2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第04講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
目錄

1、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算
(1)根式的定義：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．
(2)根式的性質(zhì)：
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).
(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.
(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類
①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；
③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．
(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指數(shù)函數(shù)
【解題方法總結(jié)】
1、指數(shù)函數(shù)常用技巧
(1)當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情形討論．
(2)當(dāng)時(shí)，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．
當(dāng)時(shí)，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．
(3)指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．
【典例例題】
題型一：指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式
【例1】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．設(shè)則B．若，則
C．若，則D．
【答案】B
【解析】對(duì)于A，根據(jù)分式指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于 C，， ，因?yàn)?，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：B．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
故選：B
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲?乙兩人解關(guān)于x的方程，甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，得到的根為或x=，乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，得到的根為或，則原方程的根是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【解析】令，則方程可化為，甲寫錯(cuò)了常數(shù)b，
所以和是方程的兩根，所以，
乙寫錯(cuò)了常數(shù)c，所以1和2是方程的兩根，所以，
則可得方程，解得，
所以原方程的根是或
故選：D
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】方程有解，
有解，
令，
則可化為有正根，
則在有解，又當(dāng)時(shí)，
所以，
故選：．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）不等式的解集為______．
【答案】
【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，
即，解得，
所以原不等式的解集為.
故答案為：
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】由，可得.
令，
因?yàn)榫鶠樯蠁握{(diào)遞減函數(shù)
則在上單調(diào)逆減，且，
，
故不等式的解集為.
故答案為：.
【解題總結(jié)】
利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對(duì)于形如，，的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決；或用“取對(duì)數(shù)”的方法求解.形如或的形式，可借助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.
題型二：指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)
【例2】（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】根據(jù)函數(shù)解析式的形式，以及圖象的特征，合理給賦值，判斷選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，圖象A滿足；
當(dāng)時(shí)，，，且，此時(shí)函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，圖象B滿足；
當(dāng)時(shí)，，，且，此時(shí)函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖象D滿足；
圖象C過(guò)點(diǎn)，此時(shí)，故C不成立.
故選：ABD
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】∵的定義域?yàn)镽，
∴0對(duì)任意x∈R恒成立，
即恒成立，
即對(duì)任意恒成立，
，則．
故答案為．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，，則其值域?yàn)開______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∴，
又關(guān)于對(duì)稱，開口向上， 所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，
.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)的最大值是最小值的兩倍，且，則______
【答案】或
【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，
此時(shí)函數(shù)的最大值為，最小值為，
由題意得，解得，則，
此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，
此時(shí)函數(shù)的最大值為，最小值為，
由題意得，解得，則，
此時(shí)．
故答案為：或.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（ ）
A．或B．C．D．且
【答案】C
【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時(shí)，且，所以解得.
故選：C
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖像如圖，則實(shí)數(shù)a，b的取值只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若，為增函數(shù)，
且，與圖象不符，
若，為減函數(shù)，
且，與圖象相符，所以，
當(dāng)時(shí)，，
結(jié)合圖象可知，此時(shí)，所，則，所以，
故選:C.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于x，y的方程，則的最小值為（ ）
A．8B．24C．4D．6
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)
又點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于，的方程，
所以，
即
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)；
所以的最小值為4．
故選：C．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（多選題）（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì)有多種方法，“直接推算法”使用的公式是，其中為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口年增長(zhǎng)率，為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)
B．當(dāng)，則這期間人口數(shù)呈擺動(dòng)變化
C．當(dāng)時(shí)，的最小值為3
D．當(dāng)時(shí)，的最小值為3
【答案】AC
【解析】，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù)，
即人口數(shù)呈下降趨勢(shì)，故A正確，B不正確；
，所以，所以，
，所以的最小值為3，故C正確；
，所以，所以，
，所以的最小值為2，故D不正確；
故選：AC.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（多選題）（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)是增函數(shù)
B．曲線關(guān)于對(duì)稱
C．函數(shù)的值域?yàn)?br>D．曲線有且僅有兩條斜率為的切線
【答案】AB
【解析】根據(jù)題意可得，易知是減函數(shù)，
所以是增函數(shù)，即A正確；
由題意可得，所以，
即對(duì)于任意，滿足，所以關(guān)于對(duì)稱，即B正確；
由指數(shù)函數(shù)值域可得，所以，即，
所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以C錯(cuò)誤；
易知，令，整理可得，
令，即，
易知，又因?yàn)椋矗?br>所以，即，因此；
即關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
所以無(wú)解，即曲線不存在斜率為的切線，即D錯(cuò)誤；
故選：AB
【解題總結(jié)】
解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問(wèn)題，思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮，按照數(shù)形結(jié)合的思路分析，從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口，但要注意底數(shù)對(duì)問(wèn)題的影響.
