2、學會運用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學思想。
3、要學會搶得分點。一道中考數(shù)學壓軸題解不出來，不等于“一點不懂、一點不會”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點。
4、學會運用等價轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學問題時，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。
5、學會運用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
專題22二次函數(shù)與幾何圖形綜合題
（與三角形全等或三角形相似有關(guān)問題）
1．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點，和，連接，點為拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，交軸于點．
(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；
(2)如圖2，連接，當為等腰三角形時，求的值；
(3)當點在運動過程中，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似（其中點與點相對應），若存在，直接寫出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線：；直線：；(2)或或；(3)，或，或，
【分析】（1）由題得拋物線的解析式為，將點代入求，進而得拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將點，的坐標代入求，，進而得直線的解析式．
（2）由題得，分別求出，，，對等腰中相等的邊進行分類討論，進而列方程求解；
（3）對點在點左側(cè)或右側(cè)進行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解，進而可得，的坐標．
【詳解】（1）解：拋物線過點，，
拋物線的表達式為，
將點代入上式，得，
．
拋物線的表達式為，即．
設(shè)直線的表達式為，
將點，代入上式，
得，
解得．
直線的表達式為．
（2）解：點在直線上，且，
點的坐標為．
，，．
當為等腰三角形時，
①若，則，
即，
解得．
②若，則，
即，
解得或（舍去）．
③若，則，
即，
解得（舍去）或．
綜上，或或．
（3）解：點與點相對應，
或．
①若點在點左側(cè)，
則，，．
當，即時，
直線的表達式為，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
當，即時，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若點在點右側(cè)，
則，．
當，即時，
直線的表達式為，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
當，即時，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
綜上，，或，或，．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合應用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標系中兩點距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．
(1)若，且該二次函數(shù)的圖像過點，求的值；
(2)如圖所示，在平面直角坐標系中，該二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且，點D在上且在第二象限內(nèi)，點在軸正半軸上，連接，且線段交軸正半軸于點，．

①求證：．
②當點在線段上，且．的半徑長為線段的長度的倍，若，求的值．
【答案】(1)；(2)①見解析；②
【分析】（1）依題意得出二次函數(shù)解析式為，該二次函數(shù)的圖像過點，代入即可求解；
（2）①證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
②根據(jù)題意可得，，由①可得，進而得出，由已知可得，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，將代入，解關(guān)于的方程，進而得出，可得對稱軸為直線，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴二次函數(shù)解析式為，
∵該二次函數(shù)的圖像過點，
∴
解得：；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵該二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半徑長為線段的長度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵該二次函數(shù)的圖像與軸交于點，
∴是方程的兩個根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，解得：（正值舍去）
∴，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3.（2022·湖南衡陽）如圖，已知拋物線交軸于、兩點，將該拋物線位于軸下方的部分沿軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象”，圖象交軸于點．
(1)寫出圖象位于線段上方部分對應的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若直線與圖象有三個交點，請結(jié)合圖象，直接寫出的值；
(3)為軸正半軸上一動點，過點作軸交直線于點，交圖象于點，是否存在這樣的點，使與相似？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出點A、B、C坐標，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）聯(lián)立方程組，由判別式△=0求得b值，結(jié)合圖象即可求解；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分∠CNM=90°和∠NCM=90°討論求解即可．
(1)
解：由翻折可知：.
令，解得：，，
∴，，
設(shè)圖象的解析式為，代入，解得，
∴對應函數(shù)關(guān)系式為=．
(2)
解：聯(lián)立方程組，
整理，得：，
由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此時方程有兩個相等的實數(shù)根，
由圖象可知，當b=2或b=3時，直線與圖象有三個交點；
(3)
解：存在．如圖1，當時，，此時，N與C關(guān)于直線x= 對稱，
∴點N的橫坐標為1，∴；
如圖2，當時，，此時，點縱坐標為2，
由，解得，（舍），
∴N的橫坐標為，
所以；
如圖3，當時，，此時，直線的解析式為，
聯(lián)立方程組：，解得，（舍），
∴N的橫坐標為，
所以，
因此，綜上所述：點坐標為或或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及翻折性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點問題、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識，綜合體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的運用，屬于綜合題型，有點難度．
4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線交軸于兩點（在的左邊），交軸于點．

