垂美四邊形的性質(zhì)：①S垂美四邊形ABCD=AC?BD ②AB2+DC2=AD2+BC2
證明：1）S垂美四邊形ABCD=S△ABC+ S△ADC
=AC?BP+AC?DP=AC?(BP+DP)=AC?BD
結(jié)論：垂美四邊形的面積等于對角線乘積的一半。
2）∵AB2=AP2+BP2 CD2=PD2+PC2
∴AB2+CD2 = AP2+BP2+PD2+PC2
∵AD2=AP2+DP2 BC2=BP2+PC2
∴AD2+BC2 = AP2+BP2+PD2+PC2
∴AB2+DC2=AD2+BC2
[【變形一】如圖，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點，連接AP、BP，
則DP、BP、AP、CP之間的關系：DP2+BP2=AP2+PC2
證明：∵ DP2+BP2 =DP2+BC2+PC2
PC2+AP2 =PC2+DP2+AD2 而AD=BC
∴ DP2+BP2=AP2+PC2
[【變形二】如圖，在矩形ABCD中，P為矩形內(nèi)部任意一點，連接AP、BP，CP，DP
則AP、BP，CP，DP之間的關系：AP2+PC2=DP2+BP2
證明（思路）：
方法一：
過點P分別作PE⊥AB、PF⊥BC、PG⊥CD、PH⊥AD垂足分別為點E、點F、點G、點H
由已知條件可得HF⊥EG ∴HG2+EF2=EH2+FG2(證明過程略)
而AP=EH、BP=EF、CP=FG、DP=GH ∴ AP2+PC2=DP2+BP2
方法二：
將△APD平移至如圖所示位置，點A與點B重合，點D與點C重合
由平移的性質(zhì)可得DP=CM，AP=BM，DP∥CM，∴四邊形DPMC為平行四邊形
∴CD∥PM 則∠1=∠2 而∠2+∠3= 90°
∴∠1+∠3= 90° 則∠CEP=90° ∴BC⊥PM
∴ BM2+PC2=CM2+BP2 (證明過程略)
∴ AP2+PC2=DP2+BP2
【培優(yōu)過關練】
1．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的對角線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互相垂直，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A．2.5B．3C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可得出答案．
【詳解】解：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D．
【點睛】本題考查勾股定理，正確利用勾股定理是解題的關鍵．
2．（2022秋·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的兩條對角線互相垂直， SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的最大面積是（ ）
A．64B．32C．16D．以上都不對
【答案】B
【分析】設 SKIPIF 1 < 0 ，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求最值即可．
【詳解】解： ∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ；
設 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 時，四邊形的面積最大：32，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 的最大面積是：32；
故選B．
【點睛】本題考查二次函數(shù)和幾何的綜合應用．根據(jù)題意，正確的列出二次函數(shù)的解析式，是解題的關鍵．
3．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的兩條對角線互相垂直，AC、BD是方程 SKIPIF 1 < 0 的兩個解，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積是（ ）
A．60B．30C．16D．32
【答案】B
【分析】對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半，二次方程的兩根乘積可以利用韋達定理快速求解即可．
【詳解】由題意可知
四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0
∵AC、BD是方程 SKIPIF 1 < 0 的兩個解，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：B．
【點睛】本題主要考查對角線互相垂直的四邊形的面積計算及二次方程根與系數(shù)的關系，知道利用對角線的成績計算面積是解題關鍵．
4．（2022秋·河南信陽·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的兩條對角線互相垂直， SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積最大值是（ ）
A．16B．32C．36D．64
【答案】B
【分析】利用對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半求解即可．
【詳解】解：設 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 面積為S，則 SKIPIF 1 < 0 ，
則： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
當 SKIPIF 1 < 0 時，S最大為：32﹔
故選：B．
【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的最大值，能夠正確利用面積計算公式結(jié)合方程思想是解題關鍵．
5．（2023春·八年級課時練習）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點E為對角線BD上任意一點，連接AE、CE． 若AB=5，BC=3，則AE2-CE2等于( )
A．7B．9C．16D．25
【答案】C
【分析】連接AC，與BD交于點O，根據(jù)題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，在在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，在在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，繼續(xù)利用勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可得．
【詳解】解：如圖所示：連接AC，與BD交于點O，
∵對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C．
【點睛】題目主要考查勾股定理的應用，理解題意，熟練運用勾股定理是解題關鍵．
6．（2019·浙江杭州·模擬預測）如圖，點E是矩形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)任意一點，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】過點E作EF⊥BC，延長FE交AD于點M，由題意可證四邊形ABFM，四邊形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根據(jù)勾股定理可得： SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】
如圖：過點E作EF⊥BC，延長FE交AD于點M．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
又∵EF⊥BC
∴四邊形ABFM，四邊形DCFM是矩形
∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故：選C．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，添加恰當輔助線構(gòu)造矩形是本題的關鍵．
7．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，已知四邊形 SKIPIF 1 < 0 的對角線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互相垂直于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ________．
8．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=3，BC=5，則 SKIPIF 1 < 0 ____________．
【答案】34
【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，進一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根據(jù)AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．
【詳解】解：∵BD⊥AC，
∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
在Rt△COB和Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，
BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，
∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，
∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，
∴AB2+CD2=34；
故答案為：34．
【點睛】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型是解題關鍵．
9．（2020·山東日照·校考三模）如果，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，斜邊 SKIPIF 1 < 0 的兩個端點分別在相互垂真的射 線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上滑動，下列結(jié)論：①若C ，O兩點關于 SKIPIF 1 < 0 對稱，則 SKIPIF 1 < 0 ②C ，O兩點距離的最大值為4：③四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ；④斜邊 SKIPIF 1 < 0 的中點D運動路徑的長度是 SKIPIF 1 < 0 ．其中正確結(jié)論的序號是_______________
【答案】①②##②①
【分析】①先根據(jù)含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形性質(zhì)分別求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，由軸對稱的性質(zhì)可知： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，所以 SKIPIF 1 < 0 ；②根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 的中點E時， SKIPIF 1 < 0 最大，推出C、O兩點距離的最大值為4；③如圖2，根據(jù)四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積等于 SKIPIF 1 < 0 面積與 SKIPIF 1 < 0 面積的和，其中 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的取值都是大于等于0小于等于4，由勾股定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；④如圖3，半徑為2，圓心角為 SKIPIF 1 < 0 的扇形的圓弧是點D的運動路徑，根據(jù)弧長公式計算得到π．
【詳解】解：在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若C、O兩點關于 SKIPIF 1 < 0 對稱，如圖1，
則 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴①正確；
②如圖1，取 SKIPIF 1 < 0 的中點E，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點E時， SKIPIF 1 < 0 最大， C、O兩點間的距離最大值為4；
∴②正確；
③如圖2， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴③不正確；
④如圖3，斜邊 SKIPIF 1 < 0 的中點D運動路徑是：以點O為圓心，以2為半徑的圓周的 SKIPIF 1 < 0 ，
其弧長為： SKIPIF 1 < 0 ．
∴④不正確．
綜上所述，本題正確的有：①②．
故答案為：①②．
【點睛】本題主要考查了含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形，軸對稱，三角形面積，二次函數(shù)，圓弧等，解決問題的關鍵是熟練掌握含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的邊角性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，三角形面積公式，二次函數(shù)性質(zhì)，圓弧長公式．
10．（2020秋·全國·九年級專題練習）學習新知：如圖1、圖2，P是矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則有以下重要結(jié)論：AP2+CP2＝BP2+DP2．該結(jié)論的證明不難，同學們通過勾股定理即可證明．
應用新知：如圖3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC內(nèi)一點，且CD＝2，∠ADB＝90°，則AB的最小值為_____．
【答案】4 SKIPIF 1 < 0 ﹣2
【分析】以AD、BD為邊作矩形ADBE，連接CE、DE，根據(jù)題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出CE的長度，當C、D、E三點共線時，AB的值最小，且為CE與CD長度之差，故AB最小值可求．
【詳解】解：以AD、BD為邊作矩形ADBE，連接CE、DE，如圖所示：
則AB＝DE，
由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：CE＝ SKIPIF 1 < 0 ，
當C、D、E三點共線時，DE最小，
∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE-CD＝ SKIPIF 1 < 0 -2，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 -2．
【點睛】本題主要考查了以幾何為背景的推理與論證、兩點之間線段最短，解題的關鍵在于通過題目中已給的新知推斷CD、CE、CA、CB之間的長度關系，并應用兩點之間線段最短的定理，求出對應的最值．
11．（2022秋·天津·九年級天津市第五十五中學?？计谀┤鐖D，四邊形 SKIPIF 1 < 0 兩條對角線 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，且 SKIPIF 1 < 0 ．設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示： SKIPIF 1 < 0 _____________；
