第05講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（講義）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新教材新高考）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
第05講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
目錄
1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算
(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，讀作以為底的對(duì)數(shù)，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．
(2)常見對(duì)數(shù)：
①一般對(duì)數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對(duì)數(shù)；
②常用對(duì)數(shù)：以為底，記為；
③自然對(duì)數(shù)：以為底，記為；
(3) 對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③對(duì)數(shù)換底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．
對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象
【解題方法總結(jié)】
1、對(duì)數(shù)函數(shù)常用技巧
在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見下圖)
題型一：對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式
【例1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，則______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）方程的解集為________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）設(shè)，滿足，則__________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）計(jì)算的值為______.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，用a，b表示____________
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）若，且，則__________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）=____________ ；
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式解集為 _____．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·上海楊浦·高三上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是__________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）方程的解為_________．
【解題方法總結(jié)】
對(duì)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問(wèn)題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對(duì)數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問(wèn)題是要將其化為同底，利用對(duì)數(shù)單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)的問(wèn)題，但這里必須注意對(duì)數(shù)的真數(shù)為正.
題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像
【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，其中且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）
A．，B．，
C．，D．，
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）
A．B．
C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·北京海淀·清華附中校考模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集為__________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，，則的值可以為（）
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題最重要的思路和方法.圖像問(wèn)題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問(wèn)題提供了思維方向.
題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））
【例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在上為減函數(shù)，則a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）正數(shù)滿足，則a與大小關(guān)系為______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值是2，則a等于_________
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數(shù)在上是增函數(shù)，則的值是____________．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)有最小值，則的取值范圍是______．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù):_____.
① ;②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減; ③為偶函數(shù).
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（）
A．在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞減
C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D．有最小值，但無(wú)最大值
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題最重要的思路和方法.性質(zhì)問(wèn)題是數(shù)和形結(jié)合的護(hù)體解釋.它為研究函數(shù)問(wèn)題提供了思維方向.
題型四：對(duì)數(shù)函數(shù)中的恒成立問(wèn)題
【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，對(duì)任意的，，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求a的值；
(2)若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（2）對(duì)任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解題方法總結(jié)】
（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像求解；
（2）分離自變量與參變量，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.
（3）涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題
【例5】（多選題）（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，則以下結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為______.
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（多選題）（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（）
A．B．
C．D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2023·河南·高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是方程和的根，若，實(shí)數(shù)a，，則的最小值為（）
A．1B．C．D．2
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若滿足，滿足，則等于（）
A．2B．3C．4D．5
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是方程的根，是方程的根，則的值為（）
A．2B．3C．6D．10
1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）化簡(jiǎn)的值為（）
A．1B．2C．4D．6
2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，則（）
A．25B．5C．D．
3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則（）
A．B．C．1D．
考點(diǎn)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
（1）理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).
（2）通過(guò)實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).
（3）了解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(，且)互為反函數(shù)．
2022年天津卷第6題，5分
2022年浙江卷第7題，5分
2022年I卷I卷第7題，5分
從近五年的高考情況來(lái)看，對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)是高考的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，常與二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問(wèn)題.
圖象

性質(zhì)
定義域：
值域：
過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，
在上增函數(shù)
在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

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