(1)直接寫出三點的坐標；
(2)如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于三點，連接．若與相似，求的值；
(3)如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點．直線與拋物線交于兩點，過的中點作直線（異于直線）交拋物線于兩點，直線與直線交于點．問點是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．
【答案】(1)；(2)的值為2或；(3)點在定直線上
【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、兩點的坐標，令求出值可得點坐標，即可得答案；
（2）分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)分別列方程求出值即可得答案；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得解析式，聯(lián)立直線與解析式可得點坐標，即可得出中點的坐標，設(shè)，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，同理得出直線的解析式為，聯(lián)立兩直線解析式可得，設(shè)點在直線上，把點代入，整理比較系數(shù)即可得出、的值即可得答案，也可根據(jù)點的縱坐標變形得出橫坐標與縱坐標的關(guān)系，得出答案．
【詳解】（1）∵拋物線解析式為，
∴當時，，當時，，
解得：，，
∴，，．
（2）解：是直線與拋物線的交點，
，
①如圖，若時，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如圖，若時．過作軸于點．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．

綜上，符合題意的的值為2或．
（3）解：∵將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點，
∴，
∵直線的解析式為，
∴聯(lián)立直線與解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中點，
∴，
∴，
設(shè)，直線的解析式為，
則，
解得，，
∴直線的解析式為，
∵直線經(jīng)過點，
∴
同理，直線的解析式為；直線的解析式為．
聯(lián)立，得，
解得：．
∵直線與相交于點，
．
設(shè)點在直線上，則，①
整理得，，
比較系數(shù)得：，
解得：，
∴當時，無論為何值時，等式①恒成立．
∴點在定直線上．
【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合、二次函數(shù)圖象的平移及相似三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5.（2021·湖北十堰市·中考真題）已知拋物線與x軸交于點和，與y軸交于點C，頂點為P，點N在拋物線對稱軸上且位于x軸下方，連交拋物線于M，連、．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，當時，求M點的橫坐標；
（3）如圖2，過點P作x軸的平行線l，過M作于D，若，求N點的坐標．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）將點和點代入解析式，即可求解；
（2）由想到將放到直角三角形中，即過點A作交CM的延長線于點E，即可知，再由想到過點E作軸，即可得到，故點E的坐標可求，結(jié)合點C坐標可求直線CE解析式，點M是直線CE與拋物線交點，聯(lián)立解析式即可求解；
（3）過點M作L的垂線交于點D，故設(shè)點M的橫坐標為m，則點M的縱坐標可表示，且MD的長度也可表示，由可得即可結(jié)合兩點間距離公式表示出MN，最后由即可求解
【詳解】
解：（1）將點和點代入得
，解得：
（2）點A作交CM的延長線于點E，過作軸于 如下圖
軸，
又
即
當時，
即
即
設(shè)直線CE的解析式為，并將C、E兩點代入得
解得
點M是直線CE與拋物線交點
解得（不合題意，舍去）
點M的橫坐標為
（3）設(shè)過點M垂直于L的直線交x軸于點H，對稱軸交x軸于點Q，M的橫坐標為m
則
對稱軸
P、Q、N的橫坐標為，即
當時，
點D的縱坐標為4
即
，即，
不符合題意，舍去，
當時，

解得，
由題意知
【點睛】
本題考察二次函數(shù)的綜合運用、相似三角形、銳角三角函數(shù)的運用、交點坐標的求法和兩點間的距離公式，屬于綜合運用題，難度偏大．解題的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)做出輔助線和設(shè)坐標的方程思想．
6．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線過點和點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，連接，點在線段上（與點不重合），點是的中點，連接，過點作交于點，連接，當面積是面積的3倍時，求點的坐標；
(3)如圖2，點是拋物線上對稱軸右側(cè)的點，是軸正半軸上的動點，若線段上存在點（與點不重合），使得，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)，過點作交的延長線于點，則，則的坐標為，得出是等腰直角三角形，設(shè)，則，證明，相似三角形的性質(zhì)得出，則，可得，當面積是面積的3倍時，即，即，在中，，解方程即可求解；
（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合已知條件得出，證明，則，設(shè)交軸于點，過點作軸于點，求得直線的解析式為，聯(lián)立，得出，勾股定理求得的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點和點，
∴
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）∵拋物線與軸交于點，
當時，，
∴，則，
∵，
∴，，
∵點是的中點，則，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∵點和點，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
設(shè)，
如圖所示，過點作交的延長線于點，則，則的坐標為，

∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
即
∵
∴
即，
∴，
∴
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴的面積為，
∵的面積為
當面積是面積的3倍時
即
即
在中，
∴
∴
解得：或（舍去）
∴；
（3）∵，
又，
∴，
∴，
∴，
設(shè)交軸于點，過點作軸于點，

