?結(jié)論：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，如圖所示則有：AB2+CD2＝AD2+BC2

【證明】∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2
?方法點(diǎn)撥
①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；
②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形
例題精講
【例1】．如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，若AB＝5，AD＝5，CD＝12，則BC＝ 13 ．
解：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，
∵AC⊥BD，AB＝5，AD＝5，CD＝12，
∴OA2+OB2＝75，OA2+OD2＝50，OD2+OC2＝144，BC2＝OB2+OC2，
∴OA2+OB2+OD2+OC2﹣（OA2+OD2）＝OB2+OC2＝169，即BC2＝169，
∴BC＝13．
故答案為：13．
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且AD⊥BE，垂足為點(diǎn)F，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則下列關(guān)系式中成立的是（ ）
A．a(chǎn)2+b2＝5c2B．a(chǎn)2+b2＝4c2C．a(chǎn)2+b2＝3c2D．a(chǎn)2+b2＝2c2
解：連接DE，如圖，
設(shè)EF＝x，DF＝y(tǒng)，
∵AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴＝＝＝，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，x2+4y2＝b2，②
在Rt△BFD中，4x2+y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），
∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，
即a2+b2＝5c2．
故選：A．
【變式1-2】．如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，請回答下列問題：
（1）若AB∥CD，求證：弧BD＝弧AC
（2）若AC⊥BD，CD＝4，圓O的半徑為3，求AB的長；
（3）在（2）的條件下求PA2+PB2+PC2+PD2的值．
（1）證明：∵AB//CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴，
∴，
∴弧BD＝弧AC；
（2）解：過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，作直徑CF，連接FA，F(xiàn)D，如圖：
∵OE⊥CD于點(diǎn)E，
∴E為CD中點(diǎn)，CE＝DE＝CD×4＝2，
∵圓O的半徑為3，
∴OE＝＝＝，
∵O為CF中點(diǎn)，E為CD中點(diǎn)，
∴DF＝2OE＝2，
∵CF是⊙O直徑，
∴∠CAF＝90°，即AC⊥AF，
∵AC⊥BD，
∴BD∥AF．
∴∠ADB＝∠FAD，
∴＝，
∴AB＝DF＝2；
（3）解：∵AC⊥BD于點(diǎn)P，
∴AB2＝PA2+PB2，CD2＝PC2+PD2，
∴PA2+PB2+PC2+PD2＝AB2+CD2，
由（2）知AB＝2，CD＝4，
∴AB2+CD2＝（2）2+42＝36，
∴PA2+PB2+PC2+PD2＝36．
【例2】．已知點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，則PD＝ ．

證明：過點(diǎn)P作EF⊥AB交AD于點(diǎn)F，DC于點(diǎn)E；過點(diǎn)P作GH⊥AD交AD于點(diǎn)G，CB于點(diǎn)H．則FA＝DE，F(xiàn)P＝HB，CH＝EP，HP＝EC．
∴PA2+PC2＝FA2+FP2+CH2+HP2
＝DE2+HB2+EP2+HP2
＝PB2+PD2，
∴PA2+PC2＝PB2+PD2，
∴22+42＝32+PD2，
∴PD＝．
故答案為．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AD＝，BC＝3，則AB2+CD2＝ 23 ．
解：∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝∠AOB＝90°，
∴OB2+OC2＝BC2，OA2+OD2＝AD2，OB2+OA2＝AB2，OC2+OD2＝CD2，
∴AB2+CD2＝OB2+OA2+OC2+OD2＝BC2+AD2，
∵AD＝，BC＝3，
∴BC2+AD2＝（3）2+（）2＝18+5＝23，
∴AB2+CD2＝23，
故答案為：23．
【變式2-2】．如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于O點(diǎn)，則AB＝ ．
解：∵AD、BE為AC，BC邊上的中線，
∴BD＝BC＝2，AE＝AC＝，點(diǎn)O為△ABC的重心，
∴AO＝2OD，OB＝2OE，
∵BE⊥AD，
∴BO2+OD2＝BD2＝4，OE2+AO2＝AE2＝，
∴BO2+AO2＝4，BO2+AO2＝，
∴BO2+AO2＝，
∴BO2+AO2＝5，
∴AB＝＝．
故答案為．

1．兩個矩形，小矩形繞著公共點(diǎn)C任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時，求BE2+DK2的值．
解：∵∠BCD＝∠KCE＝90°，
∴∠BCK＝∠DCE，
又∵＝，＝，
∴＝，
∴△BCK∽△DCE，
∴∠CBK＝∠CDE，
∵∠CBK+∠KBD+∠BDC＝90°，
∴∠CDE+∠KBD+∠BDC＝90°，
∴∠DOB＝90°，
∴OK2+DO2＝DK2，BO2+OE2＝BE2，
∴BE2+DK2＝OK2+EO2+DO2+BO2＝BD2+KE2＝AB2+AD2+KF2+KE2＝36+64+36+20.25＝156.25．
2．如圖，在四邊形ABCD中，對角線分別為AC，BD，且AC⊥BD于點(diǎn)O，若AD＝2，BC＝6，則AB2+CD2＝ 40 ．
解：在Rt△ABO與Rt△CDO中，由勾股定理得，
AB2＝BO2+AO2，
CD2＝CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝BO2+CO2+AO2+DO2，
在Rt△BOC與Rt△AOD中，由勾股定理得，
BC2＝BO2+CO2，