(2)當 SKIPIF 1 < 0 四邊形的面積為 SKIPIF 1 < 0 時，求 SKIPIF 1 < 0 的長；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 進行求解即可；
（2）根據(jù)（1）所求，代入 SKIPIF 1 < 0 進行求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，設 SKIPIF 1 < 0 交于點O，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 兩條對角線 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為； SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：由題意得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了三角形面積，一元二次方程的應用，正確列出四邊形的面積關系式是解題的關鍵．
12．（2022秋·江西撫州·九年級南城縣第二中學?？茧A段練習）
(1)【知識感知】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______；（只填序號）

(2)【概念理解】如圖2，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，問四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形嗎？請說明理由．
(3)【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形 SKIPIF 1 < 0 的兩對角線交于點 SKIPIF 1 < 0 ，試探究 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的猜想，并給出證明；
(4)【性質(zhì)應用】如圖3，分別以 SKIPIF 1 < 0 的直角邊 SKIPIF 1 < 0 和斜邊 SKIPIF 1 < 0 為邊向外作正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 長．
【答案】(1)③④
(2)四邊形ABCD是垂美四邊形；理由見解析
(3) SKIPIF 1 < 0 ；理由見解析
(4) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)菱形和正方形的對角線互相垂直、垂美四邊形的概念判斷即可；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、垂美四邊形的概念判斷即可；
（3）根據(jù)垂美四邊形的概念、勾股定理計算，得到答案；
（4）證明△GAB≌△CAE，進而得出CE⊥BG，根據(jù)（3）的結(jié)論計算即可．
（1）
解：∵在①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是③菱形，④正方形，
∴③菱形，④正方形一定是垂美四邊形，
故答案為：③④；
（2）
解：四邊形ABCD是垂美四邊形，
理由如下：如圖2，∵AB＝AD，
∴點A在線段BD的垂直平分線上，
∵CB＝CD，
∴點C在線段BD的垂直平分線上，
∴直線AC是線段BD的垂直平分線，
∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；
（3）
解： SKIPIF 1 < 0 ，
證明如下：如圖①，∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（4）
解：如圖3，連接BE、CG，設AB與CE交于點M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB＝10，AC＝8，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
則GE＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．
13．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．
(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
(2)若四邊形ABCD的對角線互相垂直且它們的乘積為48，求四邊形EFGH的面積．
【答案】(1)見解析
(2)12
【分析】（1）連接AC，根據(jù)三角形中位線定理證明HG＝EF，HG∥EF，根據(jù)平行四邊形的判定定理可得結(jié)論；
（2）先由三角形的中位線定理和矩形的判定定理推知四邊形EFGH是矩形，進而求出 SKIPIF 1 < 0 即可解答．
（1）
證明：連接AC．
∵點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，
∴HG＝ SKIPIF 1 < 0 AC，HG∥AC，EF＝ SKIPIF 1 < 0 AC，EF∥AC，
∴HG＝EF，HG∥EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）
連接BD，AC．
由（1）得：HG＝ SKIPIF 1 < 0 AC，HG∥AC，
同理可得：HE＝ SKIPIF 1 < 0 BD，HE∥BD，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴平行四邊形EFGH是矩形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴矩形EFGH的面積為12．
【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、中點四邊形、三角形中位線定理，解題的關鍵是靈活應用三角形中位線定理，學會添加常用輔助線．
14．（2022秋·九年級課時練習）小明學習了特殊的四邊形后，對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是______．
(2)性質(zhì)探究：通過探究，直接寫出垂美四邊形ABCD的面積S與兩條對角線AC、BD之間的數(shù)量關系：______．
(3)問題解決：如圖2，分別以 SKIPIF 1 < 0 的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)BG、CE交于點N，CE交AB于點M，連結(jié)GE．
①求證：四邊形BCGE為垂美四邊形；
②已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形BCGE的面積為______．
【答案】(1)菱形和正方形
(2) SKIPIF 1 < 0 AC?BD
(3)①證明見解析；② SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)由平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
(2)四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ADC的面積= SKIPIF 1 < 0 AC?BO+ SKIPIF 1 < 0 AC?DO= SKIPIF 1 < 0 AC?BD；
(3)①連接CG、BE，證出∠GAB=∠CAE，由SAS證明?GAB≌△CAE，得出BG=CE，
∠ABG=∠AEC，再由角的互余關系和三角形內(nèi)角和定理求出∠BNM=90°，得出BG⊥CE即可；
②根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合(2)的結(jié)論計算即可．
