1、多加總結(jié)。當(dāng)三年所有的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)加在一起，可能會(huì)使有些基礎(chǔ)不牢固的學(xué)生犯迷糊。
2、做題經(jīng)驗(yàn)。哪怕同一題只改變數(shù)字，也能成為一道新的題目。
3、多刷錯(cuò)題。多刷錯(cuò)題能夠進(jìn)一步地掃清知識(shí)盲區(qū)，多加鞏固之后自然也就掌握了知識(shí)點(diǎn)。
對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，三輪復(fù)習(xí)就相當(dāng)于是最后的“救命稻草”，家長(zhǎng)們同樣是這樣，不要老是去責(zé)怪孩子考試成績(jī)不佳，相反，更多的來(lái)說(shuō)，如果能夠陪同孩子去反思成績(jī)不佳的原因，找到問(wèn)題的癥結(jié)所在，更加重要。
【一專三練】 專題15 解析幾何小題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）
一、單選題
1．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知橢圓E，直線與橢圓E相切，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由橢圓和直線相切，聯(lián)立橢圓和直線的方程消得到，令，化簡(jiǎn)得到，即可求解.
【詳解】由題意，聯(lián)立橢圓和直線的方程得：
整理得：，
因?yàn)闄E圓和直線相切，
則，
化簡(jiǎn)得：，
則橢圓的離心率，
故選：B.
2．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，若面積的最小值為4，則（ ）
A．1B．2C．4D．16
【答案】B
【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程，將其代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出的表達(dá)式，再利用點(diǎn)到直線的距離和三角形面積公式求出面積的表達(dá)式，進(jìn)而求解即可.
【詳解】設(shè)，以為切點(diǎn)的切線斜率為，
則以為切點(diǎn)的切線方程為，
與拋物線聯(lián)立可得：，
由，即，則，
即，解得，
則以為切點(diǎn)的切線方程為，即，
所以，整理可得，
同理為切點(diǎn)的切線方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在切線和，
所以，，
故直線的方程為：，
聯(lián)立消去x，得．．
由韋達(dá)定理，得，于是．
點(diǎn)M到直線的距離：，
于是的面積，
當(dāng)時(shí)，面積最小為，
故選：B．
3．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形為矩形，則C的離心率為（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】聯(lián)立直線與C的方程，求出弦AB長(zhǎng)，由求解即得.
【詳解】顯然直線與交于原點(diǎn)O，
由雙曲線對(duì)稱性知，若四邊形是矩形，則，
設(shè)點(diǎn)，而
由得，解得，
則，
則，化簡(jiǎn)得，即，，
解得，
則.
故選：C.
4．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若是面積為的正三角形，則的值為（ ）
A．2B．6C．D．
【答案】C
【分析】由三角形的面積公式得到，再由正三角形得到點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，即可得到.
【詳解】是面積為的正三角形，即，所以，
所以的邊長(zhǎng)為，高為，
所以，所以.又，所以，
故選：C.
5．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)A，B和點(diǎn)的圓的圓心在y軸上，則直線l的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用韋達(dá)定理結(jié)合可得，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式表示得,結(jié)合即可求直線l的斜率.
【詳解】由題意可知：，設(shè)，，的中點(diǎn)為P，
過(guò)點(diǎn)A，B，M的圓的圓心坐標(biāo)為，則，
由題意知：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)整理可得，，
則，，
，
故的中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，橫坐標(biāo)，
則，
由圓的性質(zhì)可知：圓心與弦中點(diǎn)連線的斜率垂直于弦所在的直線，
所以，化簡(jiǎn)整理可得：①，
則圓心到直線的距離，
，
，即，
將①代入可得：，
即，
整理可得：，則，
因?yàn)?，所以，解得?br>∴.
故選:A.
6．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若且，則橢圓的的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意設(shè)由橢圓的定義可求出，再由，代入化簡(jiǎn)即可得出答案.
【詳解】因?yàn)檫^(guò)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若且，
設(shè)，，
由橢圓的定義知：解得：，
所以，
所以，
則，則，
.
故選：C.