AD2＝AO2+DO2，
∴AB2+CD2＝BC2+AD2＝62+22＝40，
故答案為：40．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，M、N是BC邊上的點(diǎn)，BM＝MN＝NC，如果AM＝4，AN＝3，則MN＝ ．
解：過M，N分別作AC的垂線MD和NE，作NO⊥MO，D、E、O為垂足，則MD＝2NE，AE＝2AD，如圖，
可得AM2＝AD2+MD2，AN2＝AE2+NE2，
解得AD2＝，NE2＝，
∵EN為△CDM的中位線，所以MD＝2NE，
∵NO⊥MO，MD⊥ED，
∴四邊形ODEN為平行四邊形，即OD＝NE，
∴MO＝NE，ON＝DE，
∴MN＝＝＝．
故答案為．
4．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G、H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長度為 ．
解：連接CH并延長交AD于P，連接PE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，
∴GH＝EP＝．
5．如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；
（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O．猜想：AB2+CD2與AD2+BC2有什么關(guān)系？并證明你的猜想．
（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．
解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．
理由如下：如圖2，連接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，
∵CB＝CD，
∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，
∴直線AC是線段BD的垂直平分線，
∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，
理由如下：
如圖1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如圖3，連接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
6．如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．
（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD．垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解決問題：已知AB＝5．BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如圖2，當(dāng)∠ACB＝90°，連接DE，求DE的長；
②如圖3．當(dāng)∠ACB≠90°，點(diǎn)G、H分別是AD、AC中點(diǎn)，連接GH．若GH＝2，則S△ABC＝ ．
解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）如圖2，延長CB交DE于M，過點(diǎn)D作DN⊥CB于N，
又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BND＝∠CBE＝∠ABD＝∠EBN＝90°，AB＝BD＝5，BC＝BE＝4，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠DBN＝90°，AC＝＝3，
∴∠BAC＝∠DBN，
在△ACB和△BND中，
，
∴△ACB≌△BND（AAS），
∴BC＝DN＝BE＝4，AC＝BN＝3，
在△DNM和△EBM中，
，
∴△DNM≌△EBM（AAS），
∴MN＝MB＝BN＝×3＝，MD＝ME＝DE，
在Rt△DNM中，∠MND＝90°，
∴MD＝＝＝，
∴DE＝2MD＝；
（3）如圖3，∠ACB≠90°，分別過點(diǎn)A、D作AM⊥CB于點(diǎn)M，DN⊥CB于點(diǎn)N，連接DC，
又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，
∴∠AMB＝∠BND＝∠CBE＝∠ABD＝90°，AB＝BD＝5，BC＝BE＝4，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，∠ABC+∠DBN＝90°，
∴∠BAM＝∠DBN，
在△AMB和△BND中，
，
∴△AMB≌△BND（AAS），
∴BM＝DN，AM＝BN，
設(shè)AM＝BN＝x，則CN＝BC+BN＝4+x，
∵點(diǎn)G、H分別是AD、AC中點(diǎn)，連接GH、DC，GH＝2，
∴DC＝2GH＝4，
在Rt△DNC和Rt△DNB中，由勾股定理得：
DN2＝DB2﹣BN2，DN2＝DC2﹣CN2，
∴DB2﹣BN2＝DN2＝DC2﹣CN2，即（5）2﹣x2＝（4）2﹣（4+x）2，
解得：x＝，即AM＝BN＝x＝，
∴S△ABC＝BC?AM＝×4×＝．
7．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是 菱形，正方形 ．
（2）性質(zhì)探究：如圖2，已知四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究其兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．
（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE交AB于點(diǎn)M，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．
解：（1）∵菱形、正方形的對角線垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四邊形，
故答案為：菱形，正方形；
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由如下：連接AC，BD交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是垂美四邊形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）連接CG，BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
又∵∠BMC＝∠AME，
∴∠ABG+∠BMC＝90°，
∴CE⊥BG．