【詳解】（1）(1) ∵在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四邊形；
故答案為：菱形、正方形；
（2）如圖1所示：
∵四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ADC的面積= SKIPIF 1 < 0 AC?BO+ SKIPIF 1 < 0 AC?DO= SKIPIF 1 < 0 AC?BD；
故答案為： SKIPIF 1 < 0 AC?BD；
（3）證明：連接CG、BE，如圖2所示:
∵四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形，
∴∠F=∠CAG=∠BAE= 90°，
FG= AG= AC= CF， AB= AE，
∴∠CAG +∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠GAB= ∠CAE，
在?GAB和△CAE中，
SKIPIF 1 < 0
?GAB≌?CAE (SAS)，
∴BG=CE，∠ABG=∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME = 90°
∠AME=∠BMN ，
∴∠ABG十∠BMN=90°
∴∠BNM=90°
∴BG⊥CE，
∴四邊形BCGE為垂美四邊形；
∵FG=CF=AC=4，∠ACB=90°，AB= 5，
∴BC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ BF= BC+CF= 7，
在Tt△BFG中，
BG= SKIPIF 1 < 0 ，
∴CE= BG= SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形BCGE為垂美四邊形，
∴四邊形BCGE的面積= SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查的是垂美四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題關鍵．
15．（2021秋·山西太原·八年級太原師范學院附屬中學校考階段練習）認識新知：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
(1)概念理解：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，已知OB＝OD，AB＝AD，判斷：四邊形ABCD____垂美四邊形（填“是”或“否”）；
(2)性質(zhì)探究：如圖2，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．
①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，則AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．
②猜想AB、BC、CD、AD這四條邊的數(shù)量關系，并給出證明．
(3)解決問題：如圖3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，連結(jié)CE、BG、GE，則GE＝____．
【答案】(1)是
(2)①79，79；② SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）連接AC、BD，根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；
（3）證△GAB≌△CAE（SAS），得∠ABG＝∠AEC，再證四邊形CGEB是垂直四邊形，然后由垂直四邊形的性質(zhì)，勾股定理，結(jié)合（2）的結(jié)論計算即可．
（1）
解：結(jié)論：四邊形ABCD是垂美四邊形．
理由：如圖，連接AC和BD，
∵AD＝AB，
∴A在BD的垂直平分線上，
∵CD＝CB，
∴C在BD的垂直平分線上，
∴AC垂直平分BD，
∴四邊形ABCD為垂美四邊形；
故答案為：是；
（2）
①解：∵AC⊥BD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝1+25+49+4＝79，
SKIPIF 1 < 0 ＝1+25+49+4＝79，
故答案為：79，79；
②結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 ．
理由：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）
如圖，設AC與BG的交點為N，AB與CE的交點為M，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．
16．（2022春·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）定義：我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”．
(1)特例感知：如圖1，四邊形ABCD是“垂美四邊形”，如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______， SKIPIF 1 < 0 ______．
(2)猜想論證：如圖1，如果四邊形ABCD是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系并給予證明．
(3)拓展應用：如圖2，分別以 SKIPIF 1 < 0 的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求GE長．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，證明見解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用勾股定理即可得出答案；
（2）由“垂美四邊形”得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，首先利用 SKIPIF 1 < 0 證明 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，說明 SKIPIF 1 < 0 ，從而得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而解決問題．
（1）
解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是“垂美四邊形”，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 ，
證明：∵ SKIPIF 1 < 0 于點O，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（3）
解：如圖：連接CG、BE，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形GCBE為垂美四邊形，
由（2）中結(jié)論可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)線段為正數(shù)可知 SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題是一道新定義題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，利用（2）中結(jié)論是解決問題（3）的關鍵．
17．（2022春·廣東韶關·八年級統(tǒng)考期末）新定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．