7．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知拋物線的方程為，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積與的面積之比為（ ）
A．B．C．5D．4
【答案】D
【分析】通過(guò)拋物線的定義及解析式可得的坐標(biāo)，從而求得的坐標(biāo),將面積比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系即可.
【詳解】由解析式可知：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，
設(shè)，
由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，則
聯(lián)立,，即，所以
故選：D
8．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】將圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，從而利用點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閳A的方程為，所以圓心為，半徑為，
又圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，
所以圓心到直線的距離，
所以，即，得到
故選：D.
9．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系上，圓，直線與圓交于兩點(diǎn)，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式表示出圓心到直線距離，并由的范圍確定的范圍；利用垂徑定理表示出，由，根據(jù)基本不等式取等條件可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，
則圓心到直線的距離，
，，，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，，又，解得：.
故選：C.
10．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知橢圓：的兩條弦相交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），且軸，軸.若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，進(jìn)而得的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性得，再代入橢圓方程整理得，最后求解離心率即可.
【詳解】解：設(shè)，則，，
由題知關(guān)于x軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，
所以，，即，，
所以，
所以，即，
所以，即，
所以橢圓的離心率為.
故選：B
11．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線和橢圓的右焦點(diǎn)分別為，，，分別為上第一象限內(nèi)不同于的點(diǎn)，若，，則四條直線的斜率之和為（ ）
A．1B．0C．D．不確定值
【答案】B
【分析】設(shè)為原點(diǎn)，則，，結(jié)合題意可得，即可得到.由可得，進(jìn)而得到.設(shè)，，分別代入雙曲線和方程，可得，再表示出和，進(jìn)而求解.
【詳解】設(shè)為原點(diǎn)，則，，
而，得，
所以、、三點(diǎn)共線.
因?yàn)?，所以，且?br>得，
所以，即.
設(shè)，，分別代入雙曲線和，
則，即，
所以，
，
因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，
所以，
即.
故選：B.
12．（2023·江蘇宿遷·江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）橢圓具有光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)(如圖).已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與橢圓E交與點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A作橢圓的切線l，點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為M，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合題目所給信息及圖形可得，后由橢圓定義及條件可得，.最后由可得答案.
【詳解】如圖，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得三點(diǎn)共線.
設(shè)，則，.
故，解得.又，所以，.
所以.
故選：A.
二、多選題
13．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線兩條互相垂直的切線、，切點(diǎn)為、、不重合，設(shè)直線、分別與y軸交于點(diǎn)A、B，則（ ）
A．、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值B．直線的斜率為定值
C．線段AB的長(zhǎng)度為定值D．面積的取值范圍為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)切線方程的定義，利用分類討論的思想，可得整理切線方程，根據(jù)直線垂直可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積，進(jìn)而可得縱坐標(biāo)的乘積，利用直線斜率公式，等量代換整理，可得其值，利用切線方程，求得的坐標(biāo)，可得答案.
【詳解】由函數(shù)，則，
設(shè)，，
當(dāng)，時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，符合題意；
當(dāng)時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，由題意可得，，化簡(jiǎn)可得，顯然不成立；
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，直線的斜率，故B正確；
對(duì)于C，易知直線，直線，
令，則，即，同理可得，
，故C正確；
對(duì)于D，聯(lián)立，整理可得，解得，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，
所以，，故D正確.
故選：BCD.
14．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)，，點(diǎn)P為圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．面積的最小值為B．的最小值為
C．的最大值為D．的最大值為
【答案】BCD
【分析】對(duì)于A，點(diǎn)P動(dòng)到圓C的最低點(diǎn)時(shí)，面積的最小值，利用三角形面積公式；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，取到最小值，通過(guò)兩點(diǎn)間距離公式即可求解；對(duì)于C，當(dāng) 運(yùn)動(dòng)到與圓C相切時(shí)，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；對(duì)于D，利用平面向量數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行求解.
【詳解】，
圓C是以為圓心，為半徑的圓.
