專題3 阿氏圓中的雙線段模型與最值問題【專題說明】 “阿氏圓”模型核心知識點(diǎn)是構(gòu)造母子型相似，構(gòu)造△PAB∽△CAP 推出 PA2 ? ，即：半徑的平方=原有線段? 構(gòu)造線段。【模型展示】如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓．（1）角平分線定理：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則．證明：，，即（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點(diǎn)D，則．證明：在BA延長線上取點(diǎn)E使得AE=AC，連接BD，則△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，則，即．接下來開始證明步驟：如圖，PA：PB=k，作∠APB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，，故M點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB的角平分線交AB于定點(diǎn)；作∠APB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理，，故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；又∠MPN=90°，定邊對定角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓．【例題】1、如圖，拋物線與軸交于，，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，的平分線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸下方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)直線為拋物線的對稱軸時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動點(diǎn)，求的最小值．【解析】（1）由題意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴拋物線的解析式為yx2x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直線AD的解析式為yx﹣1，由題意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0）．∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）解得m或（舍棄），∴當(dāng)FH＝HP時(shí)，m的值為．（3）如圖，∵PF是對稱軸，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一點(diǎn)K，使得HK，此時(shí)K（）．∵HQ2＝1，HK?HA＝1，∴HQ2＝HK?HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴當(dāng)E、Q、K共線時(shí)，AQ+QE的值最小，最小值
2、如圖1所示，⊙O 的半徑為 r,點(diǎn) A、B 都在⊙O 外，P 為⊙O 上的動點(diǎn)， 已知 r=k·OB.連接 PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P 點(diǎn)的位置如何確定？【解析】1:連接動點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心相連接），即連接OP、OB；2：計(jì)算連接線段OP、OB長度；3：計(jì)算兩線段長度的比值；4：在OB上截取一點(diǎn)C，使得構(gòu)建母子型相似:5：連接AC，與圓0交點(diǎn)為P，即AC線段長為PA+K*PB的最小值。本題的關(guān)鍵在于如何確定“k·PB”的大小，（如圖 2）在線段 OB上截取 OC 使 OC=k·r,則可說明△BPO 與△PCO 相似，即 k·PB=PC。∴本題求“PA+k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C 三點(diǎn)共線時(shí)最?。?/span>如圖 3），時(shí)AC線段長即所求最小值。
3、如圖，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動點(diǎn)D．連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是　　．【分析】首先對問題作變式2AD+3BD=，故求最小值即可．考慮到D點(diǎn)軌跡是圓，A是定點(diǎn)，且要求構(gòu)造，條件已經(jīng)足夠明顯．當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動到AC邊時(shí)，DA=3，此時(shí)在線段CD上取點(diǎn)M使得DM=2，則在點(diǎn)D運(yùn)動過程中，始終存在．問題轉(zhuǎn)化為DM+DB的最小值，直接連接BM，BM長度的3倍即為本題答案．
4、如圖，已知正方ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最大值為_______．【分析】當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到BC邊上時(shí)，此時(shí)PC=2，根據(jù)題意要求構(gòu)造，在BC上取M使得此時(shí)PM=1，則在點(diǎn)P運(yùn)動的任意時(shí)刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，對于△PDM，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值．
 

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