∵，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
設(shè)，則，
∴，
整理得：，
∵在線段上（與點不重合），
∴,
∴，
∴當時，取得的最大值為，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，面積問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7.（2021·湖北黃岡市·中考真題）已知拋物線與x軸相交于，兩點，與y軸交于點C，點是x軸上的動點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若，過點N作x軸的垂線交拋物線于點P，交直線于點G．過點P作于點D，當n為何值時，；
（3）如圖2，將直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使它恰好經(jīng)過線段的中點，然后將它向上平移個單位長度，得到直線．
①______；
②當點N關(guān)于直線的對稱點落在拋物線上時，求點N的坐標．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②或．
【分析】
（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法即可得；
（2）先根據(jù)拋物線的解析式可得點的坐標，再利用待定系數(shù)法可得直線的解析式，從而可得點的坐標，然后分別求出的長，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此建立方程求解即可得；
（3）①先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得直線的解析式，從而可得點的坐標，然后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得；
②先求出直線的解析式，再與直線的解析式聯(lián)立求出它們的交點坐標，從而可得點的坐標，然后代入拋物線的解析式求解即可得．
【詳解】
解：（1）將點，代入得：，
解得，
則拋物線的解析式為；
（2）由題意得：點的坐標為，
對于二次函數(shù)，
當時，，即，
設(shè)直線的解析式為，
將點，代入得：，解得，
則直線的解析式為，
，
，，
，
，即，
解得或（與不符，舍去），
故當時，；
（3）①如圖，設(shè)線段的中點為點，過點作軸的垂線，交直線于點，
則點的坐標為，點的橫坐標為3，
設(shè)直線的解析式為，
將點，代入得：，解得，
則直線的解析式為，
由平移的性質(zhì)得：直線的解析式為，
當時，，即，
，
，
故答案為：；
②由題意得：，
則設(shè)直線的解析式為，
將點代入得：，解得，
則直線的解析式為，
聯(lián)立，解得，
即直線與直線的交點坐標為，
設(shè)點的坐標為，
則，解得，即，
將點代入得：，
整理得：，
解得或，
則點的坐標為或．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、全等三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
8．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點，頂點為，連接．

(1)拋物線的解析式為__________________；（直接寫出結(jié)果）
(2)在圖1中，連接并延長交的延長線于點，求的度數(shù)；
(3)如圖2，若動直線與拋物線交于兩點（直線與不重合），連接，直線與交于點．當時，點的橫坐標是否為定值，請說明理由．
【答案】(1)(2)；(3)，理由見解析
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）待定系數(shù)法求得直線直線的解析式為：，直線的解析式為：．聯(lián)立兩直線解析式，得出點的坐標為．方法1：由題意可得：．過點E作軸于點F．計算得出，又，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出；方法2：如圖2，延長與軸交于點，過點作于點，過點作軸于點．等面積法求得，解即可求解．方法3：如圖2，過點作于點．根據(jù)，得出，進而得出；
（3）設(shè)點的坐標為，點的坐標為．由點，點，可得到直線的解析式為：．得出點的坐標可以表示為．由點，點，得直線的解析式為：．同理可得可得到直線的解析式為：．聯(lián)立可得，則點的橫坐標為定值3．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）∵點，點，
設(shè)直線的解析式為：．
∴，
∴，
直線的解析式為：．
同上，由點，可得直線的解析式為：．
令，得．
∴點的坐標為．
方法1：由題意可得：．
∴．
如圖1，過點E作軸于點F．
∴．
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
即．

方法2：如圖2，延長與軸交于點，過點作于點，過點作軸于點．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
，
∴．
∴
∴，即．

方法3：如圖2，過點作于點．
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）設(shè)點的坐標為，點的坐標為．
∵直線與不重合，
∴且且．
如圖3，由點，點，

