2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第03講 冪函數(shù)與二次函數(shù)
目錄
1、冪函數(shù)的定義
一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).
2、冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)
①的系數(shù)為1；②的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).
(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：
4、二次函數(shù)解析式的三種形式
（1）一般式：；
（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對稱軸方程.
（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
5、二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
（1）單調(diào)性與最值
= 1 \* GB3 ①當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；
= 2 \* GB3 ②當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，
（2）與軸相交的弦長
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，.
6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.
對二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則.
【解題方法總結(jié)】
1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：
①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；
②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；
③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出．
2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號與系數(shù)之間的關(guān)系
（1）方程有兩個(gè)不等正根
（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根
（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為
3、一元二次方程的根的分布問題
一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：
（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).
設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.
4、有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.
（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成： = 1 \* GB3 ①軸處在區(qū)間的左側(cè)； = 2 \* GB3 ②軸處在區(qū)間的右側(cè)； = 3 \* GB3 ③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.
（2）對于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).
題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像
【例1】（2023·寧夏固原·高三隆德縣中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞減，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．或C．D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（ ）．
A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞減
【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（ ）
A．2B．3C．4D．9
【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時(shí)，集合C為（ ）
A．B．C．D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且
B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
【解題方法總結(jié)】
確定冪函數(shù)的定義域，當(dāng)為分?jǐn)?shù)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或?yàn)閯t被開方式非負(fù).當(dāng)時(shí)，底數(shù)是非零的.
題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【例2】（2023·吉林長春·高三?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則滿足成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過第四象限；②圖象是一條直線；③若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；④若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；⑤若函數(shù)的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號是________．
【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，若對，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·福建三明·高三校考期中）已知，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________
【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．
【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為：_________．
【對點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.
【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則__________.
【解題方法總結(jié)】
緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù).
題型三：二次方程的實(shí)根分布及條件
【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，那么m的值為（ ）
A．B．C．或1D．或4
【對點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）.
A．B．
C．D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·全國·高三專題練習(xí)）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，那么的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【解題方法總結(jié)】
結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析實(shí)根分布，得到其限定條件，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而解不等式求參數(shù)的范圍.
題型四：二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題
【例4】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知.
(1)若，，解關(guān)于的不等式；
(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.
【對點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，，.
(1)求在區(qū)間上的解析式；
(2)若對，則，使得成立，求的取值范圍.
【對點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【對點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；
(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．
【對點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知值域?yàn)榈亩魏瘮?shù)滿足，且方程的兩個(gè)實(shí)根滿足．
(1)求的表達(dá)式；
(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【對點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù).
（1）求的值；
（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【解題方法總結(jié)】
“動軸定區(qū)間 ”、“定軸動區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：
（1）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行分析；
（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.
題型五：二次函數(shù)最大值的最小值問題
【例5】（2023·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．
【對點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)的最大值為，求的最小值．
【對點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，①求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；②求函數(shù)在區(qū)間的值域；
(2)當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的最大值為，求的最小值．
【對點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，解方程；
(2)當(dāng)時(shí)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．
【解題方法總結(jié)】
分類討論
1．（2015·山東·統(tǒng)考高考真題）關(guān)于函數(shù)，以下表達(dá)錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（ ）
A．函數(shù)的最大值是1B．函數(shù)圖象的對稱軸是直線
C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是D．函數(shù)圖象過點(diǎn)
2．（2017·浙江·高考真題）若函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值
A．與a有關(guān)，且與b有關(guān)B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)
C．與a無關(guān)，且與b無關(guān)D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)
3．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)， ，則f(-8)的值是____.
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）通過具體實(shí)例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.
（2）掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點(diǎn)、最值等).
2020年江蘇卷第7題，5分
從近五年全國卷的考查情況來看，本節(jié)內(nèi)容很少單獨(dú)命題，冪函數(shù)要求相對較低, 常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合，比較冪值的大小，多以選擇題、填空題出現(xiàn).
函數(shù)
圖象
定義域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
根的分布
圖像
限定條件
在區(qū)間內(nèi)
沒有實(shí)根
在區(qū)間內(nèi)
有且只有一個(gè)實(shí)根
在區(qū)間內(nèi)
有兩個(gè)不等實(shí)根

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