(1)尺規(guī)作圖：以已知線段 SKIPIF 1 < 0 為對角線作一個垂美四邊形 SKIPIF 1 < 0 ，使其對角線交于點O；（不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)已知四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形，且 SKIPIF 1 < 0 ，則它的面積為________；
(3)如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形， SKIPIF 1 < 0 ，探究a、b、c、d的數(shù)量關系；
(4)如圖，已知D、E分別是 SKIPIF 1 < 0 中邊 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 ，請運用上題的結(jié)論，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
(4) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）分別以點E、點G為圓心畫弧，交于EG上方于點F，交EG下方于點G，連接EF、EH、GF、GH，四邊形EFGH即為所求；
（2）將四邊形ABCD分為上下兩個三角形，分別求出兩個三角形的面積再相加即可；
（3）將四邊形ABCD分為四個小的直角三角形，再根據(jù)勾股定理分別用OA、OB、OC、OD表示出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 即可知道a、b、c、d之間的數(shù)量關系；
（4）連接DE，根據(jù)題意可得四邊形AEDB是垂美四邊形，結(jié)合（3）的結(jié)論即可求出AB長度．
【詳解】（1）解：如圖1：
（2）解：如圖2，
Rt△ACD中， SKIPIF 1 < 0 ，
Rt△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（4）解：連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖3，
∵D、E分別是 SKIPIF 1 < 0 中邊 SKIPIF 1 < 0 的中點，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是垂美四邊形；
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
即 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，熟練地掌握勾股定理，讀懂題目的新定義，巧妙地運用等量代換得出結(jié)論是解題的關鍵．
18．（2022秋·江西吉安·九年級統(tǒng)考期末）定義：我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”．
(1)特例感知：
如圖1，四邊形ABCD是“垂美四邊形”，如果 SKIPIF 1 < 0 ，OB=2， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______， SKIPIF 1 < 0 ______．
(2)猜想論證
如圖1，如果四邊形ABCD是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系并給予證明．
(3)拓展應用：
如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，∠BAC=60°，求GE長．
(4)如圖3，∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠CDO=30°，∠BOC=120°，OA=OD， SKIPIF 1 < 0 ，連接AC，BC，BD，請直接寫出BC的長．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，證明見解析
(3) SKIPIF 1 < 0
(4) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)勾股定理及含30度角的直角三角形求出BC和OC的值，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；
（2）根據(jù)勾股定理及含30度角的直角三角形分別用含OA的式子表示出BC和OC的值，再根據(jù)勾股定理即可得證；
（3）連接CG、BE，先利用SAS證明 SKIPIF 1 < 0 ，再利用角的關系得出四邊形GCBE為垂美四邊形，最后根據(jù)（2）的結(jié)論即可得出答案；
（4）連接AD，先求證 SKIPIF 1 < 0 ，再利用角的關系得出四邊形ABCD為垂美四邊形，最后根據(jù)（2）的結(jié)論即可得出答案；
(1)
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
證明： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
(3)
解：如圖：連接CG、BE，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形GCBE為垂美四邊形，
由（2）中結(jié)論可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)線段為正數(shù)可知 SKIPIF 1 < 0 ．
(4)
解：如圖：連接AD，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形ABCD為垂美四邊形，
由（2）中結(jié)論可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)線段為正數(shù)可知 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題是一道新定義題，涉及到相似三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形、等邊三角形的判定及性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，是一道綜合性強的題，熟練掌握相關的性質(zhì)定理是解題的關鍵．
19．（2021春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．
（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD．垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）解決問題：已知AB＝5 SKIPIF 1 < 0 ．BC＝4 SKIPIF 1 < 0 ，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如圖2，當∠ACB＝90°，連接DE，求DE的長；
②如圖3．當∠ACB≠90°，點G、H分別是AD、AC中點，連接GH．若GH＝2 SKIPIF 1 < 0 ，則S△ABC＝ ．
【答案】（1）見解析；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)AC⊥BD可以得到∠AOB =∠COD=90°即可得到AB2=AO2+OB2，CD2 =DO2+OC2即AB2+CD2=AO2+OB2+DO2+OC2同理可以得到AD2+BC2=AO2+OB2+DO2+OC2即可得到答案;
（2）連DC、AE相交于點F，先證明△ABE≌△DBC得到∠CDB=∠BAE從而證得AE⊥CD再利用勾股定理和（1）中的結(jié)論求解即可得到答案；
（3）連DC、AE相交于點F，作CP⊥BD交DB延長線于點P，BP2+CP2=BC2=（4 SKIPIF 1 < 0 ）2=32，DP2+PC2=DC2=（ SKIPIF 1 < 0 ）2=96，(DP2+PC2)-(BP2+CP2)=96-32=64，DP2-BP2=64從而求出BP= SKIPIF 1 < 0 ，再證明AB∥PC則S△ABC＝ SKIPIF 1 < 0 AB×BP.