可得到直線的解析式為：．
∵，
∴可設(shè)直線的解析式為：．
將代入，
得．
∴．
∴點的坐標可以表示為．
設(shè)直線的解析式為：，
由點，點，得
，
解得．
∴直線的解析式為：．
同上，由點，點，
可得到直線的解析式為：．
∴．
∴．
∴．
∴點的橫坐標為定值3．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9.（2021·陜西中考真題）已知拋物線與x軸交于點A、B（其中A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）求點B、C的坐標；
（2）設(shè)點與點C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱在y軸上是否存在點P，使與相似且與是對應邊？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），；（2）存在，或．
【分析】
(1)令y=0,求的根即可；令x=0,求得y值即可確定點C的坐標；
（2）確定拋物線的對稱軸為x=1,確定的坐標為（2，8），計算C=2，利用直角相等，兩邊對應成比例及其夾角相等的兩個三角形相似，分類求解即可.
【詳解】
解：（1）令，則，
∴，
∴．
令，則．
∴．
（2）存在．由已知得，該拋物線的對稱軸為直線．
∵點與點關(guān)于直線對稱，
∴，．
∴．
∵點P在y軸上，
∴
∴當時，．
設(shè)，
i）當時，則，
∴．
∴
ii）當時，則，
∴
∴．
iii）當時，則，與矛盾．
∴點P不存在
∴或．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，對稱軸的意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運用三角形的相似和進行一元二次方程根的求解是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，直線與拋物線交于B，C兩點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若是以為腰的等腰三角形，求點B的坐標；
(3)過點作y軸的垂線，交直線AB于點D，交直線AC于點E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)點B的坐標為或或；(3)存在，m的值為2或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)，分和兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和兩點坐標距離公式列方程求解即可；
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)拋物線與直線的交點坐標為，，聯(lián)立拋物線和直線解析式，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到，，利用待定系數(shù)法分別求得直線、的表達式為得到， ，過E作軸于Q，過D作軸于N，證明得到，整理可得到，進而求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，
∴，解得，
∴拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）解：設(shè)，
根據(jù)題意，是以為腰的等腰三角形，有兩種情況：
當時，點B和點P關(guān)于y軸對稱，

∵，∴；
當時，則，
∴，
整理，得，
解得，，
當時，，則，
當時，，則，
綜上，滿足題意的點B的坐標為或或；
（3）解：存在常數(shù)m，使得．
根據(jù)題意，畫出圖形如下圖，

設(shè)拋物線與直線的交點坐標為，，
由得，
∴，；
設(shè)直線的表達式為，
則，解得，
∴直線的表達式為，
令，由得，
∴，
同理，可得直線的表達式為，則，
過E作軸于Q，過D作軸于N，
則，，，，
若，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
則，
整理，得，
即，
將，代入，得，
即，則或，
解得，，
綜上，存在常數(shù)m，使得，m的值為2或．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、坐標與圖形等知識，綜合性強，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，添加輔助線構(gòu)造相似三角形，并利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解決問題是解答的關(guān)鍵．
11．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）【建立模型】(1)如圖，點是線段上的一點，，，，垂足分別為，，，．求證：；
【類比遷移】(2)如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到、直線交軸于點．
①求點的坐標；
②求直線的解析式；
【拓展延伸】(3)如圖，拋物線與軸交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸交于點，已知點，，連接．拋物線上是否存在點，使得，若存在，求出點的橫坐標．

【答案】（1）見解析； （2）①；②直線的解析式為；（3）或
【分析】[建立模型]（1）根據(jù)題意得出，，證明，即可得證；
[類比遷移] （2）①過點作軸于點，同（1）的方法，證明，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，求得，，進而可得點的坐標；
②由，設(shè)直線的解析式為，將點代入得直線的解析式為；
[拓展延伸]（3）根據(jù)解析式求得，；①當點在軸下方時，如圖所示，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作，于點，證明，根據(jù)得出，設(shè)，則，求得點，進而求得直線的解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可求解；②當點在軸的上方時，如圖所示，過點作，于點，過點作軸，交軸于點，過點作于點，同①的方法即可求解．
【詳解】[建立模型]（1）證明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
[類比遷移]（2）如圖所示，過點作軸于點，

∵將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，
當時，，即，
當時，，即，
∴，
∴，
∴；
②∵，設(shè)直線的解析式為，
將代入得：
解得：
∴直線的解析式為，
（3）∵拋物線與軸交于，兩點點在點的左側(cè)，
當時，，
解得：，
∴，；
①當點在軸下方時，如圖所示，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作，于點，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得：，
解得：，
∴直線解析式為，
聯(lián)立，
解得：（舍去），；
②當點在軸的上方時，如圖所示，過點作于點，過點作軸，交軸于點，過點作于點，