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
由（2）可知CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴由勾股定理，得CB2＝9，CG2＝32，BE2＝50，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．
8．定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）下面四邊形是垂等四邊形的是 ④ ；（填序號）
①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）圖形判定：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，過點(diǎn)D作BD垂線交BC的延長線于點(diǎn)E，且∠DBC＝45°，證明：四邊形ABCD是垂等四邊形．
（3）由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．應(yīng)用：在圖2中，面積為24的垂等四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半徑．
解：（1）①平行四邊形的對角線互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四邊形；
②矩形對角線相等但不一定垂直，故不是垂等四邊形；
③菱形的對角線互相垂直但不一定相等，故不是垂等四邊形；
④正方形的對角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；
故選：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴AC＝DE，
又∵∠DBC＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE，
∴BD＝AC，
又∵BD⊥AC，
∴四邊形ABCD是垂等四邊形；
（3）如圖，過點(diǎn)O作OE⊥BD，連接OD，
∵四邊形ABCD是垂等四邊形，
∴AC＝BD，
又∵垂等四邊形的面積是24，
∴AC?BD＝24，
解得，AC＝BD＝4，
又∵∠BCD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
設(shè)半徑為r，根據(jù)垂徑定理可得：
在△ODE中，OD＝r，DE＝，
∴r＝＝＝4，
∴⊙O的半徑為4．
9．定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點(diǎn)稱為和美四邊形的中心．
（1）寫出一種你學(xué)過的和美四邊形 正方形 ；
（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是 A ．
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無法確定
（3）如圖1，點(diǎn)O是和美四邊形ABCD的中心，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接OE、OF、OG、OH，記四邊形AEOH、BEOF、CGOF、DHOG的面積為S1、S2、S3、S4，用等式表示S1、S2、S3、S4的數(shù)量關(guān)系（無需說明理由）
（4）如圖2，四邊形ABCD是和美四邊形，若AB＝3，BC＝2，CD＝4，求AD的長．
解：（1）正方形是學(xué)過的和美四邊形，
故答案為：正方形；
（2）順次連接和美四邊形四邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，
故選：A．
（3）由和美四邊形的定義可知，AC⊥BD，
則∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，又E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴△AOE的面積＝△BOE的面積，△BOF的面積＝△COF的面積，△COG的面積＝△DOG的面積，△DOH的面積＝△AOH的面積，
∴S1+S3＝△AOE的面積+△COF的面積+△COG的面積+△AOH的面積＝S2+S4；
（4）如圖2，連接AC、BD交于點(diǎn)O，則AC⊥BD，
∵在Rt△AOB中，AO2＝AB2﹣BO2，Rt△DOC中，DO2＝DC2﹣CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，
∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2﹣BO2+DC2﹣CO2＝AB2+DC2﹣BC2＝32+42﹣22＝21，
即可得AD＝．
10．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）寫出2個所學(xué)的特殊四邊形是垂美四邊形： 菱形 ， 正方形 ．
（2）性質(zhì)探究：
已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．猜想：AB2+CD2與AD2+BC2有什么關(guān)系？并證明你的猜想．
（3）問題解決：
如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作等腰Rt△ACG（∠GAC＝90°）和等腰Rt△ABE（∠BAE＝90°），連接GE，GB，CE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的長．
解：（1）∵菱形和正方形的對角線互相垂直，
∴菱形和正方形都是垂美四邊形，
故答案為：菱形，正方形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：
∵四邊形ABCD是垂美四邊形，
∴AC⊥BD，
∴OA2+OB2＝AB2，OD2+OC2＝CD2，
∴OA2+OB2+OD2+OC2＝CD2+AB2，
∴AD2+BC2＝CD2+AB2；
（3）∵∠GAC＝∠BAE，
∴∠GAB＝∠CAE，
∵AC＝AG，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
設(shè)CE與BG交于H點(diǎn)，CE與AB交于O點(diǎn)，
∵∠AOE＝∠BOC，
∴∠BHC＝∠OAE＝90°，
∴BG⊥CE，
∴四邊形BCGE是垂美四邊形，
∴CG2+BE2＝BC2+EG2，
∵AC＝2，AB＝5．
由勾股定理得，CG2＝8，BE2＝50，BC2＝21，
∴EG2＝8+50﹣21＝37，
∵EG＞0，
∴EG＝．
11．如圖1，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，則不難證明S1＝S2+S3．
