1.鞏固等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.2.掌握數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消求和法、錯(cuò)位相減求和法、拆項(xiàng)分組求和法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法、倒序相加求和法,能夠解決數(shù)列的求和問(wèn)題.
1.特殊數(shù)列的求和公式
推導(dǎo)方法:倒序相加法
推導(dǎo)方法:乘公比,錯(cuò)位相減法
　　　　　 　　　
　　　　 　　　　
2.非特殊數(shù)列求和的幾種常用方法(1)倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.(2)分組求和法:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組求和法,分別求和后再相加.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并項(xiàng)求和法:若一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中兩兩結(jié)合后可求和,則可用并項(xiàng)求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.
(4)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來(lái)求,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.(5)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.
錯(cuò)位相減時(shí),要注意最后一項(xiàng)的符號(hào)
題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
2.求Sn=a+2a2+3a3+…+nan時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.(　　)3.利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.(　　)4.若在數(shù)列{an}中,an=(-1)n(3n-1),則其前30項(xiàng)的和等于45.(　　)
題組二回源教材5.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)4.4節(jié)第51頁(yè)練習(xí)第2題改編)在數(shù)列{an}中,an= ,則{an}的前n項(xiàng)和為　　　　.?
6.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題4.3第6題改編)已知數(shù)列1,11,111,1 111, 11 111,…,則它的前n項(xiàng)和為　　 　　.?
7.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)習(xí)題4.3第3(2)題改編)1+2x+3x2+…+ =　　 　　(x≠0且x≠1).?
9.(2020·全國(guó)Ⅰ,理17)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項(xiàng).(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.
解 (1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故{an}的公比為-2.(2)記Sn為{nan}的前n項(xiàng)和.由(1)及題設(shè)可得,an=(-2)n-1.所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.
考點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化法求和
例1(2024·山東濟(jì)南模擬)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,nan+1-(n+1)an=1.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·湖南岳陽(yáng)模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,其公比
考點(diǎn)二 并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和
例2(2024·福建泉州模擬)在數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1=2an+n-1.(1)證明:數(shù)列{an+n}為等比數(shù)列,并求出an;(2)記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,若an+bn=2Sn,求S11.
(1)證明 因?yàn)閍n+1=2an+n-1,所以 =2,又a1+1=2,所以數(shù)列{an+n}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,故an+n=2×2n-1=2n,可得an=2n-n.
(2)解 因?yàn)?Sn=an+bn=bn+2n-n,即2Sn=bn+2n-n,①所以當(dāng)n=1時(shí),2b1=b1+1,解得b1=1,當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=bn-1+2n-1-n+1,②①-②得2bn=bn-bn-1+2n-1-1,整理得bn+bn-1=2n-1-1.所以S11=b1+b2+b3+b4+b5+…+b11=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b10+b11)=1+(22-1)+(24-1)+…+(210-1)=(22+24+26+28+210)-4=1 360,即S11=1 360.
故b1+b2+b3+…+b2 023=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b2 022+b2 023)=1+2×1 011=2 023.
考點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消法求和
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·山東煙臺(tái)模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=1,且nan-Sn=n2-n,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
解 (1)因?yàn)閚an-Sn=n2-n,所以(n-1)an-1-Sn-1=(n-1)2-(n-1)(n≥2),兩式相減得nan-(n-1)an-1-an=2n-2,化簡(jiǎn)得an-an-1=2(n≥2),所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以an=1+(n-1)×2=2n-1.
考點(diǎn)四 錯(cuò)位相減法求和
例4(2023·全國(guó)甲,理17)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a2=1,2Sn=nan.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)由題意可知,2Sn=nan,①當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=(n-1)an-1,②①-②得2an=nan-(n-1)an-1,∴(n-1)an-1=(n-2)an.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4](2024·浙江杭州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+2=2an.(1)求a2及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù),使得這(n+2)個(gè)數(shù)依次組成公差為dn的等差數(shù)列,求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)由題意,當(dāng)n=1時(shí),S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2,當(dāng)n=2時(shí),S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4,當(dāng)n≥2時(shí),由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,兩式相減,可得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an=2·2n-1=2n,n∈N*.

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