同理可得，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：（舍去），，
綜上所述，的橫坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
12.（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（－3，0）兩點，與y軸交于C（0，－3），對稱軸為直線，直線y＝－2x＋m經(jīng)過點A，且與y軸交于點D，與拋物線交于點E，與對稱軸交于點F．
（1）求拋物線的解析式和m的值；
（2）在y軸上是否存在點P，使得以D、E、P為頂點的三角形與△AOD相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由；
【答案】（1）；m=2；（2）存在，或；
【分析】
（1）根據(jù)拋物線的對稱性求出A（1，0），再利用待定系數(shù)法，即可求解；再把點A坐標代入直線的解析式，即可求出m的值；
（2）先求出E（-5，12），過點E作EP⊥y軸于點P，從而得，即可得到P的坐標，過點E作，交y軸于點，可得，再利用tan∠ADO=tan∠PE，即可求解；
【詳解】
（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（－3，0）兩點，對稱軸為直線，
∴A（1，0），
設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a(x-1)(x+3)，把C（0，－3）代入得：-3=a(0-1)(0+3)，解得：a=1，
∴二次函數(shù)解析式為：y= (x-1)(x+3)，即：，
∵直線y＝－2x＋m經(jīng)過點A，
∴0=-2×1+m，解得：m=2；
（2）由（1）得：直線AF的解析式為：y=-2x+2，
又∵直線y=-2x+2與y軸交于點D，與拋物線交于點E，
∴當x=0時，y=2，即D（0，2），
聯(lián)立，解得：，，
∵點E在第二象限，
∴E（-5，12），
過點E作EP⊥y軸于點P，
∵∠ADO=∠EDP，∠DOA=∠DPE=90°，
∴，
∴P（0，12）；
過點E作，交y軸于點，可得，
∵∠ED+∠PED=∠PE+∠PED=90°，
∴∠ADO=∠ED=∠PE，即：tan∠ADO=tan∠PE，
∴，即：，解得：，
∴（0，14.5），
綜上所述：點P的坐標為（0，12）或（0，14.5）；
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，利用軸對稱圖形的性質(zhì)，構(gòu)造線段和的最小值，是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點A，經(jīng)過點A的直線與該函數(shù)圖象交于點，與軸交于點C．

(1)求直線的函數(shù)表達式及點C的坐標；
(2)點是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設(shè)點的橫坐標為．
①當時，求的值；
②當點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出S的最大值．
【答案】(1)，點的坐標為；(2)①2或3或；②，S的最大值為
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的函數(shù)表達式，再求得點C的坐標即可；
（2）①分當點在直線上方和點在直線下方時，兩種情況討論，根據(jù)列一元二次方程求解即可；
②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數(shù)的表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：由得，當時，．
解得．
∵點A在軸正半軸上．
∴點A的坐標為．
設(shè)直線的函數(shù)表達式為．
將兩點的坐標分別代入，
得，
解得，
∴直線的函數(shù)表達式為．
將代入，得．
∴點C的坐標為；
（2）①解：點在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，且軸于點，與直線交于點，其橫坐標為．
∴點的坐標分別為．
∴．
∵點的坐標為，
∴．
∵，
∴．
如圖，當點在直線上方時，．

∵，
∴．
解得．
如圖2，當點在直線下方時，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
綜上所述，的值為2或3或；
②解：如圖3，由（1）得，．

∵軸于點，交于點，點B的坐標為，
∴．
∵點在直線上方，
∴．
∵軸于點，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四邊形為平行四邊形．
∵軸，
∴四邊形為矩形．
∴．
即．
∵，
∴當時，S的最大值為．
【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數(shù)式表示出是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點，頂點坐標為，點為拋物線上的動點，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，直線交于點，求的最大值；
(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點，交的延長線于，且，求點的橫坐標．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根據(jù)頂點式坐標公式和待定系數(shù)法分別求出，，值，即可求出拋物線解析式．
（2）利用拋物線的解析式可知道點坐標，從而求出直線的解析式，從而設(shè)，根據(jù)直線的解析式可推出，從而可以用表達長度，在觀察圖形可知，將其和長度代入，即可將面積比轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的形式，根據(jù)橫坐標取值范圍以及此二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求出的最大值．
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)和可求出，再利用相似和可推出，設(shè)，即可求出直線的解析式，用表達點的橫縱坐標，最后代入拋物線解析式，求出的值即可求出點橫坐標．
【詳解】（1）解：拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點，頂點坐標為，
，，，
，
，
拋物線的解析式為：．
故答案為：．
（2）解：過點作軸于點，如圖所示，

拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點，
，
，
設(shè)直線的解析式為：，則，
，
直線的解析式為：．
在直線上，，
在直線上，的解析式為：，
，
．
，
．
，
．
，，
當時， 有最大值，且最大值為： ．
故答案為：．
（3）解:∵＋，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
，
拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點，
．
設(shè)直線的解析式為：，則，
，
直線的解析式為：．
，在直線上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
點橫坐標為：．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應用題，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵在于能否將面積問題和二次函數(shù)有效結(jié)合．
15.（2021·四川瀘州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與兩坐標軸分別相交于A，B，C三點
（1）求證：∠ACB=90°
（2）點D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點，過點D作x軸的垂線交BC于點E，交x軸于點F．
①求DE+BF的最大值；
②點G是AC的中點，若以點C，D，E為頂點的三角形與AOG相似，求點D的坐標．
【答案】（1）（2）①9；②或．
【分析】
（1）分別計算A，B，C三點的坐標，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的長，最后利用勾股定理逆定理解題；
（2）①先解出直線BC的解析式，設(shè)，接著解出，利用二次函數(shù)的配方法求最值；②根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，解得AG的長，再證明，再分兩種情況討論以點C，D，E為頂點的三角形與AOG相似，結(jié)合相似三角形對應邊成比例性質(zhì)解題即可．
【詳解】
解：（1）令x=0，得
令得
，
（2）①設(shè)直線BC的解析式為：，代入，得
設(shè)
即DE+BF的最大值為9；
②點G是AC的中點，
在中，
即為等腰三角形，
若以點C，D，E為頂點的三角形與AOG相似，
則①
又
，
或
經(jīng)檢驗：不符合題意，舍去，
②，
又
整理得，
，
或，
同理：不合題意，舍去，
綜上所述，或．
【點睛】
本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
16.（2021·黑龍江中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C，連接，與拋物線的對稱軸交于點E，頂點為點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是對稱軸左側(cè)拋物線上的一個動點，點Q在射線上，若以點P、Q、E為頂點的三角形與相似，請直接寫出點P的坐標．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），即可得到關(guān)于a、b的方程，從而可以求得a、b的值，然后即可寫出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式，設(shè)點P的坐標，然后再根據(jù)是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分類討論，列出方程，即可求解．
【詳解】
解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），
∴
解得
∴此拋物線的解析式為：
（2）當時，，所以，OB=OC=3，
∴是等腰直角三角形，
以點P、Q、E為頂點的三角形與相似，
∴是等腰直角三角形，
設(shè)點P的坐標為，拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)BC的解析式為，將B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，，故BC的解析式為，
把代入得，，則E點坐標為，
如圖，當E為直角頂點時，，解得，，（舍去），把代入得，，則P點坐標為，