（1）如圖2，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之間有什么關(guān)系？（不必證明）
（2）如圖3，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、S2、S3之間的關(guān)系并加以證明．
（3）四邊形ABCD的對角線互相垂直，現(xiàn)以四邊形的邊長為邊長向外作四個正方形，面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1、S2、S3和S4之間的關(guān)系是 S1+S3＝S2+S4 ．
解：（1）如圖（2），分別以Rt△ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1＝S2+S3，
理由為：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3；
（2）如圖（3），分別以Rt△ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用 S1、S2、S3表示，S1、S2、S3之間的關(guān)系為S1＝S2+S3，
理由為：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3．
（3）由（2）可知：S1+S3＝S2+S4
故答案為：S1+S3＝S2+S4．
12．定義：若一個圓內(nèi)接四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為圓美四邊形．
（1）請你寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是圓美四邊形的圖形的名稱 正方形 ；
（2）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，經(jīng)過點(diǎn)A、B的圓交AC邊于點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E，連結(jié)DE．若四邊形ABED為圓美四邊形，求的值；
（3）如圖2，在△ABC中，經(jīng)過A、B的圓交AC邊于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE，BD交于點(diǎn)F．若在四邊形ABED的內(nèi)部存在一點(diǎn)P，使得∠PBC＝∠ADP，連結(jié)PE交BD于點(diǎn)G，連結(jié)PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．求證：四邊形ABED為圓美四邊形．
（1）解：根據(jù)圓美四邊形的定義知，正方形是圓美四邊形，
故答案為：正方形；
（2）解：連接BD，AE，
∵∠BAC＝90°，
∴BD為⊙O的直徑，
∴∠BED＝∠CED＝90°，
∵四邊形ABED為圓美四邊形，
∴BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAE＝90°，
∵∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴＝，
∴AD＝DE，
在等腰直角△CDE中，CD＝DE，
∴CD＝AD，
∴AC＝（+1）AD，
∵AB＝AC，AD＝DE，
∴＝+1；
（3）證明：∵PA⊥PD，PB⊥PE，
∴∠APD＝∠BPE＝90°，
∵∠PBC＝∠ADP，
∴△APD∽△EPB，
∴＝，
∴＝，
又∵∠APD+∠DPE＝∠BPE+∠DPE，
即∠APE＝∠DPB，
∴△APE∽△DPB，
∴∠AEP＝∠DBP，
又∵∠DBP+∠PGB＝90°，∠PGB＝∠EGF，
∴∠AEP+∠EGF＝90°，
即∠BFE＝90°，
∴BD⊥AE，
又∵A，B，E，D在同一個圓上，
∴四邊形ABED為圓美四邊形．
13．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；
（2）性質(zhì)探究：經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間有這樣的數(shù)量關(guān)系：AB2+CD2＝AD2+BC2，請寫出證明過程；（先畫出圖形，寫出已知，求證）
（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG和GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE長．
解：（1）解：四邊形ABCD是垂美四邊形．
理由如下：如圖2，連接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，
∵CB＝CD，
∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，
∴直線AC是線段BD的垂直平分線，
∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；
（2）證明：如圖1中，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O．
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如圖3，連接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
14．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）判斷：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的有 菱形和正方形 ；
（2）如圖2，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；
（3）如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE與BG交于點(diǎn)O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中線OH的長．
解：（1）∵菱形、正方形的對角線垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四邊形．
故答案為：菱形和正方形．
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）連接CG、BE，設(shè)AB，CE交于點(diǎn)M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，CG＝AC＝3，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，
