解析 設(shè)F1是雙曲線的左焦點(diǎn).如圖,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知OA=OB,所以點(diǎn)O是以AB為直徑的圓的圓心.因?yàn)橐訟B為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F,則圓的方程為x2+y2=c2,圓也過(guò)左焦點(diǎn)F1,所以AB與F1F相等且互相平分,所以四邊形AF1BF為矩形,所以|AF|=|BF1|.設(shè)|AF|=m,|BF|=n,則|AF|-|BF| =|AF|-|AF1|=m-n=2a,所以m2+n2-2mn=4a2.因?yàn)锳F⊥BF,所以
3.(2024·江西南昌模擬)已知直線l:x-y+1=0與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.(1)求p;(2)設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且與l垂直的直線與拋物線C交于E,G兩點(diǎn),求四邊形AEBG的面積.
(2)由題意可得拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,1),直線EG的方程為x+y-1=0.
設(shè)E(x1,y1),G(x2,y2),則x1+x2=-4,y1+y2=2-(x1+x2)=6,則|EG|=y1+y2+p=8.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)N(2,0)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),求△AOB的面積S△AOB的最大值.
5.已知雙曲線C:2x2-y2=2與點(diǎn)P(1,2).(1)求過(guò)點(diǎn)P的弦AB所在直線的方程,使得弦AB的中點(diǎn)為P;(2)在(1)的前提下,如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C,D兩點(diǎn),證明:A,B,C,D四點(diǎn)共圓.
(2)證明 設(shè)直線CD的方程為x+y+m=0,則點(diǎn)P(1,2)在直線CD上,則m=-3,所以直線CD的方程為x+y-3=0.設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中點(diǎn)為Q(x0,y0).由
6.如圖,已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的焦距為 ,點(diǎn)(2,-1)在橢圓C上.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),其中點(diǎn)P在第一象限,PE垂直于x軸,垂足為E,連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)證明:△PQG是直角三角形.
(2)證明 設(shè)直線PQ的斜率為k,則直線PQ的方程為y=kx(k>0).設(shè)P(x1,y1),則Q(-x1,-y1),由題意知x1>0,y1>0.
(1)求C的離心率e;(2)過(guò)點(diǎn)F2的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),若△F1MN面積的最大值為3,求C的方程.
解 (1)設(shè)橢圓C的半焦距為c,則F1(-c,0),F2(c,0),則直線PF2:x=c.

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