當Q為直角頂點時，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，，則P點坐標為；

當P為直角頂點時，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），則P點坐標為；

綜上，P點坐標為或．
【點睛】
本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和相似三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用待定系數(shù)法和設(shè)出點的坐標，根據(jù)題意列出方程．
17.（2021·湖南中考真題）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且，，，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或；
【分析】
（1）由題意易得，然后設(shè)二次函數(shù)的解析式為，進而代入求解即可；
（2）由題意易得，要使以點P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似，則可分①當時，②當時，進而分類求解即可；
【詳解】
解：（1）∵，，，
∴，
設(shè)二次函數(shù)的解析式為，代入點C的坐標可得：，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為，即為；
（2）存在以點P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似，理由如下：
由（1）可得拋物線的解析式為，則有對稱軸為直線，
設(shè)直線BC的解析式為，代入點B、C坐標可得：，
解得：，
∴直線BC的解析式為，
∴點，，
∴由兩點距離公式可得，
若使以點P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似，則有，
①當時，則有軸，如圖所示：
∴點，
②當時，如圖所示：
∴，
∴，
∴點；
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定、軸對稱的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定、軸對稱的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18.（2021·湖南中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：經(jīng)過點和．
（1）求拋物線的對稱軸．
（2）當時，將拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線．
①求拋物線的解析式．
②設(shè)拋物線與軸交于，兩點（點在點的右側(cè)），與軸交于點，連接．點為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點作于點．設(shè)點的橫坐標為．是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形與相似，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）x=2.5；（2）①；②1或
【分析】
（1）根據(jù)函數(shù)圖像所過的點的特點結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，可知兩點中點橫坐標即為對稱軸；
（2）①根據(jù)平移可得已知點平移后點的坐標，平移過程中a的值不發(fā)生改變，所以利用交點式可以求出函數(shù)解析式；
②根據(jù)條件求出A、B、C、D四點的坐標，由條件可知三角形相似有兩種情況，分別討論兩種情況，根據(jù)相似的性質(zhì)可求出m的值．
【詳解】
解：（1）因為拋物線圖像過（1,1）、（4,1）兩點，
這兩點的縱坐標相同，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，對稱軸是x=（1+4）÷2=2.5,；
（2）①將點（1,1）、（4,1）向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到（-1,0），（2,0），將點（-1,0），（2,0），a=-1，
根據(jù)交點式可求出C1二次函數(shù)表達式為；
②根據(jù)①中的函數(shù)關(guān)系式，可得A（2,0），B（-1,0），C（0,2），D（m，），且m＞0
由圖像可知∠BOC=∠DEO=90°，
則以點，，為頂點的三角形與相似有兩種情況，
（i）當△ODE∽△BCO時，
則，即，
解得m=1或-2（舍），
（ii）當△ODE∽△CBO時，
則，即，
解得
所以滿足條件的m的值為1或．
【點睛】
本題主要考查了一元二次函數(shù)圖形的平移、表達式求法、相似三角形等知識點，熟練運用數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．
19.（2021·山東中考真題）如圖，直線分別交軸、軸于點A，B，過點A的拋物線與軸的另一交點為C，與軸交于點，拋物線的對稱軸交于E，連接交于點F．
（1）求拋物線解析式；
（2）求證：；
（3）P為拋物線上的一動點，直線交于點M，是否存在這樣的點P，使以A，O，M為頂點的三角形與相似？若存在，求點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，點P 的橫坐標為或±．
【分析】
（1）先求出點A、B的坐標，然后再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出直線AD的解析式為y=-x+3，進而得到點E的坐標為（1，2），運用三角函數(shù)定義可得即∠OAB=∠OEG=90°即可證得結(jié)論；
（3）先求出直線CD解析式為y=3x+3，再根據(jù)以A，O，M為頂點的三角形與△ACD相似，分兩種情況：①當△AOM ∽△ACD時，∠AOM=∠ACD，從而得出OM//CD，進而得出直線OM的解析式為y=3x，再結(jié)合拋物線的解析式即可確定點P的橫坐標；②當△AMO∽△ACD時，利用，求出AM，進而求得點M的坐標，求得直線AM的解析式，進而完成解答．
【詳解】
解：（1）∵直線分別交軸、軸于點A，B
∴A（3,0），B（0，），
∵拋物線經(jīng)過A（3，0），D（0，3），
∴，解得
∴該拋物線的解析式為；
（2）∵，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+a，
將A（3，0），D（0，3）代入得： ，解得
∴直線AD的解析式為y=-x+3，
∴E（1，2），G（1，0），
∵∠EGO=90°，
∴
∵OA=3，OB=，∠A0B=90°，
∴
∴
∴∠OAB=∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG=90°，
∴∠OAB+∠EOG=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在.
∵A（3，0），拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴C（-1，0），
∴AC=3-（-1）=4，
∵OA=OD=3，∠AOD=90°，
∴，
設(shè)直線CD解析式為y=mx+n，則：
，解得
∴直線CD解析式為y=3x+3，
①當△AOM∽△ACD時，∠AOM=∠ACD，如圖2所示，
∴OM//CD，
∴直線OM的解析式為y=3x，
∵拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，
∴3x=-x2+2x+3，解得：；
②當△AMO∽△ACD時，如圖3所示，
∴
∴，
過點M作MG⊥x軸于點G，則∠AGM=90°，
∵∠OAD=45°，
∴
∴OG=OA-AG=3-2=1，
∴M（1，2），
設(shè)直線OM解析式為y=m1x，將M（1，2）代入，得：m1=2，
∴直線OM解析式為y=2x，
∵拋物線的解析式為y=-x2+2x+3
∴2x=-x2+2x+3，解得：x=±．
綜上，點P的橫坐標為或±．
【點睛】