∴GE＝2，
∴OH＝GE＝．
15．?dāng)?shù)學(xué)活動：圖形的變化
問題情境：如圖（1），△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，E是AC邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E與A，C不重合），以CE為邊在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD＝90°，連接BE，AD．猜想線段BE，AD之間的關(guān)系．
（1）獨(dú)立思考：請直接寫出線段BE，AD之間的關(guān)系；
（2）合作交流：“希望”小組受上述問題的啟發(fā)，將圖（1）中的等腰直角△ECD繞著點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)至如圖（2）的位置，BE交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O．（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．
（3）拓展延伸：“科技”小組將（2）中的等腰直角△ABC改為Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，將等腰直角△ECD改為Rt△ECD，∠ECD＝90°，CD＝4，CE＝3．試猜想BD2+AE2是否為定值，結(jié)合圖（3）說明理由．
解：（1）∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE＝AD，∠CEB＝∠CDA，
∵∠CBE+∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠CDA＝90°，
∴BE⊥AD，
（2）BE＝CD，BE⊥AD，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°
∴AC＝BC，
∵△CDE是等腰直角三角形，∠ECD＝90°，
∴CD＝CE，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD，
∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，
∴∠CAD+∠AHO＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴BE⊥AD；
即：BE＝AD，BE⊥AD；
（3）是定值，
理由：∵∠ECD＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB+ACE＝∠ECD+∠ACE＝90°，
∴∠BCE＝ACD，
∵AC＝8，BC＝6，CD＝4，CE＝3，
∴＝，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，
∴∠CAD+∠AHO＝90°，
∴∠AOH＝90°，
∴BE⊥AD，
∴∠BOD＝∠AOB＝90°，
∴BD2＝OB2+OD2，AE2＝OA2+OE2，AB2＝OA2+OB2，DE2＝OE2+OD2，
∴BD2+AE2＝OB2+OD2+OA2+OE2＝AB2+DE2，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝100，
在Rt△ECD中，∠ECD＝90°，CD＝4，CE＝3，
∴DE2＝25，
∴BD2+AE2＝AB2+DE2＝125．
16．【概念認(rèn)識】
定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）如圖1，已知在垂等四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)E，若AB⊥AD，AB＝4cm，cs∠ABD＝，求AC的長度．
【數(shù)學(xué)理解】
（2）在探究如何畫“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動中，小李與同學(xué)討論出了如下方法：如圖2，在⊙O中，已知AB是⊙O的弦，只需作OD⊥OA、OC⊥OB，分別交⊙O于點(diǎn)D和點(diǎn)C，即可得到垂等四邊形ABCD，請你寫出證明過程．
【問題解決】
（3）如圖3，已知A是⊙O上一定點(diǎn)，B為⊙O上一動點(diǎn)，以AB為一邊作出⊙O的內(nèi)接垂等四邊形（A、B不重合且A、B、O三點(diǎn)不共線），對角線AC與BD交于點(diǎn)E，⊙O的半徑為2，當(dāng)點(diǎn)E到AD的距離為時，求弦AB的長度．
解：（1）∵四邊形ABCD是垂等四邊形，
∴AC＝BD，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴cs∠ABD＝，
∵AB＝4cm，cs∠ABD＝，
∴BD＝5cm，
∴AC＝5cm；
（2）如圖2，連結(jié)AC、BD，AC、BD相交于點(diǎn)E，
∵OD⊥OA、OC⊥OB，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴∠ACD＝∠AOD＝45°，∠BDC＝∠BOC＝45°，
∴∠DEC＝90°，
即AC⊥BD，
∵∠AOC＝∠AOD+∠DOC，∠BOD＝∠BOC+∠DOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
又∵AO＝DO，CO＝BO，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴AC＝BD，
∴四邊形ABCD是垂等四邊形；
（3）∵四邊形ABCD是垂等四邊形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABE＝∠BAE＝（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴△AOD和△ABE是等腰直角三角形，
∴AD＝OA，
∵OA＝2，
∴AD＝4，
過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，
∴∠EFD＝∠EFA＝90°，
∴∠FAE+∠FEA＝90°，
∵∠FEA+∠FED＝90°，
∴∠FED＝∠FAE，
∴Rt△DEF∽Rt△EAF，
∴＝，
∴EF2＝DF?AF，
設(shè)DF＝x，則AF＝4﹣x，
∵EF＝，
∴3＝x（4﹣x），
∴x1＝1，x2＝3，
∴AF＝3或1，
∵AE＝，
∴AE＝2或2，
∵AB＝AE，
∴AB＝2或2．

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