題型三：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題
【例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式在R上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
【答案】．
【解析】令
因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，
所以
因此要使在區(qū)間上恒成立，應(yīng)有，即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】由函數(shù)，
均為在上的增函數(shù)，故函數(shù)是在上的單調(diào)遞增函數(shù)，
且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
因?yàn)椋矗?br>可得恒成立，即在上恒成立，
則滿足，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知不等式，對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】，，
【解析】設(shè)，，
則，對(duì)于，恒成立，
即，對(duì)于，恒成立，
∴，
即，
解得或，
即或，
解得或，
綜上，的取值范圍為，，．
故答案為：，，﹒
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∵恒成立，∴恒成立，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，表達(dá)式取得最小值，
∴，
故答案為．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·上海徐匯·高三位育中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值，并證明在上單調(diào)遞增；
(2)已知且，若對(duì)于任意的、，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
則，解得，此時(shí)，
對(duì)任意的，，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，即函數(shù)為奇函數(shù)，合乎題意，
任取、且，則，
所以，，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，
對(duì)于任意的、，都有，則，
，
因?yàn)?，則.
當(dāng)時(shí)，則有，解得；
當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí).
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【解題總結(jié)】
已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：
（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
題型四：指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題
【例4】（2023·全國(guó)·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依題意，，，
故，
故函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)遞減，且，
函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，在上單調(diào)遞減，，
而，故或或，
解得或，故所求不等式的解集為，
故選：B.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè).若函數(shù)的定義域?yàn)?，則關(guān)于的不等式的解集為__________.
【答案】
【解析】若，對(duì)任意的，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，不合乎題意，
所以，，由可得，
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，，解得?br>所以，，則，
由可得，解得.
因此，不等式的解集為.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則__________.
【答案】/1.5
【解析】依題意函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，
又，所以，
所以定義域?yàn)椋?br>因?yàn)榈膱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得.
又，所以，
所以，即，
所以，所以.
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則滿足的x的取值范圍是______________．
【答案】
【解析】由函數(shù)性質(zhì)知，
，
∴，
即，解得，∴，
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·河南信陽(yáng)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則__________．
【答案】1
【解析】因?yàn)?，化?jiǎn)得．
所以，又，
構(gòu)造函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)，在上都為增函數(shù)，
所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案為：.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？级＃c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
【答案】BC
【解析】由表示與點(diǎn)所成直線的斜率，
又是在部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)，圖象如下：
如上圖，，則，只有B、C滿足.
故選：BC
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）
由，可得．
根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù) ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 ，
又因?yàn)?，所以 .
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】法一：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．
2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，故A錯(cuò)誤，C正確；
，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤；
故選：C．
3．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)在上的圖像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，
是偶函數(shù)，所以在上遞增.
注意到，
所以B選項(xiàng)符合.
故選：B
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).
（2）通過(guò)實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會(huì)畫指數(shù)函數(shù)的圖象.
（3）理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．
2022年甲卷第12題，5分
2020年新高考II卷第11題，5分
從近五年的高考情況來(lái)看, 指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù) 是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)基本點(diǎn), 常與二次函數(shù)、 冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合, 考查數(shù)值大小的 比較和函數(shù)方程問(wèn)題.
圖象
性質(zhì)
①定義域，值域
②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)
③，即時(shí)，等于底數(shù)
④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)
在定義域上是單調(diào)增函數(shù)
⑤時(shí)，；時(shí)，
時(shí)，；時(shí)，
⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

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