一、兩條線段和的最小值。
基本圖形解析：
（一）、已知兩個(gè)定點(diǎn)：
1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最?。?br>（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：





（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：





A、A’ 是關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)。

2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：







（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：





（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：





（4）、臺球兩次碰壁模型
變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n 的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，
使得圍成的四邊形ADEB周長最短.






變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n 的內(nèi)側(cè), 在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)
PA+PQ+QA周長最短.





二、求兩線段差的最大值問題 (運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)
基本圖形解析：
1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；
（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：







解：延長AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，
而PA—PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。
（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：






解：過B作關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’

例題精講
考點(diǎn)一、兩定一動(dòng)模型
【例1】.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)D，垂足為E，M為DE上任意一點(diǎn)，BA＝3，AC＝4，BC＝6，則△AMC周長的最小值為（ ）
A．7B．6C．9D．10
解：如圖所示，連接BM，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴AM＝BM，
∴AM+CM＝BM+CM，
當(dāng)B，M，C在同一直線上時(shí)，AM+CM的最小值為BC的長，
又∵AC＝4，BC＝6，
∴△AMC周長的最小值＝6+4＝10，故選：D．

?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，在CD上找一點(diǎn)P，使PA+PE最小，則這個(gè)最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
解：如圖，連接BE，則BE就是PA+PE的最小值，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴CE＝2cm，
∴BE＝＝2，
∴PA+PE的最小值是2．
故選：C．
【變式1-2】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為 ．
解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB?h＝AB?AD，
∴h＝AD＝2，
∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．
在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝，
即PA+PB的最小值為．
故答案為：．
【變式1-3】．如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（5，0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∠AOB＝30°，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．
解：作N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N'，連接N'M交OA于P，
則此時(shí)，PM+PN最小，
∵OA垂直平分NN'，
∴ON＝ON'，∠N'ON＝2∠AON＝60°，
∴△NON'是等邊三角形，
∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，
∴N'M⊥ON，
∵點(diǎn)N（5，0），∴ON＝5，
∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∴，
∴，∴．
故答案為：．
考點(diǎn)二、一定兩動(dòng)模型
【例2】.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，E、F分別是AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為________.
解：在AB上取一點(diǎn)G，使AG＝AF，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴FE＝EG，
∴CE+EF＝CE+EG，
則最小值時(shí)CG垂直AB時(shí)，CG的長度，
CG＝．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝4，若E是BC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值為 3 ．
解：∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠C＝30°，
作A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D，交BC于H，過D作DF⊥AC于F，交BC于E，
則此時(shí)AE+EF的值最小，且AE+EF的最小值＝DF，
連接CD，
則△ACD是等邊三角形，
∵S△ADC＝AC?DF＝AD?CH，
∵AD＝AC，∴DF＝CH，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，
∴AB＝BC＝2，
同理BH＝AB＝1，
∴CH＝BC﹣B＝3，∴DF＝CH＝3，
∴AE+EF的最小值為3，
故答案為：3．
【變式2-2】.如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是 2 ．

解：作D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)D′，再過D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)，AD′＝AD＝4，
∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP′＝P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，
∵AP′＝P′D'，
2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，
∴P′D′＝2，
即DQ+PQ的最小值為2，
故答案為：2．
【變式2-3】．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為 100° ．
解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A′，關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A″，
連接A′A″與BC、CD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M、N，
∵∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°，
由軸對稱的性質(zhì)得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．
故答案為：100°．

考點(diǎn)三、線段差最大值模型
【例3】.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，AB＝12cm，△BMC的周長是20cm，若點(diǎn)P在直線MN上，則PA﹣PB的最大值為_______.
解：∵M(jìn)N垂直平分AC，
∴MA＝MC，
又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，
∴BC＝20﹣12＝8（cm），
在MN上取點(diǎn)P，
∵M(jìn)N垂直平分AC
連接PA、PB、PC
∴PA＝PC
∴PA﹣PB＝PC﹣PB
在△PBC中PC﹣PB＜BC
當(dāng)P、B、C共線時(shí)，即P運(yùn)動(dòng)到與P'重合時(shí)，（PC﹣PB）有最大值，此時(shí)PC﹣PB＝BC＝8cm．
?變式訓(xùn)練
【變式3-1】．如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，﹣2），點(diǎn)P在直線y＝﹣x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)|PA﹣PB|最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________.

