?正弦定理：三角形ABC的三邊長分別為a、b、c，其分別對應(yīng)∠A、∠B、∠C；則有
?余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示為：
a2＝b2+c2﹣2bccs∠A
b2＝a2+c2﹣2accs∠B
c2＝a2+b2﹣2abcs∠C．
?正弦面積公式：
S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB
例題精講
【例1】．如圖，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在OX，OY上移動(dòng)，其中AB＝10，則點(diǎn)O到頂點(diǎn)A的距離的最大值為 10 ，點(diǎn)O到AB的距離的最大值為 5+5 ．
解：作△OAB的外接圓，如圖，
∵＝，
∴當(dāng)∠ABO＝90°，△ABO是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)O到頂點(diǎn)A的距離最大．
則OA＝AB＝10．
點(diǎn)O到AB的距離的最大值為5+5．
故答案是：10，5+5．
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．以O(shè)為圓心，1為半徑作圓．△ABC為⊙O的內(nèi)接正三角形，P為弧AC的三等分點(diǎn)，則PA2+PB2+PC2的值為 6 ．
解：∵以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，△ABC為⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC＝，
∴∠APB＝∠ACB＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°，
∵P為弧AC的三等分點(diǎn)，
∴∠ABP＝∠ABC＝20°，
∴∠PBC＝40°，
∴∠PAC＝∠PBC＝40°，
∴∠PAB＝∠BAC+∠PAC＝100°，
∵，，
∴，，
∵＝2，
∴PA＝2sin20°，PB＝2sin100°，PC＝2sin40°，
∴PA2+PB2+PC2＝4[sin220+sin280+sin240]＝4[++]＝4[﹣cs（60°﹣20°）+cs20°﹣cs（60°+20°）]＝6．
故答案為：6．
【變式1-2】．如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間？
解：由題意知AB＝5（3+）海里，∠DBA＝90°﹣60°＝30°，∠DAB＝45°，
∴∠ADB＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得，
∴DB＝，
＝，
＝，
＝，
＝10（海里），
又∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝30°+（90°﹣60°）＝60°，BC＝20海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2+BC2﹣2BD?BC?cs∠DBC
＝300+1200﹣2×10×20×＝900，
∴CD＝30（海里），則需要的時(shí)間t＝＝1（小時(shí)）．
答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．
【例2】．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足為D，BD＝3，CD＝2，求AD的長．
解：設(shè)AD＝x（x＞0）．
∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，
∴AC＝，AB＝；
又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，
∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC?ABcs45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2??，
解得x＝6，
∴AD＝6．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝26，AD＝30，AC，BD交于點(diǎn)O，∠AOB＝60°．求S四邊形ABCD＝ 506 ．
解：設(shè)BO＝x，AO＝y(tǒng)，CO＝a，DO＝b，
由余弦定理，得．
由（③+④）﹣（①+②）得：ax+by+ab+xy＝2024．
所以S四邊形ABCD＝xysin60°+axsin120°+absin60°+bysin60°＝xy+ax+ab+by＝（ax+by+ab+xy），
所以．
故答案是：506．
【變式2-2】．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC平分BD，AC＝，求AB2+BC2+CD2+AD2的值．
解：∵，．
∵AC平分BD，
∴BP＝DP，
∴S△ABC＝S△ADC，
∴．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴sin∠ADC＝sin∠ABC，cs∠ADC+cs∠ABC＝0，
∴AB?BC＝AD?CD，
∴，
即AB2+BC2+AD2+CD2＝10．

1．若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA：sinB：sinC＝5：11：13，則△ABC（ ）
A．一定是銳角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是鈍角三角形
