全等三角形的模型種類多，其中有關(guān)中點的模型與垂直模型在前面的專題已經(jīng)很詳細的講解，這里就不在重復(fù).
模型一、截長補短模型
①截長：在較長的線段上截取另外兩條較短的線段。
如圖所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，
可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，
∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.
②補短：選取兩條較短線段中的一條進行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。
如圖所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），
可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，
又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，
所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.
模型二、平移全等模型

模型三、對稱全等模型

模型四、旋轉(zhuǎn)全等模型

模型五、手拉手全等模型

例題精講
模型一、截長補短模型
【例1】.如圖，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，則∠C＝ ．

?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，點P是△ABC三個內(nèi)角的角平分線的交點，連接AP、BP、CP，∠ACB＝60°，且CA+AP＝BC，則∠CAB的度數(shù)為（ ）

A．60°B．70°C．80°D．90°
【變式1-2】．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求證：∠A+∠C＝180°．

【變式1-3】．如圖，△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D在線段AB上，連接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，過C作CE⊥CD，且CE＝CD，連接DE，交BC于F．
（1）求△CDE的面積；
（2）證明：DF+CF＝EF．

模型二、平移全等模型
【例2】．如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點，AD∥EC，∠AED＝∠B．
（1）求證：△AED≌△EBC．
（2）當(dāng)AB＝6時，求CD的長．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．
【變式2-2】．如圖，AD，BF相交于點O，AB∥DF，AB＝DF，點E與點C在BF上，且BE＝CF．
（1）求證：△ABC≌△DFE；
（2）求證：點O為BF的中點．
【變式2-3】．如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．
（1）求證：△AOC≌△BOD；
（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的長．
模型三、對稱全等模型
【例3】．如圖，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分線與∠CBA的角平分線相交于點P，且D，P，C在同一條直線上．
（1）求∠PAD的度數(shù)；
（2）求證：P是線段CD的中點．

?變式訓(xùn)練
【變式3-1】．如圖，AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．
求證：AM＝AN．
【變式3-2】．如圖，已知點E、F分別是正方形ABCD中邊AB、BC上的點，且AB＝12，AE＝6，將正方形分別沿DE、DF向內(nèi)折疊，此時DA與DC重合為DG，求CF的長度．
【變式3-3】．如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA、OB相交于點C、D，問PC與PD相等嗎？試說明理由．

模型四、旋轉(zhuǎn)全等模型
【例4】．如圖，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想線段CD與BE之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想．
?變式訓(xùn)練
【變式4-1】．已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如圖1，點E在BC上，求證：BC＝BD+BE；
（2）如圖2，點E在CB的延長線上，求證：BC＝BD﹣BE．
【變式4-2】．如圖所示，已知P是正方形ABCD外一點，且PA＝3，PB＝4，則PC的最大值是 3+4 ．

模型五、手拉手全等模型
【例5】．如圖，△ABC與△ADE是以點A為公共頂點的兩個三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且線段BD、CE交于F．
（1）求證：△AEC≌△ADB．
（2）猜想CE與DB之間的關(guān)系，并說明理由．
?變式訓(xùn)練
【變式5-1】．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結(jié)論：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的結(jié)論有幾個（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式5-2】．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度數(shù)；
（3）求證：CD＝2BF+DE．
【變式5-3】．（1）如圖1，等腰△ABC與等腰△DEC有公共點C，且∠BCA＝∠ECD，連接BE、AD，若BC＝AC，EC＝DC，求證：BE＝AD．
（2）若將△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3、圖4情形時，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？

實戰(zhàn)演練
1.如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結(jié)論：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（ ）個．
A．4B．3C．2D．1
3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點，若AP+BP+CP的最小值為4，則BC2＝ ．
4．正方形ABCD中，AB＝6，點E在邊CD上，CE＝2DE，將△ADE沿AE折疊至△AFE，延長EF交BC于點G，連接AG，CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG； ②S△FGC＝6；③EG＝DE+BG；④BG＝GC．其中正確的有 （填序號）．
5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿對角線AC折疊，點D落在D′處．
（1）求證：AF＝CF
（2）求AF的長度．
6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延長AB至點D，使DB＝AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）若AB＝3cm，則BE＝ cm．
（3）BE與AD有何位置關(guān)系？請說明理由．

7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是AB的中點，連接CD，過B作BE⊥CD交CD的延長線于點E，連接AE，過A作AF⊥AE交CD于點F．
（1）求證：AE＝AF；
（2）求證：CD＝2BE+DE．
8．如圖：在等腰直角三角形中，AB＝AC，點D是斜邊BC上的中點，點E、F分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF．
（1）若設(shè)BE＝a，CF＝b，滿足+|b﹣5|＝+，求BE及CF的長．
（2）求證：BE2+CF2＝EF2．
（3）在（1）的條件下，求△DEF的面積．
9．如圖1，點C為線段AB上任意一點（不與點A、B重合），分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接CP．
（1）線段AE與DB的數(shù)量關(guān)系為 ；請直接寫出∠APD＝ ；
（2）將△BCE繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，其他條件不變，探究線段AE與DB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；求出此時∠APD的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下求證：∠APC＝∠BPC．
10．閱讀與理解：
折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如圖），怎樣證明∠C＞∠B呢？
分析：把AC沿∠A的角平分線AD翻折，因為AB＞AC，所以點C落在AB上的點C'處，即AC＝AC'，據(jù)以上操作，易證明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因為∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B．
感悟與應(yīng)用：
（1）如圖（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，試判斷AC和AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖（b），在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，
①求證：∠B+∠D＝180°；
②求AB的長．
11．如圖甲，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長．
（1）李明同學(xué)作了如圖乙的輔助線，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，如圖乙所示，連接PP'，可說明△APP'是直角三角形從而問題得到解決．請你說明其中理由并完成問題解答．
（2）如圖丙，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且AP＝，BP＝，PC＝1：類比第一小題的方法求∠BPC的度數(shù)，并直接寫出正方形ABCD的面積．
12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA為邊在∠ACB的另一側(cè)作∠ACM＝∠ACB，點D為射線BC上任意一點，在射線CM上截取CE＝BD，連接AD、DE、AE．
（1）如圖1，當(dāng)點D落在線段BC的延長線上時，∠ADE的度數(shù)為 ．
（2）如圖2，當(dāng)點D落在線段BC（不含邊界）上時，AC與DE交于點F，請問（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若AB＝12，求CF的最大值．

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