解：作A關(guān)于直線y＝﹣x對稱點(diǎn)C，易得C的坐標(biāo)為（﹣1，0）；連接BC，可得直線BC的方程為y＝﹣x﹣；
求BC與直線y＝﹣x的交點(diǎn)，可得交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣4）；
此時(shí)|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值，其他BCP不共線的情況，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得|PC﹣PB|＜BC；
【變式3-2】．如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC＝16，B到MN的距離BD＝10，CD＝8，點(diǎn)P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則|PA﹣PB|的最大值等于 10 ．

解：延長AB交MN于點(diǎn)P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)時(shí)，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，
過點(diǎn)B作BE⊥AC，則BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴|PA﹣PB|的最大值等于10，
故答案為：10．
【變式3-3】．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝6，BD＝8，點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．
解：由菱形性質(zhì)可知，C點(diǎn)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)A，連接AP，則AP＝CP，
在△APE中，
|PE﹣PA|＜EA，
則當(dāng)點(diǎn)P、E、A三點(diǎn)共線時(shí)，|PE﹣PA|取最大值，最大值為AE．
∴|PC﹣PE|的最大值為AE．
∵菱形ABCD中，對角線AC＝6，BD＝8，
∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝5，
∵點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn) ∴AE＝2.5，
∴|PC﹣PE|的最大值為2.5．
模型四、造橋選址模型（即動(dòng)線段類型）
【例4】.如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在EF上．且滿足PQ＝2，則四邊形APQB周長的最小值為 12 ．
解：∵AB＝5，PQ＝2，
∴四邊形APQB的周長為AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，
則要使四邊形APQB的周長最小，只要AP+BQ最小即可．
在AB邊上截取AM＝PQ，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)B關(guān)于EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，
連接CM，交EF于點(diǎn)Q，
則CM即為AP+BQ的最小值．
在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，
∴CM＝＝5， ∴四邊形APQB的周長最小值為5+7＝12． 故答案為：12．
?變式訓(xùn)練
【變式4-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)B在原點(diǎn)，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，4），E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為 （，0） ．
解：點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位到M，點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)F，連接MF，交BC于Q，
此時(shí)MQ+EQ最小，
∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE＝，
∴要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ＝MQ+EQ，過M作MN⊥BC于N，
設(shè)CQ＝x，則NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x，
∵△MNQ∽△FCQ，
∴
∵M(jìn)N＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x，
∴，
解得：x＝，
∴BP＝6﹣2﹣＝， 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0）． 故答案為：（，0）．
【變式4-2】．如圖，正方形ABCD的邊長為3，E、F是對角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝，連接CE、CF，則△CEF周長的最小值為 ．
解：如圖所示，連接AE，AC，以AE，EF為鄰邊作平行四邊形AEFG，
則AE＝FG，EF＝AG＝，∠GAD＝∠ADF＝45°＝∠DAC，
∴∠GAC＝90°，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴CE＝AE＝GF，
∴CE+CF＝GF+CF，
∴當(dāng)G，F(xiàn)，C在同一直線上時(shí)，CF+FG的最小值等于CG的長，
此時(shí)，Rt△ACG中，CG＝＝＝2，
∴CF+FG的最小值等于2，
又∵EF＝，
∴△CEF周長的最小值為，
故答案為：．
【變式4-3】．在直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA＝3，OB＝4，D為邊OB的中點(diǎn)，線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF＝2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)．
解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，在CB邊上截取CG＝2，
連接D′G與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截EF＝2，
∵GC∥EF，GC＝EF，
∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GE＝CF，
又DC、EF的長為定值，
∴此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長最小，
∵OE∥BC，
∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，有＝，
∴OE＝＝＝＝，
∴OF＝OE+EF＝2＝，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ，0）．

