冀教版 九年級(jí)下第二十九章 直線與圓的位置關(guān)系練素養(yǎng)　1.用三角函數(shù)解圓中的計(jì)算問(wèn)題集訓(xùn)課堂 如圖，已知⊙O的兩條弦AC，BD相交于點(diǎn)E，∠A＝70°，∠C＝50°，那么cos ∠AEB的值為(　　)C1一、選擇題2【母題：教材P21復(fù)習(xí)題A組T6】如圖所示，⊙M與x軸相交于A(2，0)，B(8，0)，與y軸相切于點(diǎn)C，P是ACB上的一點(diǎn)，則tan ∠APB等于(　　)︵【點(diǎn)撥】如圖所示，作MN⊥AB于點(diǎn)N，連接MA，MB，MC. 則∠AMN＝∠BMN，AN＝BN.∵A(2，0)，B(8，0)，∴OA＝2，OB＝8，AN＝BN＝3.∵C是⊙M與y軸的切點(diǎn)，∴∠MCO＝∠CON＝∠MNO＝90°.【答案】 B3【點(diǎn)撥】【答案】 B4【2022·杭州】如圖，已知△ABC內(nèi)接于半徑為1的⊙O，∠BAC＝θ(θ是銳角)，則△ABC的面積的最大值為(　　)A．cos θ(1＋cos θ) B．cos θ(1＋sin θ)C．sin θ(1＋sin θ) D．sin θ(1＋cos θ)【點(diǎn)撥】當(dāng)△ABC的高經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，即點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，△ABC的面積最大，連接OB，如圖所示．∵A′D⊥BC，∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BA′C＝θ.【答案】 D5如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB＝6，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)(不與A，B重合)，則cos C的值為_(kāi)_______．二、填空題6【點(diǎn)撥】如圖，連接OD.∵AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H，∴AB⊥CD.∴∠OHD＝∠BHD＝90°.7【新考法?等角代換法】如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分別與OA，OC，BC相切于點(diǎn)E，D，B，與AB交于點(diǎn)F，已知A(2，0)，B(1，2)，則tan ∠FDE＝________.【點(diǎn)撥】連接PB，PE，易知點(diǎn)B，P，E在一條直線上，進(jìn)而得出BE是⊙P的直徑．因?yàn)椤螦BE＝∠FDE，所以求出tan∠ABE即可．8【2023·衡陽(yáng)】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是一條弦，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)H，DB交AC于點(diǎn)G.三、解答題證明：∵點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD.∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直徑，∴AD＝AH，∴CD＝AH.∴∠ADH＝∠CAD.∴AF＝DF.(1)求證：AF＝DF；︵︵︵︵︵︵9【2022?南充】【新考法?構(gòu)造直角三角形法】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O外一點(diǎn)，∠BCD＝∠BAC，連接OD交BC于點(diǎn)E.證明：如圖，連接OC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠A＋∠B＝90°. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B.∵∠BCD＝∠A，∴∠OCB＋∠DCB＝90°.∴OC⊥CD. ∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．(1)求證：CD是⊙O的切線；10【2023?廣元】【新考法?函數(shù)比法】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，OF⊥BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F.證明：如圖，連接OC.∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD＝90°，∴∠OCB＋∠BCD＝90°.∵OF⊥BC，∴∠BEO＝90°，∴∠BOE＋∠OBE＝90°.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCD＝∠BOE.(1)求證：∠BCD＝∠BOE；11【2022·婁底】如圖，已知BD是Rt△ABC的角平分線，點(diǎn)O是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與OA相交于點(diǎn)E.解：AC與⊙O相切．理由如下：如圖，連接OD. ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵BD是Rt△ABC的角平分線，∴∠OBD＝∠DBC.∴∠ODB＝∠DBC.∴OD∥BC.∴∠ODA＝∠C＝90°，即AC⊥OD.∵OD是⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線，即AC與⊙O相切．(1)判定AC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．②試用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜測(cè)sin 2α與sinα，cosα的關(guān)系，并用α＝30°給予驗(yàn)證．

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