1）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°
2）1平角=180度
二、模型的概述：
1）一線三垂直模型
[模型概述]只要出現(xiàn)等腰直角三角形，可以過直角點作一條直線，然后過45°頂點作直線的垂線，構(gòu)造三垂直，所得兩個直角三角形全等。根據(jù)全等三角形倒邊，得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。

基礎(chǔ) 構(gòu)造1 構(gòu)造2
一線三垂直模型一：如圖AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，則?ABD≌?BCE，DE=AD+EC
證明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC ∴∠CEB=∠ADB=∠ABC =90°
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3
在?ABD和?BCE中，
∠1=∠3
∠CEB=∠ADB =90° ∴?ABD≌?BCE（AAS） ∴AD=BE,EC=BD
AB=BC 則DE=BE+BD= AD+ EC
一線三垂直模型二：如圖AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，則?ABD≌?BCE，DE=AD-EC
證明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC ∴∠CEB=∠ADB=∠ABC =90°
∴∠A+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90° ∴∠A=∠CBE
在?ABD和?BCE中，
∠A=∠CBE
∠CEB=∠ADB =90° ∴?ABD≌?BCE（AAS） ∴AD=BE,EC=BD
AB=BC
則DE=BE-BD= AD- EC
一線三垂直其它模型
1）圖1，已知∠AOC =∠ADB=∠CED=90°，AB=DC，得?ADB≌?DEC
2）圖2，延長DE交AC于點F，已知∠DBE =∠ABC=∠EFC=90°，AC=DE，得?ABC≌?DBE

圖1 圖2
2）一線三等角模型
[模型概述]三個等角的頂點在同一條直線，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。
一線三等角類型：
（同側(cè)）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD
（異側(cè)）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD
證明：以右圖為例
∵∠ACP+∠A+∠CPA=180°，
∠DPB+∠CPD+∠CPA=180°而∠CAP=∠CPD=∠PBD=∠α
∴∠ACP=∠DPB 又∵CP=PD ∴?ACP≌?BPD（AAS）
【基礎(chǔ)過關(guān)練】
1．如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E，AD⊥CE于點D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長是（ ）
A．6cmB．1.5cmC．3cmD．4.5cm
【答案】C
【分析】本題可通過全等三角形來求BE的長．△BEC和△CDA中，已知了一組直角，∠CBE和∠ACD同為∠BCE的余角，AC=BC，可據(jù)此判定兩三角形全等；那么可得出的條件為CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的長即可．而CD的長可根據(jù)CE即AD的長和DE的長得出，由此可得解．
【詳解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；
∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，
∴△ACD≌△CBE；
∴EC=AD，BE=DC；
∵DE=6cm，AD=9cm，則BE的長是3cm．
故選C．
【點睛】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂線交BC于點D，
∴AD＝ED，
在△ABD與△DCE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3
故選：A．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3．如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．4cm
【答案】B
【分析】根據(jù)題意證明 SKIPIF 1 < 0 即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠ACE＝90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．
4．如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則點B的坐標為________．
【答案】（4，1）
【分析】如圖，過點B作BD⊥x軸于D，根據(jù)點A、點C坐標可得OA、OC的長，根據(jù)同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可證明△OAC≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的長，進而可得答案．
【詳解】如圖，過點B作BD⊥x軸于D，
∵A（0，3），C（1，0），
∴OA=3，OC=1，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠DCB=90°，
∵∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠DCB，
在△OAC和△DCB中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△OAC≌△DCB，
∴BD=OC=1，CD=OA=3，
∴OD=OC+CD=4，
∴點B坐標為（4，1）．
故答案為：（4，1）
【點睛】本題考查坐標與圖形及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．
5．如圖， SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ，若，，則點B的坐標為_________．
【答案】
【分析】過點B作 SKIPIF 1 < 0 軸于點T．證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖中，過點B作 SKIPIF 1 < 0 軸于點T．
∵，，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （AAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了坐標與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
6．如圖所示， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．直線l經(jīng)過點A，過點B作 SKIPIF 1 < 0 于點E，過點C作 SKIPIF 1 < 0 于點F．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】7
【分析】根據(jù)全等三角形來實現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進行計算，即可得到答案；
【詳解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在△AEB和△CFA中
∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
∴EF=BE+CF．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為：7．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的證明三角形全等．
7．如圖，一個等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，則點C離地面的距離是____ cm．
【答案】28
【分析】作CD⊥OB于點D，依據(jù)AAS證明 SKIPIF 1 < 0 ,GMF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：過點C作CD⊥OB于點D，如圖，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形
∴AB=CB， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案為：28．
【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．
8．如圖，AB＝BC， AB⊥BC， AE⊥BD于F，BC⊥CD， 求證：EC＝AB－CD．
【答案】見解析
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 證明出△ABE≌△BCD，在通過等量代換進行解答．
【詳解】證明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACD＝90°
∴∠AEB＋∠A＝90°
∵AE⊥BD
∴∠BFE＝90°
∴∠AEB＋∠FBE＝90°
∴∠A＝∠FBE，
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCD，
∴AB＝BC，BE＝CD，
∴EC＝BC－BE＝AB－CD
【點睛】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的判定定理，再利用等量代換的思想來間接證明．
【提高測試】
1．如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸的負半軸和正半軸上，以AB為邊向上作正方形ABCD，四邊形OEFG是其內(nèi)接正方形，若直線OF的表達式是y＝2x，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)易得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)OB=a，BG=b，可得F點坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)F點在直線OF上，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后即可根據(jù)正方形面積和勾股定理求出面積比．
