練素養(yǎng)　2.圓中常見(jiàn)的計(jì)算題型集訓(xùn)課堂 冀教版 九年級(jí)下第二十九章 直線與圓的位置關(guān)系1如圖，在⊙O中，AB，CD是直徑，BE是切線，B為切點(diǎn)，連接AD，BC，BD.(1)求證：△ABD≌△CDB；解：∵BE是⊙O的切線，∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°.∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°，即∠ADC的度數(shù)為37°.(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度數(shù)．2【2023·本溪】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，點(diǎn)F在線段AB的延長(zhǎng)線上，且∠AFE＝∠ABC.證明：如圖，連接OE.∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE.∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE.(1)求證：EF與⊙O相切；又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠ACB＝∠OEF.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF.又∵OE是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．3如圖，在△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的半圓O交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作半圓O的切線，交AC于點(diǎn)E.(1)求證：∠ACB＝2∠ADE；證明：如圖，連接OD，CD.∵DE是半圓O的切線，∴∠ODE＝90°.∴∠ODC＋∠EDC＝90°.∵BC為半圓O的直徑，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.∴∠ADC＝90°.∴∠ADE＋∠EDC＝90°.∴∠ADE＝∠ODC.∵AC＝BC，CD⊥AB，∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠ACB＝2∠ADE.⌒⌒4【2023·十堰】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的半圓分別交AC，BC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且點(diǎn)E是弧DF的中點(diǎn)．(1)求證：BC是⊙O的切線；證明：如圖，連接OE，OD.∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠OAD＝∠B＝45°.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO＝45°.∴∠AOD＝90°.∴∠DOF＝90°.求不規(guī)則圖形的面積的方法：求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，一般不能直接利用公式求解，常用的方法有：割補(bǔ)法、拼湊法、等積變形法、遷移變換法、構(gòu)造方程法等．其中前四種方法的基本思想都是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形(可直接求面積的圖形，如三角形、特殊四邊形、圓、扇形)或?qū)⒉灰?guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和、差進(jìn)行求解．【點(diǎn)方法】5如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，BE是⊙O的直徑，連接BF，延長(zhǎng)BA，過(guò)F作FG⊥BA，垂足為G.(1)求證：FG是⊙O的切線；∵AO＝BO，∴△AOB是等邊三角形．∴∠ABO＝60°.∵∠EOF＝60°，∴∠ABO＝∠EOF.∴AB∥OF.∴∠OFG＝180°－∠BGF＝90°，即OF⊥GF.又∵OF是⊙O的半徑，∴FG是⊙O的切線．本題運(yùn)用等積法，通過(guò)作輔助線，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積 .【點(diǎn)技巧】6如圖，兩個(gè)半圓中，O為大半圓的圓心，長(zhǎng)為18的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于多少？7【母題：教材P21復(fù)習(xí)題A組T5】如圖，在⊙O中，直徑AB＝2，△ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于點(diǎn)D，若∠C＝45°，求：(1) BD的長(zhǎng)；(2)陰影部分的面積．⌒⌒84π【2023?衡陽(yáng)】 【新趨勢(shì)?學(xué)科綜合】如圖，用一個(gè)半徑為6 cm的定滑輪拉動(dòng)重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了120°，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng)，則重物上升了________cm(結(jié)果保留π)．【點(diǎn)撥】重物上升的距離等于半徑為6 cm，圓心角為120°的弧所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)．9【2022?濰坊】 【新考向?傳承數(shù)學(xué)文化】筒車是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，車輪縛以竹筒，旋轉(zhuǎn)時(shí)低則舀水，高則瀉水．如圖，水力驅(qū)動(dòng)筒車按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，竹筒把水引至A處，水沿射線AD方向?yàn)a至水渠DE，水渠DE所在直線與水面PQ平行，設(shè)筒車為⊙O，⊙O與直線PQ交于P，Q兩點(diǎn)，與直線DE交于B，C兩點(diǎn)，恰有AD2＝BD·CD，連接AB，AC.(1)求證：AD為⊙O的切線；又∵∠ADB＝ ∠CDA，∴△DAB∽△DCA.∴∠DAB＝∠ACB.∴∠DAB＝∠AGB.∴∠DAB＋∠BAG＝90°.∴AO⊥AD.∵OA是⊙O的半徑，∴AD為⊙O的切線．解：如圖，當(dāng)水面上升到GH，即點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合時(shí)，A，O，Q三點(diǎn)恰好共線，作OM⊥GH于點(diǎn)M.∵CA＝CB，∠C＝30°，∴∠ABC＝∠CAB＝75°.又∵∠ABG＝90°，∴∠CBG＝15°.

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