本題屬于二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角函數(shù)定義、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，考查知識點較多、綜合性較強、難度較大，靈活運用待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．
20.（2021·江蘇中考真題）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點，且與x軸交于另一點A，點M為線段上的一個動點，過點M作直線l平行于y軸交于點F，交二次函數(shù)的圖象于點E．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）當以C、E、F為頂點的三角形與相似時，求線段的長度；
【答案】（1）；（2）或；
【分析】
（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F為頂點的三角形與相似時，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，根據(jù)比例式列出方程，即可求解；
【詳解】
解：（1）∵直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，
∴B(3，0)，C(0，3)，
∵二次函數(shù)的圖象過B、C兩點，
∴，解得：，
∴二次函數(shù)解析式為：；
（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y軸，
∴OB=OC，
∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，
∴以C、E、F為頂點的三角形與相似時，或，
設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，
∴EF=-(-m+3)= ，CF=，
∴或，
∴或（舍去）或或（舍去），
∴EF==或；
【點睛】
本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合，相似三角形的判定，掌握函數(shù)圖像上點的坐標特征，用點的橫坐標表示出相關(guān)線段的長，是解題的關(guān)鍵．
21.（2020?陜西）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點（3，12）和（﹣2，﹣3），與兩坐標軸的交點分別為A，B，C，它的對稱軸為直線l．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）P是該拋物線上的點，過點P作l的垂線，垂足為D，E是l上的點．要使以P、D、E為頂點的三角形與△AOC全等，求滿足條件的點P，點E的坐標．
【分析】（1）將點（3，12）和（﹣2，﹣3）代入拋物線表達式，即可求解；
（2）由題意得：PD＝DE＝3時，以P、D、E為頂點的三角形與△AOC全等，分點P在拋物線對稱軸右側(cè)、點P在拋物線對稱軸的左側(cè)兩種情況，分別求解即可．
【解析】（1）將點（3，12）和（﹣2，﹣3）代入拋物線表達式得12=9+3b+c?3=4?2b+c，解得b=2c=?3，
故拋物線的表達式為：y＝x2+2x﹣3；
（2）拋物線的對稱軸為x＝﹣1，令y＝0，則x＝﹣3或1，令x＝0，則y＝﹣3，
故點A、B的坐標分別為（﹣3，0）、（1，0）；點C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴當PD＝DE＝3時，以P、D、E為頂點的三角形與△AOC全等，
設(shè)點P（m，n），當點P在拋物線對稱軸右側(cè)時，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣5＝5，故點P（2，5），
故點E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
當點P在拋物線對稱軸的左側(cè)時，由拋物線的對稱性可得，點P（﹣4，5），此時點E坐標同上，
綜上，點P的坐標為（2，5）或（﹣4，5）；點E的坐標為（﹣1，2）或（﹣1，8）．
22.（2020?成都）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣2）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接AD，BC交于點E，連接BD，記△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求S1S2的最大值；
（3）如圖2，連接AC，BC，過點O作直線l∥BC，點P，Q分別為直線l和拋物線上的點．試探究：在第一象限是否存在這樣的點P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為為y＝a（x﹣1）（x﹣4），將點C的坐標代可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）過點D作DG⊥x軸于點G，交BC于點F，過點A作AK⊥x軸交BC的延長線于點K，證明△AKE∽△DFE，得出DFAK=DEAE，則S1S2=S△BDES△ABE=DEAE=DFAK，求出直線BC的解析式為y=12x﹣2，設(shè)D（m，12m2?32m﹣2），則F（m，12m﹣2），可得出S1S2的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）設(shè)P（a，a2），①當點P在直線BQ右側(cè)時，如圖2，過點P作PN⊥x軸于點N，過點Q作QM⊥直線PN于點M，得出Q（34a，a﹣2），將點Q的坐標代入拋物線的解析式求得a的值即可，②當點P在直線BQ左側(cè)時，由①的方法同理可得點Q的坐標為（54a，2），代入拋物線的解析可得出答案．
【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）．
∵將C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a=12，
∴拋物線的解析式為y=12（x+1）（x﹣4），即y=12x2?32x﹣2．
（2）過點D作DG⊥x軸于點G，交BC于點F，過點A作AK⊥x軸交BC的延長線于點K，
∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴DFAK=DEAE，
∴S1S2=S△BDES△ABE=DEAE=DFAK，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴4k+b=0b=?2，解得k=12b=?2，
∴直線BC的解析式為y=12x﹣2，
∵A（﹣1，0），
∴y=?12?2=?52，
∴AK=52，
設(shè)D（m，12m2?32m﹣2），則F（m，12m﹣2），
∴DF=12m?2?12m2+32m+2=?12m2+2m．
∴S1S2=?12m2+2m52=?15m2+45m=?15(m?2)2+45．
∴當m＝2時，S1S2有最大值，最大值是45．
（3）符合條件的點P的坐標為（689，349）或（6+2415，3+415）．
∵l∥BC，
∴直線l的解析式為y=12x，
設(shè)P（a，a2），
①當點P在直線BQ右側(cè)時，如圖2，過點P作PN⊥x軸于點N，過點Q作QM⊥直線PN于點M，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），
∴AC=5，AB＝5，BC＝25，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵△PQB∽△CAB，
∴PQPB=ACBC=12，
∵∠QMP＝∠BNP＝90°，
∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠PBN＝90°，
∴∠MQP＝∠PBN，
∴△QPM∽△PBN，
∴QMPN=PMBN=PQPB=12，
∴QM=a4，PM=12（a﹣4）=12a﹣2，
∴MN＝a﹣2，BN﹣QM＝a﹣4?a4=34a﹣4，
∴Q（34a，a﹣2），
將點Q的坐標代入拋物線的解析式得12×(34a)2?32×34a﹣2＝a﹣2，
解得a＝0（舍去）或a=689．
∴P（689，349）．
②當點P在直線BQ左側(cè)時，
由①的方法同理可得點Q的坐標為（54a，2）．
此時點P的坐標為（6+2415，3+415）．

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