【詳解】解：在正方形ABCD，正方形OEFG中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （AAS）
∴ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴點F坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直線OF的表達式是y＝2x，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選B．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，解題關(guān)鍵是根據(jù)正方形性質(zhì)求證 SKIPIF 1 < 0 （AAS），從而用參數(shù)表示點F坐標，再直線OF解析式求出線段之間關(guān)系．
2．如圖，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，EF=6，BG=3，DH=4，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是______．
【答案】50
【分析】易證△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面積和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面積，即可解題．
【詳解】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠BAG=∠AEF，
∵在△AEF和△BAG中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AEF≌△BAG（AAS），
同理△BCG≌△CDH，
∴AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，
∵梯形DEFH的面積= SKIPIF 1 < 0 （EF+DH）?FH=80，
S△AEF=S△ABG= SKIPIF 1 < 0 AF?AE=9，
S△BCG=S△CDH= SKIPIF 1 < 0 CH?DH=6，
∴圖中實線所圍成的圖形的面積S=80-2×9-2×6=50，
故答案為：50．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH是解題的關(guān)鍵．
3．已知直線l經(jīng)過正方形ABCD的頂點A，過點B和點D分別作直線的垂線BM和DN，垂足分別為點M、點N，如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么點M和點N之間的距離為_______．
【答案】8或2##2或8
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠NAD=∠MBA，再利用全等三角形的判定得出△ABM≌△AND，進而求出MN的值，注意分類討論．
【詳解】如圖1，在正方形ABCD中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （AAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
如圖2，在正方形ABCD中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （AAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
綜上： SKIPIF 1 < 0 或2．
故答案為：8或2．
【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，將直線l與正方形ABCD的位置分類討論是解題關(guān)鍵．
4．如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分別過 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 向過 SKIPIF 1 < 0 的直線作垂線，垂足分別為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖1，過 SKIPIF 1 < 0 的直線與斜邊 SKIPIF 1 < 0 不相交時，直接寫出線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）如圖2，過 SKIPIF 1 < 0 的直線與斜邊 SKIPIF 1 < 0 相交時，探究線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（3）在（2）的條件下，如圖3，直線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積是90，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
【答案】（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF；（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．證明見詳解；（3）S△GHC=15．
【分析】（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF．利用一線三直角得到∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS）可得BE=AF，AE=CF即可；
（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．先證∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，可得∠EBA=∠FAC，再證△EBA≌△FEC（AAS），可得BE=AF，AE=CF即可；
（3）先由（2）結(jié)論EF=BE-CF； SKIPIF 1 < 0 ，求出BE=AF=12，由 SKIPIF 1 < 0 ，可求FH=2，EH=4，利用對角線垂直的四邊形面積可求BG= SKIPIF 1 < 0 ，再求EG=3，AH= 10，分別求出S△ACF= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，S△HCF= SKIPIF 1 < 0 ，S△AGH= SKIPIF 1 < 0 ，利用面積差即可求出．
【詳解】解：（1）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF．
∵BE⊥EF，CF⊥EF，∠BAC=90°，
∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC=180°-∠BAC=90°，
∴∠EBA=∠FAC，
在△EBA和△FEC中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△EBA≌△FAC（AAS），
∴BE=AF，AE=CF，
∴EF=AF+AE=BE+CF；
（2）數(shù)量關(guān)系為：EF=BE-CF．
∵BE⊥AF，CF⊥AF，∠BAC=90°，
∴∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠EAB+∠FAC= =90°，
∴∠EBA=∠FAC，
在△EBA和△FEC中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△EBA≌△FAC（AAS），
∴BE=AF，AE=CF，
∴EF=AF-AE=BE-CF；
（3）∵EF=BE-CF； SKIPIF 1 < 0 ，
∴BE=AF=EF+CF=6+6=12，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，EH+FH=EF=6，
∴2FH+FH= 6，
解得FH=2，
∴EH=2FH=4，
S四邊形ABFG= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =90，
∴BG= SKIPIF 1 < 0 ，
∴EG=BG-BE=15-12=3，AH=AE+EH=6+4=10，
∵S△ACF= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，S△HCF= SKIPIF 1 < 0 ，S△AGH= SKIPIF 1 < 0 ，
∴S△GHC=S△ACF-S△HCF-S△AGH=36-6-15=15．
【點睛】本題考查圖形變換探究線段和差問題，感知，探究以及應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計算，掌握圖形變換探究線段和差問題，感知，探究以及應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，四邊形面積，與三角形高有關(guān)的計算是解題關(guān)鍵．
5．如圖1所示，已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，直線m經(jīng)過點C，過A、B兩點分別作直線m的垂線，垂足分別為E、F．
（1）如圖1，當直線m在A、B兩點同側(cè)時，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若直線m繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時（ SKIPIF 1 < 0 ），其余條件不變，猜想 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；
（3）若直線m繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時（ SKIPIF 1 < 0 ）其余條件不變，問 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系如何？直接寫出猜想結(jié)論，不需證明．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析