對(duì)于A，面積的最小值為點(diǎn)P動(dòng)到圓C的最低點(diǎn)時(shí)，，
，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，連接交圓于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，取到最小值為，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，當(dāng) 運(yùn)動(dòng)到與圓C相切時(shí)，取得最大值，設(shè)切點(diǎn)為,，，
，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，，當(dāng)點(diǎn)P動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，取得最大值，即在上的投影，，故選項(xiàng)D正確；
故選：BCD.
15．（2023·江蘇·二模）已知橢圓，點(diǎn)為右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，則（ ）
A．周長(zhǎng)為定值B．直線與的斜率乘積為定值
C．線段的長(zhǎng)度存在最小值D．該橢圓離心率為
【答案】BCD
【分析】通過(guò)取不同值求出周長(zhǎng)即可判斷A，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)利用斜率公式化簡(jiǎn)即可判斷B，確定線段取最小值的條件即可判斷C，確定、的值即可求出離心率從而判斷D．
【詳解】該橢圓中，則，
所以離心率為，故D正確；
設(shè)，，，
則在、斜率都存在的前提下有，，
于是
為定值，故B正確；
由題意可設(shè)的方程為，
聯(lián)立，消得，
則，
所以
，
則當(dāng)時(shí)，，
所以線段的長(zhǎng)度存在最小值，故C正確.
當(dāng)時(shí)，直線與橢圓交于點(diǎn)和，
不妨取點(diǎn)為，得直線方程為，
求得交點(diǎn)為，
則，，，此時(shí)的周長(zhǎng)為，
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得，不妨取，
則垂直于軸，此時(shí)，，，
此時(shí)的周長(zhǎng)為，
顯然周長(zhǎng)不為定值，故A錯(cuò)誤；
故選：BCD．
16．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，（其中），點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，的最小值為2，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．橢圓的焦距為2
B．過(guò)作圓切線的斜率為
C．若、為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且異于頂點(diǎn)和點(diǎn)的兩點(diǎn)，則直線與的斜率之積為
D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】由圓的性質(zhì)結(jié)合給定的最小值求出c判斷A；設(shè)出切線方程結(jié)合點(diǎn)到直線的距離計(jì)算判斷B；利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合橢圓方程計(jì)算判斷C；利用圓的性質(zhì)及橢圓的定義計(jì)算判斷D作答.
【詳解】圓的圓心，半徑，顯然圓與橢圓相離，而點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，
于是，當(dāng)且僅當(dāng)分別是線段與橢圓、圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
因此，解得，則橢圓的焦距為2，且橢圓的方程為，A正確；
顯然過(guò)的圓切線的斜率存在，設(shè)此切線方程為，于是，解得，B正確；
設(shè)，有，且，即，
直線的斜率分別為，因此，C錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)分別是線段與橢圓、圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，D正確.
故選：ABD
17．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知P，Q是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，MQ交雙曲線于點(diǎn)N，設(shè)直線PQ的斜率為k，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．k的取值范圍是且B．直線MN的斜率為
C．直線PN的斜率為D．直線PN與直線QN的斜率之和的最小值為
【答案】ABC
【分析】因?yàn)橹本€與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則斜率k在兩條漸近線斜率之間可判斷A；設(shè)點(diǎn)，，，表示出可判斷B；由雙曲線的第三定義知，再結(jié)合，求出可判斷C；由均值不等式可判斷D.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，，，直線與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，
則斜率k在兩條漸近線斜率之間，即且，選項(xiàng)A正確；
∵，，選項(xiàng)B正確；
設(shè)，則，
，
因?yàn)椋跈E圓上，
所以，兩式相減，則，
所以，
又，∴，選項(xiàng)C正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，即，
但，所以等號(hào)無(wú)法取得，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：ABC.
18．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知圓C：與圓，P，Q分別為圓C和圓M上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．過(guò)點(diǎn)（2，1）作圓M的切線有且僅有一條
B．存在實(shí)數(shù)a，使得圓C和圓M恰有一條公切線
C．若圓C和圓M恰有3條公切線，則
D．若的最小值為1，則
【答案】BC
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，通過(guò)判斷點(diǎn)在圓M外，則可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)BC，可通過(guò)兩圓內(nèi)切和外切求出的值，從而判斷BC的正誤；對(duì)于選項(xiàng)D,利用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可得出當(dāng)P、Q兩點(diǎn)在兩圓心連線段上時(shí)取得最小值，也即，從而求出，判斷出選項(xiàng)D的正誤.