實(shí)戰(zhàn)演練
1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（ ）

A．B．4C．5D．
解：作點(diǎn)Q關(guān)于AD的對稱點(diǎn)Q′，連接PQ′，如圖2所示.
∵AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)Q′在直線AB上，PQ＝PQ′，
∴PC+PQ＝PC+PQ′，
∴當(dāng)CQ′⊥AB，點(diǎn)P為CQ′與AD的交點(diǎn)時(shí)，PC+PQ′取得最小值，最小值為CQ′．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∴AC?BC＝AB?CQ′，即×6×8＝×10?CQ′，
∴CQ′＝，
∴PC+PQ的最小值為．
故選：D．
2．如圖，正方形ABEF的面積為4，△BCE是等邊三角形，點(diǎn)C在正方形ABEF外，在對角線BF上有一點(diǎn)P，使PC+PE最小，則這個(gè)最小值的平方為（ ）
A．B．C．12D．
解：連接AC，AE，過C作CG⊥AB，
∵正方形ABEF，
∴AE⊥BF，OA＝OE，
即可得：E關(guān)于BF的對稱點(diǎn)是A，連接AC交BF于P，則此時(shí)EP+CP的值最小，
EP+CP＝AC，
∵正方形ABEF的面積為4，△BCE是等邊三角形，
∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，
在Rt△BCG中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，
∴CG＝1，BG＝，
∴AC＝，
∴AC2＝8+4，
即這個(gè)最小值的平方為8+4，
故選：B．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為（ ）
A．B．C．D．2
解：法一：
作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，
則此時(shí)PA+PC的值最小，
∵DP＝PA，
∴PA+PC＝PD+PC＝CD，
∵B（3，），
∴AB＝，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝2，
由三角形面積公式得：×OA×AB＝×OB×AM，
∴AM＝，
∴AD＝2×＝3，
∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAM＝60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA＝30°，
∴AN＝AD＝，由勾股定理得：DN＝，
∵C（，0），
∴CN＝3﹣﹣＝1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝＝，
即PA+PC的最小值是，
法二：
如圖，作點(diǎn)C關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接AD，過點(diǎn)D作DM⊥OA于M．
∵AB＝，OA＝3
∴∠AOB＝30°，
∴∠DOC＝2∠AOB＝60°
∵OC＝OD
∴△OCD是等邊三角形
∴DM＝CD?sin60°＝，OM＝CM＝CD?cs60°＝
∴AM＝OA﹣OM＝3﹣＝
∴AD＝＝
即PA+PC的最小值為
故選：B．
4．如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，AC與BD交于點(diǎn)O，N是AO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM＝6．P為對角線BD上一點(diǎn)，則PM﹣PN的最大值為（ ）

