1.基本數(shù)列求和方法
2.非基本數(shù)列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.(2)分組求和法:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組求和法,分別求和后再相加減.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中兩兩結(jié)合后可求和,則可用并項(xiàng)求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.(4)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來求,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.
(5)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和.
1.下列結(jié)論正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”. (2)利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288° +sin289°=44.5.(　　)(3)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,當(dāng)a≠0,且a≠1時(shí),求Sn的值可用錯(cuò)位相減法求得. (　　)(4)如果數(shù)列{an}是周期為k的周期數(shù)列,那么Skm=mSk(m,k為大于1的正整數(shù)). (　　)(　　)(6)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S50=-25. (　　)
2.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(　　)A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-2
3.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(-1)n(3n-2),則a1+a2+…+a10=(　)A.15D.-15
(1)證明:數(shù)列{an+n}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.思考具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合并項(xiàng)求和?具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合分組求和?
解:(1)證明:由題意得,an+n≠0.
所以數(shù)列{an+n}是首項(xiàng)為a1+1=2,公比為2的等比數(shù)列,從而an+n=2·2n-1=2n,即an=2n-n.(2)由(1)知an=2n-n,所以Sn=(21+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)
解題心得1.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)nf(n),則一般利用并項(xiàng)求和法求數(shù)列前n項(xiàng)和.2.具有下列特點(diǎn)的數(shù)列適合分組求和(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差數(shù)列或等比數(shù)列,可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和;(2)通項(xiàng)公式為 的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,∵a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3,
∴an=2n+1,bn=2n-1.
例2已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan(q為實(shí)數(shù),且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列.(1)求q的值和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;思考具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合用錯(cuò)位相減法求和?
解題心得1.適用范圍:一般地,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和,可采用錯(cuò)位相減法.2.解題步驟:(1)把數(shù)列的通項(xiàng)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)的積,并求出等比數(shù)列的公比.(2)先列出前n項(xiàng)和的表達(dá)式,然后乘等比數(shù)列的公比得出一個(gè)新的表達(dá)式,兩式作差求解.3.注意事項(xiàng):(1)要善于識(shí)別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”,以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式.(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),則應(yīng)分公比q=1和q≠1兩種情況求解.(4)兩式相減后的式子共有(n+1)項(xiàng),且最后一項(xiàng)要變號(hào),中間的(n-1)項(xiàng)為等比數(shù)列.(5)中間的(n-1)項(xiàng)求和時(shí)可利用公式
例3(2020湖北黃岡模擬)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,bn=lg2(Sn+1),求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn.思考裂項(xiàng)相消法的基本思想是什么?
解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
∵a4=a1q3=q3=8,∴q=2.∴an=2n-1.
解題心得裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把a(bǔ)n分拆成an=bn+k-bn (k∈N*)的形式,從而達(dá)到在求和時(shí)絕大多數(shù)項(xiàng)相消的目的.在解題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,使之符合裂項(xiàng)相消的條件.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1=1,an>0,其前n項(xiàng)和為Sn,且數(shù)列{ }也為等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

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