模型35 垂美四邊形模型（原卷版）-試卷下載-教習網(wǎng)

?結(jié)論：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，如圖所示則有：AB2+CD2＝AD2+BC2

【證明】∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2
?方法點撥
①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；
②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯(lián)想到垂美四邊形
例題精講
【例1】．如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，若AB＝5，AD＝5，CD＝12，則BC＝．
?變式訓練
【變式1-1】．如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且AD⊥BE，垂足為點F，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則下列關(guān)系式中成立的是（）
A．a(chǎn)2+b2＝5c2B．a(chǎn)2+b2＝4c2C．a(chǎn)2+b2＝3c2D．a(chǎn)2+b2＝2c2
【變式1-2】．如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，請回答下列問題：
（1）若AB∥CD，求證：弧BD＝弧AC
（2）若AC⊥BD，CD＝4，圓O的半徑為3，求AB的長；
（3）在（2）的條件下求PA2+PB2+PC2+PD2的值．
【例2】．已知點P是矩形ABCD內(nèi)的一點，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，則PD＝．
?變式訓練
【變式2-1】．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD＝，BC＝3，則AB2+CD2＝．
【變式2-2】．如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于O點，則AB＝．

1．兩個矩形，小矩形繞著公共點C任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時，求BE2+DK2的值．
2．如圖，在四邊形ABCD中，對角線分別為AC，BD，且AC⊥BD于點O，若AD＝2，BC＝6，則AB2+CD2＝．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，M、N是BC邊上的點，BM＝MN＝NC，如果AM＝4，AN＝3，則MN＝．
4．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E、F分別是邊AB，BC的中點，連接EC，F(xiàn)D，點G、H分別是EC，F(xiàn)D的中點，連接GH，則GH的長度為．
5．如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；
（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O．猜想：AB2+CD2與AD2+BC2有什么關(guān)系？并證明你的猜想．
（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．
6．如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．
（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD．垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解決問題：已知AB＝5．BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如圖2，當∠ACB＝90°，連接DE，求DE的長；
②如圖3．當∠ACB≠90°，點G、H分別是AD、AC中點，連接GH．若GH＝2，則S△ABC＝．
7．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：我們已經(jīng)學習了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是．
（2）性質(zhì)探究：如圖2，已知四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究其兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．
（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE交AB于點M，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．
8．定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）下面四邊形是垂等四邊形的是；（填序號）
①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）圖形判定：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，過點D作BD垂線交BC的延長線于點E，且∠DBC＝45°，證明：四邊形ABCD是垂等四邊形．
（3）由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．應(yīng)用：在圖2中，面積為24的垂等四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半徑．
9．定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點稱為和美四邊形的中心．
（1）寫出一種你學過的和美四邊形；
（2）順次連接和美四邊形四邊中點所得四邊形是．
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無法確定
（3）如圖1，點O是和美四邊形ABCD的中心，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，連接OE、OF、OG、OH，記四邊形AEOH、BEOF、CGOF、DHOG的面積為S1、S2、S3、S4，用等式表示S1、S2、S3、S4的數(shù)量關(guān)系（無需說明理由）
（4）如圖2，四邊形ABCD是和美四邊形，若AB＝3，BC＝2，CD＝4，求AD的長．
10．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）寫出2個所學的特殊四邊形是垂美四邊形：，．
（2）性質(zhì)探究：
已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對角線AC、BD相交于點O．猜想：AB2+CD2與AD2+BC2有什么關(guān)系？并證明你的猜想．
（3）問題解決：
如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作等腰Rt△ACG（∠GAC＝90°）和等腰Rt△ABE（∠BAE＝90°），連接GE，GB，CE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的長．
11．如圖1，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，則不難證明S1＝S2+S3．
（1）如圖2，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之間有什么關(guān)系？（不必證明）
（2）如圖3，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、S2、S3之間的關(guān)系并加以證明．
（3）四邊形ABCD的對角線互相垂直，現(xiàn)以四邊形的邊長為邊長向外作四個正方形，面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1、S2、S3和S4之間的關(guān)系是．
12．定義：若一個圓內(nèi)接四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為圓美四邊形．
（1）請你寫出一個你學過的特殊四邊形中是圓美四邊形的圖形的名稱；
（2）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，經(jīng)過點A、B的圓交AC邊于點D，交BC邊于點E，連結(jié)DE．若四邊形ABED為圓美四邊形，求的值；
（3）如圖2，在△ABC中，經(jīng)過A、B的圓交AC邊于點D，交BC于點E，連結(jié)AE，BD交于點F．若在四邊形ABED的內(nèi)部存在一點P，使得∠PBC＝∠ADP，連結(jié)PE交BD于點G，連結(jié)PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．求證：四邊形ABED為圓美四邊形．
13．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；
（2）性質(zhì)探究：經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間有這樣的數(shù)量關(guān)系：AB2+CD2＝AD2+BC2，請寫出證明過程；（先畫出圖形，寫出已知，求證）
（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG和GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE長．
14．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
（1）判斷：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的有；
（2）如圖2，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明；
（3）如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，CE與BG交于點O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中線OH的長．
15．數(shù)學活動：圖形的變化
問題情境：如圖（1），△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，E是AC邊上的一個動點（點E與A，C不重合），以CE為邊在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD＝90°，連接BE，AD．猜想線段BE，AD之間的關(guān)系．
（1）獨立思考：請直接寫出線段BE，AD之間的關(guān)系；
（2）合作交流：“希望”小組受上述問題的啟發(fā)，將圖（1）中的等腰直角△ECD繞著點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至如圖（2）的位置，BE交AC于點H，交AD于點O．（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．
（3）拓展延伸：“科技”小組將（2）中的等腰直角△ABC改為Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，將等腰直角△ECD改為Rt△ECD，∠ECD＝90°，CD＝4，CE＝3．試猜想BD2+AE2是否為定值，結(jié)合圖（3）說明理由．
16．【概念認識】
定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）如圖1，已知在垂等四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點E，若AB⊥AD，AB＝4cm，cs∠ABD＝，求AC的長度．
【數(shù)學理解】
（2）在探究如何畫“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動中，小李與同學討論出了如下方法：如圖2，在⊙O中，已知AB是⊙O的弦，只需作OD⊥OA、OC⊥OB，分別交⊙O于點D和點C，即可得到垂等四邊形ABCD，請你寫出證明過程．
【問題解決】
（3）如圖3，已知A是⊙O上一定點，B為⊙O上一動點，以AB為一邊作出⊙O的內(nèi)接垂等四邊形（A、B不重合且A、B、O三點不共線），對角線AC與BD交于點E，⊙O的半徑為2，當點E到AD的距離為時，求弦AB的長度．

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