【詳解】選項(xiàng)A，點(diǎn)到的距離為，所以點(diǎn)在圓M外，可作2條切線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，當(dāng)圓C和圓M內(nèi)切時(shí)，圓C和圓M只有一條公切線，此時(shí)有，
即，解得，故選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C，當(dāng)圓C和圓M外切時(shí)，圓C和圓M只有3條公切線，此時(shí)有，
即，解得，故選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D，由兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可得出當(dāng)P、Q兩點(diǎn)在兩圓心連線段上時(shí)取得最小值，即時(shí)，取得最小值為1，所以，得到，解得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：BC
19．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，，分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn).設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，則（ ）
A．若直線與的斜率分別為，，則
B．直線與軸垂直
C．
D．
【答案】ABC
【分析】設(shè)，由斜率公式及點(diǎn)在橢圓上可得判斷A，聯(lián)立直線的方程求出、坐標(biāo)，由條件可得即可判斷B，求出中點(diǎn)在上，即可判斷CD.
【詳解】如圖，
設(shè)，則，故A正確；
直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，即，
同理可得，因?yàn)?，所以，所以，則直線與軸垂直，故B正確；
同理，所以，故的中點(diǎn)在直線上，故C正確；D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
20．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知圓的方程為，對(duì)任意的，該圓（ ）
A．圓心在一條直線上B．與坐標(biāo)軸相切
C．與直線不相交D．不過(guò)點(diǎn)
【答案】ABC
【分析】對(duì)A：顯然圓心在上；對(duì)B：用圓心到坐標(biāo)軸的距離判斷；對(duì)C：用圓心到直線的距離判斷；對(duì)D：將點(diǎn)代入圓方程看是否有解.
【詳解】對(duì)于：顯然圓心在故A對(duì)；
對(duì)于B：圓心到坐標(biāo)軸的距離均為，等于圓的半徑，故該圓與坐標(biāo)軸相切，B正確；
對(duì)于C：圓心到直線距離，故相離，C對(duì)；
對(duì)于D：將點(diǎn)代入圓方程得，
顯然，故有解，所以可能過(guò)點(diǎn)錯(cuò)；
故選：ABC．
三、填空題
21．（2023·江蘇·二模）設(shè)過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率為__________
【答案】
【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合向量知識(shí)建立關(guān)于、的方程即可求出離心率．
【詳解】如圖，
設(shè)為中點(diǎn)，，
由可知，，
由雙曲線的定義可知， ，
由可知，
又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，可知，則,
從而為線段的垂直平分線，， 即 ，
所以，則為正三角形，，
在直角△中，，即，所以 ．
故答案為：．
22．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）弓琴（如圖），也可稱作“樂(lè)弓”，是我國(guó)彈弦樂(lè)器的始祖．古代有“后羿射十日”的神話，說(shuō)明上古生民對(duì)善射者的尊崇，樂(lè)弓自然是弓箭發(fā)明的延伸．在我國(guó)古籍《吳越春秋》中，曾記載著：“斷竹、續(xù)竹，飛土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔，其正面為一橢圓面，它有多條弦，撥動(dòng)琴弦，音色柔弱動(dòng)聽，現(xiàn)有某研究人員對(duì)它做出改進(jìn)，安裝了七根弦，發(fā)現(xiàn)聲音強(qiáng)勁悅耳．下圖是一弓琴琴腔下部分的正面圖．若按對(duì)稱建立如圖所示坐標(biāo)系，為左焦點(diǎn)，均勻?qū)ΨQ分布在上半個(gè)橢圓弧上，為琴弦，記，數(shù)列前n項(xiàng)和為，橢圓方程為，且，則取最小值時(shí)，橢圓的離心率為__________.
【答案】
【分析】根據(jù)焦半徑公式可得，從而可知數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而可求得，再根據(jù)的橫坐標(biāo)為八等分可得，從而可得，進(jìn)而表示出，利用基本不等式“1”的妙用可求最小值，從而求解離心率.