【分析】（1）先證得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 證 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）類比（1）證得對應(yīng)的兩個三角形全等，由此可推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）類比（1）證得對應(yīng)的兩個三角形全等，由此可推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可得到 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）證明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解： SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，主要涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)，等量代換等知識點，難度不大，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
6．如圖1，在平面直角坐標中，點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上任意一點，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當 SKIPIF 1 < 0 時，若點 SKIPIF 1 < 0 ，請你在圖1中連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若將“點 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上任意一點”，改為“點 SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 延長線上任意一點”，其他條件不變，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于點 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于點 SKIPIF 1 < 0 ，請在圖2中補全圖形，求點 SKIPIF 1 < 0 的坐標（用含 SKIPIF 1 < 0 的代數(shù)式表示）．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先根據(jù)點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，則由三線合一定理得到， SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 即可證明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）先根據(jù)點 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可利用SAS證明 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可以推出 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）同樣先證明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】證明：（1）如圖1，∵點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠AOB=∠AOC=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖2，由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵BE=AD，AC=BN，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如圖3，由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 軸 SKIPIF 1 < 0 軸，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．
7．在平面直角坐標系中，點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 軸正半軸上的一個動點，以 SKIPIF 1 < 0 為直角頂點， SKIPIF 1 < 0 為直角邊在第一象限作等腰Rt SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖1，若 SKIPIF 1 < 0 ，則點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為______；
(2)如圖2，若 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 延長線上一點，以 SKIPIF 1 < 0 為直角頂點， SKIPIF 1 < 0 為直角邊在第一象限作等腰Rt SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如圖3，以 SKIPIF 1 < 0 為直角頂點， SKIPIF 1 < 0 為直角邊在第三象限作等腰Rt SKIPIF 1 < 0 ．連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 軸于點 SKIPIF 1 < 0 ，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長度．
【答案】(1)點C（3，7）；(2)證明見詳解過程；(3)2．
【分析】（1）如圖1，過點C作CH⊥y軸，由“AAS”可證△ABO≌△BCH，可得CH=OB=3，BH=AO=4，可求解；
（2）過點E作EF⊥x軸于F，由“AAS”可證△ABO≌△BCH，可得BO=DF=4，OD=EF，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAO=45°，∠EAF=∠AEF=45°，可得結(jié)論；
（3）由（1）可知△ABO≌△BCG，可得BO=GC，AO=BG=4，再由“AAS”可證△CPG≌△FPB，可得PB=PG=2．
（1）
如圖1，過點C作CH⊥y軸于H，
∴∠CHB=∠ABC=∠AOB=90°，
∴∠BCH+∠HBC=90°=∠HBC+∠ABO，
∴∠ABO=∠BCH，
在△ABO和△BCH中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH=OB=3，BH=AO=4，
∴OH=7，
∴點C（3，7），
故答案為：（3，7）；
（2）
過點E作EF⊥x軸于F，
∴∠EFD=∠BDE=∠BOD=90°，
∴∠BDO+∠EDF=90°=∠BDO+∠DBO，
∴∠DBO=∠EDF，
在△BOD和△DFE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BOD≌△DFE（AAS），
∴BO=DF=4，OD=EF，
∵點A的坐標為（4，0），
∴OA=OB=4，
∴∠BAO=45°，
∵OA=DF=4，
∴OD=AF=EF，
∴∠EAF=∠AEF=45°，
∴∠BAE=90°，
∴BA⊥AE；
（3）
過點C作CG⊥y軸G，
由（1）可知：△ABO≌△BCG，
∴BO=GC，AO=BG=4，
∵BF=BO，∠OBF=90°，
∴BF=GC，∠CGP=∠FBP=90°，
又∵∠CPG=∠FPB，
∴△CPG≌△FPB（AAS），
∴BP=GP，
∴BP= SKIPIF 1 < 0 BG=2．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．
8．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m， CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明∶DE=BD+CE．
（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．
【答案】（1）見解析（2）成立，證明見解析（3）△DEF為等邊三角形，證明見解析
【分析】（1）因為DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS證△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE；
（2）成立，仍然通過證明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；
（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等邊三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，F(xiàn)B=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根據(jù)∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等邊三角形．
【詳解】解：（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA＝∠CEA=90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD．
又AB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS）．
∴AE=BD，AD=CE．
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）成立．證明如下：
∵∠BDA =∠BAC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°- SKIPIF 1 < 0 ．
∴∠DBA=∠CAE．
∵∠BDA=∠AEC= SKIPIF 1 < 0 ，AB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS）．
∴AE=BD，AD=CE．
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）△DEF為等邊三角形．理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，
∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°．
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．