D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形
解：∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA：sinB：sinC＝5：11：13，
∴由正弦定理可設(shè)a＝5k，b＝11k，c＝13k，
由余弦定理得：csC＝＝＝﹣＜0，
∴∠C是鈍角，
∴△ABC是鈍角三角形，
故選：C．
2．如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，如果AB＝AD＝2，AC＝4，且BD：DC＝2：3，則△ABC是（ ）
A．銳角三角形
B．直角三角形
C．鈍角三角形
D．銳角三角形或直角三角形
解：方法1：過A作AE垂直BC于E，
令BD＝2xCD＝3x 則BC＝5x，
∵AB＝AD＝2，
∴BE＝x，csB＝，
∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcsB 即16＝4+25x2﹣10x2，
解得，x＝，
∴△ABC用余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB?ACcsA 即20＝4+16﹣16csA，
∴csA＝0，∠A＝90°．
方法2：過點(diǎn)D作AB平行線交AC于E，
因此很容易得到DE：AB＝CE：CA＝CD：CB＝3：5，
那么DE＝1.2；
AD＝2，AE＝1.6，由勾股定理得△AED構(gòu)成一個(gè)直角三角形，即△ABC是直角三角形
故選：B．

3．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，則△ABC面積的最大值為（ ）
A．2B．+1C．2D．
解：∵∠B＝45°、AC＝2，
∴由余弦定理csB＝得：＝，
∴ac＝a2+c2﹣4≥2ac﹣4，即（2﹣）ac≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)），
∴ac≤＝2（2+）＝4+2，
∴△ABC的面積S＝acsinB≤（4+2）×＝1+，
則△ABC的面積的最大值為1+，
故選：B．
4．△ABC中，，，BC＝2，設(shè)P為BC邊上任一點(diǎn)，則（ ）
A．PA2＜PB?PC
B．PA2＝PB?PC
C．PA2＞PB?PC
D．PA2與PB?PC的大小關(guān)系并不確定
解：如圖，設(shè)BP＝x，PC＝2﹣x，
在△ABC中，由余弦定理，有
＝，
在△ABP中，由余弦定理，
有PA2＝AB2+BP2﹣2AB?BPcsB＝，
∴PA2＝x2﹣5x+8，
而PB?PC＝x（2﹣x）＝2x﹣x2，
令y＝PA2﹣PB?PC＝x2﹣5x+8﹣2x+x2＝，
∴PA2＞PB?PC．
故選：C．
5．圓內(nèi)接四條邊長順次為5、10、11、14，則這個(gè)四邊形的面積為（ ）
A．78.5B．97.5C．90D．102
解：設(shè)AB＝5，BC＝10，CD＝11，AD＝14，
∵52+142＝102+112，
∴BD2＝AB2+AD2＝BC2+CD2，
∴∠A＝∠C＝90°，
∴S四邊形＝AB?AD+BC?CD＝5×7+5×11＝90．故選：C．
6．如圖，點(diǎn)1為單位正方形內(nèi)一點(diǎn)，且AE＝BE＝AB，延長AE交CD于F，作FG⊥AB于點(diǎn)G，則EG的長度為（ ）
A．B．C．D．
解：如右圖所示，
∵AE＝BE＝AB，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠EAB＝∠EBA＝∠AEB＝60°，
又∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG＝30°，
∴AF＝＝，
∴EF＝AF﹣AE＝﹣1，
在△EFG中，EG2＝EF2+FG2﹣2×EF×FG×cs30°＝，
∴EG＝．
（作EH⊥FG，求出EH，GH，利用勾股定理即可解決問題）
故選：D．
7．設(shè)△ABC的三邊為a，b，c且（b+c）：（c+a）：（a+b）＝4：5：6，則sinA：sinB：sinC＝ 7：5：3 ．
解：由已知，設(shè)（k＞0），
得 b+c＝4k，
c+a＝5k，
a+b＝6k，
三式相加，得a+b+c＝k，
∴a＝k，b＝k，c＝k，
∴sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝7：5：3．
8．已知在△ABC中，有一個(gè)角為60°，，周長為20，則三邊長分別為 5，7，8 ．
解：在△ABC中，不妨設(shè)∠A＝60°．
由題意，可得，
，
，
解得a＝7，b＝5，c＝8或a＝7，b＝8，c＝5，
所以，△ABC三邊長分別為5，7，8．
故答案為：5，7，8．
9．已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，CA＝3，CD為∠C的角平分線，則CD＝ ．
解：令CD＝x，由正弦定理可知：
S△ABC＝9＝×3×x?sin45°+×6×x?sin45°，
故x＝．
故答案為：2．
10．在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，那么AD的長是 6 ．
解：設(shè)AD＝x（x＞0）．
∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，
∴AC＝，AB＝；
又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，
∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC?ABcs45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2??，
解得x＝6．
