(1)求橢圓E的方程;(2)證明:直線HN過定點(diǎn).
②分析知過點(diǎn)P(-2,1)的直線斜率一定存在,設(shè)直線方程為kx-y+2k+1=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).
(1)求雙曲線C的方程;(2)若直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),且P1A⊥P1B,求證:直線l經(jīng)過一個(gè)不在雙曲線C上的定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
3.(2024·安徽黃山模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0),F為焦點(diǎn),若圓E:(x-1)2+y2=16與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且|AB|= ,(1)求拋物線C的方程;(2)若點(diǎn)P為圓E上任意一點(diǎn),且過點(diǎn)P可以作拋物線C的兩條切線PM,PN,切點(diǎn)分別為M,N.求證:|MF|·|NF|恒為定值.
(1)解 由題意可知E(1,0),半徑為r=4,因?yàn)閳A的圓心以及拋物線的焦點(diǎn)均在x軸上,故由對(duì)稱性可知AB垂直x軸,設(shè)垂足為點(diǎn)D.
(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程;(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A,B,點(diǎn)P為軌跡C上異于點(diǎn)A,B的動(dòng)點(diǎn),設(shè)PB交直線x=4于點(diǎn)T,連接AT交軌跡C于點(diǎn)Q.直線AP,AQ的斜率分別為kAP,kAQ.①求證:kAP·kAQ為定值;②證明直線PQ經(jīng)過x軸上的定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)證明 ①設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),T(4,m).由(1)知A(-2,0),B(2,0),如圖所示.

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