A．2B．3C．D．
解：如圖所示，以BD為對稱軸作N的對稱點(diǎn)N'，連接MN′并延長交BD于P，連NP，
根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，PN＝PN'，
∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，
當(dāng)P，M，N'三點(diǎn)共線時(shí)，取“＝”，
∵正方形邊長為8，
∴AC＝AB＝8，
∵O為AC中點(diǎn)，
∴AO＝OC＝4，
∵N為OA中點(diǎn)，
∴ON＝2，
∴ON'＝CN'＝2，
∴AN'＝6，
∵BM＝6，
∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，
∴＝＝，
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，
∵∠N'CM＝45°，
∴△N'CM為等腰直角三角形，
∴CM＝MN'＝2，
即PM﹣PN的最大值為2， 故選：A．
5．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC＝12，點(diǎn)P在正方形的邊上，則滿足PE+PF＝9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．4C．6D．8
解：如圖，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)M，連接FM交BC于點(diǎn)N，連接EM，交BC于點(diǎn)H
∵點(diǎn)E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，F(xiàn)C＝4＝AE，
∵點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對稱
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°
∴∠ACM＝90°
∴EM＝＝4
則在線段BC存在點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為4＜9
在點(diǎn)H右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則PE+PF＝12
∴點(diǎn)P在CH上時(shí)，4＜PE+PF≤12
在點(diǎn)H左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，BF＝＝2
∵AB＝BC，AE＝CF，∠BAE＝∠BCF
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE＝BF＝2
∴PE+PF＝4
∴點(diǎn)P在BH上時(shí)，4＜PE+PF≤4
∴在線段BC上點(diǎn)H的左右兩邊各有一個(gè)點(diǎn)P使PE+PF＝9，
同理在線段AB，AD，CD上都存在兩個(gè)點(diǎn)使PE+PF＝9．
即共有8個(gè)點(diǎn)P滿足PE+PF＝9，
故選：D．
6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|BC﹣AC|最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是 （0，6） ．
解：∵A（1，4），B（3，0），
∴直線AB的解析式為y＝﹣2x+6，
∵|BC﹣AC|≤AB，
∴當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，|BC﹣AC|的值最大，
此時(shí)C（0，6）
故答案為（0，6）
7．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使三角形AMN周長最小時(shí)，則∠MAN的度數(shù)為 80° ．
解：延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′關(guān)于BC對稱，A、A″關(guān)于CD對稱，
此時(shí)△AMN的周長最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝130°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．
∴∠MAN＝180°﹣100°＝80°，
故答案為：80°
8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+BC＝14，tanB＝0.75，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，則DC+DE的最小值為 ．
解：作C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C'，過C'作C'E⊥BC，與AB交于點(diǎn)D，
則DC+DE的最小值即為C'E；
∵∠ACB＝90°，AC+BC＝14，tanB＝0.75，
∴AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴CC'＝，
∵∠B＝∠C'，
∴，
∴C'E＝， 故答案為；
9．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)M、N分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，AB＝3，BC＝6，∠D＝60°，在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的過程中，BM+MN的最小值為 3 ．
解：延長BA到E，使EA＝AB，過點(diǎn)E作EN⊥BC于N，交AC于M，連接BM,
在?ABCD中，∠D＝60°，
∴∠ABC＝∠D＝60°，
∵△ABC中，AB＝3，EA＝AB，
∴BE＝BC＝6，△EBC是等邊三角形，
∴點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于AC對稱，
∴BM+MN的最小值即為EN的長，
Rt△EBN中，∠BNE＝90°，∠ABC＝60°，BE＝6，
∴BM+MN＝EN＝BE×sin60°＝3．
故答案為：3．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長為2的線段CD（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)）在x軸上移動(dòng)，A（0，2），B（0，4），連接 AC，BD，則AC+BD的最小值為 2 ．
解：如圖，將線段DB向左平移到CE的位置，作點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)A′，連接CA′，EA′．
則E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，
EA′＝＝2，
∴AC+BD的最小值為2． 故答案為：2．
11．如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AB＝6，則BP﹣PE的最大值是 3 ．
解：如圖，連接PC，
∵△ABC是等邊三角形，AD是中線，
∴AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∵E是AC邊的中點(diǎn)，AB＝6，
∴EC＝3，
在△PCE中，CP﹣PE＜EC，
∴CP﹣PE＜3，
∴當(dāng)P與A重合時(shí)，CP﹣PE的值最大為3，
BP﹣PE的最大值是3．故答案為：3．
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（4，5），點(diǎn)Q（0，2），當(dāng)腰長為2的等腰直角三角形ABC在x軸上滑動(dòng)時(shí)，AQ+PC的最小值為 ．

解：連接QC、AQ、CO、OP，如右圖所示，
∵Q（0，2），△ABC是腰長為2的等腰直角三角形，
∴∠CAO＝∠QOA＝∠OQC＝90°，
∴四邊形QOAC是矩形，
∴AQ＝OC，
∴AQ+PC＝OC+PC，
∵OP＜OC+PC，等腰直角三角形ABC在x軸上滑動(dòng)，
∴當(dāng)OC+PC等于OP時(shí)，取得最小值，
∵點(diǎn)P（4，5），
∴OP＝＝，
∴AQ+PC的最小值是，
故答案為：．
13．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠A＝60°，E是邊AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EG＝EF，且∠GEF＝60°，則GB+GC的最小值為 2 ．
解：取AB與CD的中點(diǎn)M，N，連接MN，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)E'，連接E'C，E'B，
此時(shí)CE的長就是GB+GC的最小值；
∵M(jìn)N∥AD，
∴HM＝AE，
∵HB⊥HM，AB＝4，∠A＝60°，
∴MB＝2，∠HMB＝60°，
∴HM＝1，
∴AE'＝2，
∴E點(diǎn)與E'點(diǎn)重合，
∵∠AEB＝∠MHB＝90°，
∴∠CBE＝90°，
在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
故答案為2；
14．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對角線BD上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的面積為2π，MN＝1，則△AMN周長的最小值為 4 ．