故答案是：6．
11．在△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝48，BC＝27，則AC＝ 35 ．
解：作CD交AB于D，使∠ACD＝∠A，
由已知得∠BCD＝2∠A，
又因∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，
所以∠BCD＝∠BDC，BD＝CB＝27，CD＝AD＝AB﹣BD＝21，
在△CBD和△ABC中，
由余弦定理，得：，
解得：AC＝35．
故答案為：35．
12．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，BE＝BC，BD＝，則AC的長為 4 ．
解：設(shè)AE＝x（x＞0），BE＝BC＝y(tǒng)（y＞0），
∵∠A＝45°，DE⊥AB，
∴AE＝DE＝x，
在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2，即x2+y2＝87…①，
在Rt△ADE中，AD＝＝x，
又∵D為AC中點(diǎn)，
∴AC＝2x，
在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×csA，
即y2＝（x+y）2+8x2﹣2（x+y）×2x×，
整理得：5x2﹣2xy＝0，
解得：y＝x…②，
將②代入①得：x＝2，
∴AC＝2x＝4．
故答案為：4．
13．在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果對于a的每一個(gè)確定的值，都存在兩個(gè)不全等的△ABC，那么a的取值范圍是 2＜a＜4 ．
解：法一：由正弦定理得：＝，即＝，
再sinA＝，
由題意得：當(dāng)60°＜∠A＜120°時(shí)，滿足條件的△ABC有兩個(gè)，
所以＜＜1，
解得2＜a＜4；
法二：由題，對于a的每一個(gè)確定的值，都要存在兩個(gè)不全等的△ABC，例如下圖所示，在BC為定值時(shí)，存在兩個(gè)不全等的△ABC與△A′BC，
∴兩個(gè)不全等的△ABC中其中一個(gè)是銳角三角形，其中一個(gè)是鈍角三角形（∠CAB為鈍角），
①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，假設(shè)0°＜∠A＜60°，如下圖所示，
在圖中無法以BC邊為定值，再畫出另一個(gè)不全等的△ABC，
②當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，假設(shè)∠A＝60°，如下圖所示，△ABC為等邊三角形，
在圖中也無法以BC邊為定值，再畫出另一個(gè)不全等的△ABC，
∴綜上，當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，∠A必須滿足：90°＞∠A＞60°，
∵當(dāng)∠A＝60°時(shí)，△ABC為等邊三角形，此時(shí)BC＝2，
∵當(dāng)∠A＝90°時(shí)，△ABC為直角三角形，此時(shí)BC＝4，
∴對于a的每一個(gè)確定的值，都要存在兩個(gè)不全等的△ABC，則BC需滿足：2＜BC＜4，
∴2＜a＜4；
故答案為：2＜a＜4．
14．在△ABC中，∠B＝45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD＝，AC＝3，CD＝，求AB的長．
解：∵AD＝，AC＝3，CD＝，
∴AC2＝32＝9，AD2＝3，CD2＝6，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴AB＝AD＝?＝．
15．如圖，在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且DE平分△ABC的面積，求線段DE長度的最小值．
解：在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，則S△ABC＝＝30，sinA＝＝．
∵DE平分△ABC的面積，
∴S△ADE＝S△ABC＝15．
令A(yù)D＝a，AE＝b，有：absinA＝15．
故ab＝78．
∴．
故DE長度的最小值為．
16．如圖，在△ABC中，AD⊥直線BC，垂足為D，且AD＝BC＝a（a為常數(shù)），AC＝b，AB＝c，求最大值．
解：由題意知bcsinA＝a?a，即bcsinA＝a2．
又∵a2＝b2+c2﹣2bccsA，
∴b2+c2＝a2+2bccsA，
∴＝＝＝＝sinA+2csA．
又∵sinA+2csA＝（sinA+csA）＝sin（A+B）．
∴最大值為．
17．在△ABC中，csA＝，csB＝，csC＝，我們稱為余弦定理，請用余弦定理完成下面的問題．請用余弦定理完成下面的問題：
（1）如圖，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的長度；
（2）通過合理的構(gòu)造，試求cs105°．
解：（1）由余弦定理，可得csE＝，
∵∠E＝60°，DE＝4，DF＝，
∴＝，
解得EF＝1或3；
（2）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC，AD＝1．
∵在RT△ADC中，AD＝1．
∴AC＝2，CD＝，
∵在RT△ADB中，AD＝1，
∴AB＝，BD＝1，
∴在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝+1，
∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
利用余弦定理可得cs105°＝＝＝．
18．閱讀：△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，△ABC的邊角有如下性質(zhì)：