【詳解】設(shè)，有，
得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，
，
由題意，的橫坐標(biāo)為八等分，所以，
而，又，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)離心率為，
故答案為: .
23．（2023·江蘇南通·二模）已知點(diǎn)在拋物線上，過(guò)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的焦點(diǎn)．若，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則_______.
【答案】
【分析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，可得點(diǎn)，分析可知直線的傾斜角為，利用直線的斜率公式可得出關(guān)于的等式，結(jié)合的取值范圍可求得的值.
【詳解】如下圖所示：
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，聯(lián)立可得，即點(diǎn)
易知軸，則軸，則，
所以，直線的傾斜角為，易知點(diǎn)，
所以，，整理可得，且有，故，
等式兩邊平方可得，即，
解得（6舍去）
故答案為：.
24．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，若圓上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)，使得的面積為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【分析】求出AB的長(zhǎng)度，直線方程，結(jié)合△ABC的面積為，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離進(jìn)行求解即可．
【詳解】由已知可得，AB的斜率，.
又的面積為，所以點(diǎn)到直線的距離.
直線AB的方程為，即.
則圓心O到直線的距離.
如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交圓于點(diǎn).
因?yàn)閳A上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)C，使得的面積為.
又點(diǎn)到直線的距離，
則應(yīng)有，所以，
即點(diǎn)到直線的距離小于，
所以有，
解得.
故答案為：.
25．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若M點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為__________．
【答案】34
【分析】設(shè)直線AB的方程為，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.
【詳解】設(shè)直線AB的方程為，代入拋物線方程得．
設(shè)，，則，，
∴，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
故答案為：34
26．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，則的最小值為__________.
【答案】##
【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，由垂徑定理得出點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心為，由向量的運(yùn)算可得，根據(jù)圓的性質(zhì)得出即可得到答案.
【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則
所以的軌跡是以為直徑的圓，其圓心為，半徑
則
由圓的性質(zhì)可得
所以
故答案為：
27．（2023·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中?？家荒＃┮阎獧E圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且，則的最大值為___________.
【答案】
【分析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，設(shè)，利用三角換元求出的最大值即可.
【詳解】設(shè)橢圓，雙曲線，
且設(shè)，
由橢圓的定義得①，
由雙曲線的定義得②，
得，，
得，，
由余弦定理可得，
所以③，
設(shè)，
所以，
當(dāng)即時(shí)，取最大值為.
故答案為：.
28．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)點(diǎn)及原點(diǎn)，點(diǎn)是圓與圓的一個(gè)公共點(diǎn)，則當(dāng)最小時(shí)，圓的半徑為___________.
【答案】5
【分析】利用兩圓的位置關(guān)系確定兩圓內(nèi)切時(shí)最小，根據(jù)位置關(guān)系可得圓的半徑.
【詳解】如圖，記圓半徑為R，，則，，
所以，
當(dāng)最小時(shí)，最大，此時(shí)兩圓內(nèi)切.
由已知設(shè)動(dòng)圓的圓心為，
又圓心可得
即，
解得，所以，即圓的半徑為5.
故答案為：5.
29．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為______..
【答案】##
【分析】利用拋物線的定義可得點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離即為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離減去2，進(jìn)而利用圓的性質(zhì)即得.
【詳解】由題可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
由拋物線的定義可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離即為，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和，
根據(jù)圓的性質(zhì)可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為.
故答案為：.
30．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知、，直線上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足，寫出滿足條件的其中一條直線的方程__________．
【答案】（答案不唯一，只需滿足直線與圓相切即可）
【分析】設(shè)點(diǎn)，由，求出點(diǎn)的軌跡方程，可知點(diǎn)的軌跡為圓，且圓心為，半徑，分析可知直線與圓相切即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，由可得，
整理可得，即點(diǎn)的軌跡為圓，且圓心為，半徑，
直線上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足，所以，直線與圓相切，
所以，直線的方程可為.
故答案為：（答案不唯一，只需滿足直線與圓相切即可）.

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