)條件，可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12＋4a－a2>0，,8?a－2?>0，))
解得20，且(1＋ai)(b＋i)＝5i(i是虛數(shù)單位)，則a＋b等于( )
A.eq \r(2)B．2eq \r(2)C．2D．4
答案 D
解析 由題意得(1＋ai)(b＋i)＝(b－a)＋(1＋ab)i＝5i，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－a＝0，,1＋ab＝5，))又a>0，b>0，所以a＝b＝2，則a＋b＝4.
2．(2017·天津質(zhì)檢)已知i為虛數(shù)單位，a∈R，如果復(fù)數(shù)2i－eq \f(a,1－i)是實數(shù)，則a的值為( )
A．－4B．2C．－2D．4
答案 D
解析 ∵2i－eq \f(a,1－i)＝2i－eq \f(a?1＋i?,?1－i??1＋i?)
＝2i－eq \f(a,2)－eq \f(a,2)i＝(2－eq \f(a,2))i－eq \f(a,2)，a∈R，
∴2－eq \f(a,2)＝0，∴a＝4.
3．若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)eq \f(z,1＋i)的點是( )
A．EB．FC．GD．H
答案 D
解析 由題圖知復(fù)數(shù)z＝3＋i，
∴eq \f(z,1＋i)＝eq \f(3＋i,1＋i)＝eq \f(?3＋i??1－i?,?1＋i??1－i?)＝eq \f(4－2i,2)＝2－i.
∴表示復(fù)數(shù)eq \f(z,1＋i)的點為H.
4．(2017·南昌月考)eq \x\t(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，若z＋eq \x\t(z)＝2，(z－eq \x\t(z))i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z等于( )
A．1＋iB．－1－i
C．－1＋iD．1－i
答案 D
解析 方法一 設(shè)z＝a＋bi，a，b為實數(shù)，則eq \x\t(z)＝a－bi.
∵z＋eq \x\t(z)＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－eq \x\t(z))i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.
方法二 ∵(z－eq \x\t(z))i＝2，∴z－eq \x\t(z)＝eq \f(2,i)＝－2i.
又z＋eq \x\t(z)＝2，∴(z－eq \x\t(z))＋(z＋eq \x\t(z))＝－2i＋2，
∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.
5．(2016·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2csθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，則λ的取值范圍是( )
A．[－1,1]B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，1))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，7))
答案 C
解析 由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2csθ，,4－m2＝λ＋3sinθ，))化簡得4－4cs2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cs2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinθ－\f(3,8)))2－eq \f(9,16)，因為sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7)).
6．已知0

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2023屆高考一輪復(fù)習(xí)講義（理科）第十二章　復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第1講　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)案

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2022版江蘇高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第5章 第4節(jié)　數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 Word版含答案學(xué)案

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