解：⊙O的面積為2π，則圓的半徑為，則BD＝2＝AC，
由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)，
過點(diǎn)C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
連接AA′交BD于點(diǎn)N，取NM＝1，連接AM、CM，則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn)，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，則四邊形MCA′N為平行四邊形，
則A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周長＝AM+AN+MN＝AA′+1為最小，
則A′A＝＝3，
則△AMN的周長的最小值為3+1＝4，
故答案為：4．
15．如圖拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對稱軸上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)D、E、F分別是BC、BP、PC的中點(diǎn)，連接DE，DF，則DE+DF的最小值為 ．

解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，則C（0，﹣3），
當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，則A（﹣3，0），B（1，0），
∵點(diǎn)D、E、F分別是BC、BP、PC的中點(diǎn)，
∴DE和DF都為△PBC的中位線，
∴DE＝PC，DF＝PB，
∴DE+DF＝（PC+PB），
連接AC交直線x＝﹣1于P，如圖，
∵PA＝PB，
∴PB+PC＝PA+PC＝AC，
∴此時(shí)PB+PC的值最小，其最小值為3，
∴DE+DF的最小值為．
故答案為．
16．如圖，正方形ABCD邊長為4，DE＝1，M，N在BC上，且MN＝2．求四邊形AMNE周長的最小值．
解：在AD上取一點(diǎn)A′，使得AA′＝MN＝2，作A′關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A″，連接A″E交BC于N．此時(shí)四邊形AMNE的周長最短．
由題意AE＝＝，A″E＝＝，
∴四邊形AMNE的周長的最小值為2++．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/3/1 9:58:15；用戶：初中數(shù)學(xué)；郵箱：lsjycs@xyh.cm；學(xué)號：30145887
17．（1）如圖1，OC平分∠AOB，點(diǎn)D是射線OA邊上一點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別在射線OC、OB上運(yùn)動(dòng)，已知OD＝10，∠AOC＝30°，則DP+PQ的最小值是 10 ；
（2）如圖2，在菱形ABCD中，AB＝8，∠DAB＝60°，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，求EF+BF的最小值；
（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，點(diǎn)M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，請直接寫出MN+BN的最小值．
解：（1）當(dāng)D、P、Q共線且DQ⊥OB時(shí)，DP+PQ的值最小，
∴DP+PQ的最小值是5，
故答案為：5；
（2）連接DE、BD，
由菱形的對角線互相垂直平分，可得B、D關(guān)于AC對稱，則FD＝FB，
∴FE+FB＝EF+FD＝DE，
即DE就是FE+FB的最小值，
∵∠BAD＝60°，AD＝AB，
∴△ABD是等邊三角形，
∵AE＝BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三線合一的性質(zhì)），
在Rt△ADE中，DE＝＝＝4，
∴EF+BF的最小值＝4；
（3）如圖3，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，
連接AB′交DC于P，連接BN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠PCA，
∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)是B′，
∴∠PAC＝∠BAC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PA＝PC．
令PA＝x，則PC＝x，PD＝8﹣x．
在Rt△ADP中，∵PA2＝PD2+AD2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∵cs∠B′AM＝cs∠APD，
∴AM：AB′＝DP：AP，
∴AM：8＝3：5，
∴AM＝，
∴B′M＝＝＝，
∴MN+BN的最小值＝．