【詳解】解：（1）證明：∵AC⊥BD
∴∠AOB=90°
在Rt△AOB中AB2=AO2+OB2
∴∠COD=90°
在Rt△COD中CD2 =DO2+OC2
∴AB2+CD2=AO2+OB2+DO2+OC2
同理AD2+BC2=AO2+OB2+DO2+OC2
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2
(2) ①解：連DC、AE相交于點F
∵Rt△BCE和Rt△ABD是等腰三角形
∴BE=BCAB=BD
∠CBE=∠ABD=90°
∴∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC
∴△ABE≌△DBC
∴∠CDB=∠BAE
∵∠ABD=90°
∴∠CDB+∠CDA+∠DAB=90°
∴∠BAE+∠CDA+∠DAB=90°
∴∠AFD=90°
∴AE⊥CD
∵AB=5 SKIPIF 1 < 0 ，BC=4 SKIPIF 1 < 0 ∠ACB=90°
∴AC= SKIPIF 1 < 0
∵AB=5 SKIPIF 1 < 0 ，BD=5 SKIPIF 1 < 0 ∠ABD=90°
∴AD= SKIPIF 1 < 0
∵BC=4 SKIPIF 1 < 0 ，BE=4 SKIPIF 1 < 0 ∠CBE=90°
∴CE= SKIPIF 1 < 0
由（1）中結(jié)論AD2+EC2=AC2+DE2
∴(10)2+（8）2=（3 SKIPIF 1 < 0 ）2+DE2
∴DE= SKIPIF 1 < 0
②連DC、AE相交于點F
∵點G、H分別是AD、AC中點，GH＝ SKIPIF 1 < 0
∴DC=2GH= SKIPIF 1 < 0
作CP⊥BD交DB延長線于點P
BP2+CP2=BC2=（4 SKIPIF 1 < 0 ）2=32
DP2+PC2=DC2=（ SKIPIF 1 < 0 ）2=96
∴(DP2+PC2)-(BP2+CP2)=96-32=64
∴DP2-BP2=64
∴（BD+BP)2-BP2=64
∴（5 SKIPIF 1 < 0 +BP)2-BP2=64
∴BP= SKIPIF 1 < 0
∵∠PBA=90°，∠P=90°，
∴∠PBA+∠P=90°+90°=180°
∴AB∥PC
則S△ABC＝ SKIPIF 1 < 0 AB×BP= SKIPIF 1 < 0 ×5 SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂直的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.
20．（2021·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．
（1）性質(zhì)探究：如圖1．已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解決問題：已知AB＝5，BC＝4，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如圖2，當∠ACB＝90°，連接PQ，求PQ；
②如圖3，當∠ACB≠90°，點M、N分別是AC、AP中點連接MN．若MN＝ SKIPIF 1 < 0 ，則S△ABC＝ ．
【答案】（1）詳見解析；（2）① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)SAS可證明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的長；
②連接PC、AQ交于點D，同①可證△PBC≌△ABQ，則AQ＝PC且AQ⊥PC，由MN＝2 SKIPIF 1 < 0 ，可知AQ＝PC＝4 SKIPIF 1 < 0 ．延長QB作AE⊥QE，求出BE的長，則答案可求出．
【詳解】解：（1）證明：如圖中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）①如圖，連接PC、AQ交于點D，
∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，
∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，
∴∠PBC＝∠ABQ，
∴△PBC≌△ABQ（SAS），
∴∠BPC＝∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，
即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠PDA＝90°，
∴PC⊥AQ，
利用（1）中的結(jié)論：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
即（5 SKIPIF 1 < 0 ）2+（4 SKIPIF 1 < 0 ）2＝32+PQ2；
∴PQ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
②如圖，連接PC、AQ交于點D，
同①可證△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，
∵M、N分別是AC、AP中點，
∴MN＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵MN＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AQ＝PC＝4 SKIPIF 1 < 0 ．
延長QB作AE⊥QE，
則有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，
∵EQ＝4+BE，
∴（4+BE）2﹣BE2＝23，
解得BE＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴S△ABC＝ SKIPIF 1 < 0 BC×BE＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、中位線定理、垂直的定義、勾股定理的應用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．

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