①正弦定理：＝＝
②余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccsA，b2＝a2+c2﹣2accsB，c2＝a2+b2﹣2abcsC．
③S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB
請你根據(jù)上述結(jié)論求解下列問題：在銳角△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且2asinB＝b．
（1）求角A的大??；
（2）若a＝6，b+c＝8，求△ABC的面積．
解：（1）∵2asinB＝b，利用正弦定理＝得：asinB＝bsinA，
∴2bsinA＝b，
∵sinB≠0，
∴sinA＝，
又∵A為銳角，
∴A＝；
（2）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc?csA，即36＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝64﹣3bc，
∴bc＝，
又∵sinA＝，
∴S△ABC＝bcsinA＝．
19．△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB．
（1）若∠A＝x°，∠BDC是y°，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 y＝x+45 ；
（2）若△BDC三邊的長是三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求sinA；
（3）在（2）的條件下求△ADC的面積．
解：（1）∵AB＝AC，∠A＝x°，
∴∠ACB＝∠B＝，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝x°+＝，
∴y＝x+45．
故答案為y＝x+45；
（2）∵∠BCD＝∠ACB＝＝45°﹣x°，∠BDC＝x°+45°，∠DBC＝2∠BCD，
∴∠BCD＜∠BDC，∠BCD＜∠DBC，
∴△BCD中BD邊最?。?br>作∠ABC的平分線交CD于E．
∵∠DBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠DCB，∠BDE＝∠CDB，
∴△BDE∽△CDB，
∴BD：CD＝BE：BC＝DE：BD．（*）
設(shè)BE＝CE＝z，則DE＝n+1﹣z．
下面分兩種情況討論BC與CD的關(guān)系：
①當(dāng)BC＞CD時(shí)，設(shè)BD、CD、BC分別為n，n+1，n+2，再設(shè)BE＝CE＝z，則DE＝n+1﹣z．將它們代入（*），得
＝＝，
由＝，得z＝，
由＝，得n+1﹣z＝，
兩式相加，得n+1＝，
解得n＝1．
由三角形三邊關(guān)系定理可知1，2，3不能組成三角形，所以BC＞CD不成立；
②當(dāng)BC＜CD時(shí)，設(shè)BD、BC、CD分別為n，n+1，n+2，再設(shè)BE＝CE＝z，則DE＝n+2﹣z．將它們代入（*），得
＝＝，
由＝，得z＝，
由＝，得n+2﹣z＝，
兩式相加，得n+2＝，
解得n1＝4，n2＝﹣1（不合題意，舍去），
∴BD＝4，BC＝5，CD＝6．
∵CD平分∠ACB，
∴AD：BD＝AC：BC，
∴AD：4＝AC：5，
設(shè)AD＝4x，則AC＝5x，
∵AB＝AC，
∴4x+4＝5x，
∴x＝4，
∴AB＝AC＝20．
在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝5，
由余弦定理，得csA＝＝，
∴sinA＝＝；
（3）△ADC的面積＝×16×20×＝15．
20．如圖：D是以AB為直徑的圓O上任意一點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、B重合，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，作CE∥AB，交AD或其延長線于E，連接BE交AC與G，AE＝CE，過C作CM⊥AD交AD延長線于點(diǎn)M，MC與⊙O相切，CE＝7，CD＝6，求EG的長．
解：連接OC，如圖．
∵M(jìn)C與⊙O相切，
∴OC⊥MC．
∵CM⊥AD，
∴OC∥AM．
∵CE∥AB，
∴四邊形AOCE是平行四邊形，
∴OA＝CE＝7，
∴AB＝14．
∵點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，
∴BC＝CD＝6．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝4．
∵CE∥AB，∴△CGE∽△AGB，
∴＝＝＝，
∴AG＝AC＝．
在Rt△ACB中，
cs∠BAC＝＝＝．
∵點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，
∴∠BAC＝∠CAD，即∠BAC＝∠EAG，
∴cs∠EAG＝．
在△EAG中，
cs∠EAG＝．
∴＝．
∵AG＝，AE＝CE＝7，
∴＝．
整理得：GE2＝．
∵GE＞0，∴GE＝．
∴EG的長為．

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中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)題型08 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（復(fù)習(xí)講義）（2份打包，原卷版+解析版）

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