18．（1）如圖①，點(diǎn)P為直線l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A，B是直線l外同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，連接PA，PB，AB．若AB＝2，則PA﹣PB的最大值為 2 ．
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，對角線AC⊥BD，垂足為點(diǎn)O，OA＝2OC，點(diǎn)E為OC中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF＝3AF，點(diǎn)P為BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PF，若AC＝6，求PF﹣PE的最大值．
（3）如圖③，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝150°，點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，PC．若PA＝2，求PB﹣PC的最大值.
解：（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系兩邊之差小于第三邊，
∴只有當(dāng)A、B、P共線時(shí)PA﹣PB有最大值為AB＝2，
故答案為：2；
（2）如圖②，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)E'，連接FE'并延長交BD于P'，
同理（1）可知，此時(shí)F、E、P共線PF﹣PE有最大值為FE'，
∵AC＝6，OA＝2OC，OA+OC＝AC，
∴OA＝4，OC＝2，
∵點(diǎn)E為OC中點(diǎn)，
∴OE＝OC＝1，
根據(jù)對稱性得：OE'＝OE＝1，
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，AC⊥BD，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴AB＝AO＝4，
∵BF＝3AF，AF+BF＝AB，
∴AF＝，
作FH⊥AC于H，
∵△AOB為等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
即△AFH也為等腰直角三角形，
∴AH＝FH＝AF＝1，
∴HE'＝AO﹣AH﹣OE'＝4﹣1﹣1＝2，
∴FE'＝＝＝，
故PF﹣PE的最大值為；
（3）如圖③，將△APC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°得到△AP'B，則PC＝P'B，
∴當(dāng)點(diǎn)P、P'、B三點(diǎn)共線時(shí)，PB﹣PC有最大值為PP'，
作PO⊥P'A延長線于O，
∵∠BAC＝150°，
∴∠OAP＝30°，
∴OP＝AP＝1，
∴OA＝＝＝，
∴P'O＝2+，
∴P'P＝＝＝＝，
∴P'B﹣P'C＝，
故PB﹣PC的最大值為．
19．如圖所示，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)C及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使得△ACP的周長最小，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BN、CN，求△BCN面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．
解：（1）拋物線y＝x2﹣2x﹣3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，﹣4）．
（2）如圖1，由（1）得，拋物線的對稱軸為直線x＝1，
設(shè)直線x＝1交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線x＝1上任意一點(diǎn)，連接AD、PB，
∵AC為定值，
∴當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，△ACP的周長最小，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線x＝1對稱，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC，
∵PB+PC≥BC，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，PA+PC＝PB+PC＝BC，
此時(shí)PB+PC的值最小，PA+PC的值也最小，
拋物線y＝x2﹣2x﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，則x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx﹣3，則3k﹣3＝0，
解得k＝1，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2，
∴P（1，﹣2）．
（3）如圖2，過點(diǎn)N作NF⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則E（x，x﹣3），
∴EN＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵S△BCN＝S△CEN+S△BEN＝EN?OF+EN?BF＝OB?EN，
∴S△BCN＝×3（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，
∴當(dāng)x＝時(shí)，S△BCN最大＝，此時(shí)N（，﹣），
∴△BCN面積的最大值為，N（，﹣）．

20．如圖，已知直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且線段OA＝OB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)△PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使|AM﹣CM|的值最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（注：拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為）
解：（1）∵直線與y軸交于點(diǎn)A，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為；（0，1），
∵線段OA＝OB，
∴B（1，0），
將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入y＝x2+bx+c
得，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x+1；
（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則它的縱坐標(biāo)為m2﹣m+1，
即E點(diǎn)的坐標(biāo)（m，m2﹣m+1），
又∵點(diǎn)E在直線y＝x+1上，
∴m2﹣m+1＝m+1
解得m1＝0（舍去），m2＝4，
∴E的坐標(biāo)為（4，3）．
（Ⅰ）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，
過A作AP1⊥DE交x軸于P1點(diǎn)，設(shè)P1（a，0）易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P1OA得＝即＝，
∴a＝，
∴P1（，0）．
（Ⅱ）同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，過E作EP2⊥DE交x軸于P2點(diǎn)，
由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，＝即＝，
∴EP2＝，
∴DP2＝＝，
∴a＝﹣2＝，
P2點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．
（Ⅲ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過E作EF⊥x軸于F，設(shè)P3（t，0），
由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由＝得＝，
解得t1＝3，t2＝1，
∴此時(shí)的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；
（3）拋物線的對稱軸為x＝，
∵B、C關(guān)于x＝對稱，
∴MC＝MB，
要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，
由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)|AM﹣MB|的值最大．
易知直線AB的解析式為y＝﹣x+1
∴由，
得，
∴M（，﹣）．

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