∴∠DBF=∠FAE．
∵BF=AF，
∴△DBF≌△EAF（SAS）．
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．
∴△DEF為等邊三角形．
【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定．
9．（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直線l經(jīng)過點A， SKIPIF 1 < 0 直線l， SKIPIF 1 < 0 直線l，垂足分別為點D，E．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D，A，E三點都在直線l上，并且有 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論 SKIPIF 1 < 0 是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過 SKIPIF 1 < 0 的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）3.5
【分析】（1）由條件可證明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由條件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD≌△CAE，同（1）可得出結(jié)論；
（3）由條件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，結(jié)合條件可證明△EMI≌△GNI，可得出結(jié)論I是EG的中點．
【詳解】解：（1）證明：如圖1中，∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（2）解：成立．
理由：如圖2中，
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）如圖3，過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N．
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI，
∴I是EG的中點．
∴S△AEI= SKIPIF 1 < 0 S△AEG=3.5．
故答案為：3.5．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點E．
（1）當∠BDA=115°時，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．
【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由見詳解；（3）可以，110°或80°.
【分析】（1）利用鄰補角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；
（2）當DC=2時，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．
【詳解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，
∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；
（2）當DC=2時，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中，
SKIPIF 1 < 0
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，
∵∠BDA=110°時，
∴∠ADC=70°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=70°，
∴△ADE的形狀是等腰三角形；
∵當∠BDA的度數(shù)為80°時，
∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=40°，
∴△ADE的形狀是等腰三角形．
【點睛】本題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
11．綜合與探究：在平面直角坐標系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b滿足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0
（1）求A，B兩點的坐標
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C點的坐標
（3）已知AB＝ SKIPIF 1 < 0 ，試探究在x軸上是否存在點P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）A（0，3）、B（1，0）；（2）C（4，1）；（3）存在， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由平方數(shù)和絕對值的非負性可得a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，從而求得a＝3，b＝1，即可得到A，B兩點的坐標．
（2）過點Ｃ向 SKIPIF 1 < 0 軸作垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合已知條件可構(gòu)造一線三等角模型，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易得點C的坐標．
（3）若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，則需分兩種情況討論：① SKIPIF 1 < 0 則 SKIPIF 1 < 0 在B的左側(cè)， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 右側(cè)， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，則易證 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：（1）∵a、b滿足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0．
∴a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴A（0，3）、B（1，0）；
（2）如圖，過點C向 SKIPIF 1 < 0 軸作垂線，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴C（4，1）．
（3）若 SKIPIF 1 < 0 為腰，則分兩種情況討論：
①當 SKIPIF 1 < 0 時，
若 SKIPIF 1 < 0 在B的左側(cè)，則 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右側(cè)，則 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②當 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 時，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴由等腰三角形三線合一可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
綜上所述，存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查點的坐標，等腰三角形的性質(zhì)，掌握一線三等角證全等及等腰三角形的存在性的方法為解題關(guān)鍵．
12．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖①所示，直線 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如圖②所示，直線 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是否成立？請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 仍然成立，理由見解析
【分析】（1）首先根據(jù)同角的余角相等得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后證明 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到 SKIPIF 1 < 0 ，最后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】證明：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 仍然成立，理由如下：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，同角的與相等，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)同角的余角相等或三角形內(nèi)角和定理得到 SKIPIF 1 < 0 ．
13．通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：
（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進而得到AC＝ ，BC＝AE．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；
（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；
（深入探究）
（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1 S2（填“＞、＝、＜”）
【答案】（1）DE；（2）見解析；（3）=
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進行求解；
（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，進而可得∠BAF=∠ADH，然后可證△ABF≌△DAH，則有AF=DH，進而可得DH=EQ，通過證明△DHG≌△EQG可求解問題；
（3）過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點C作CM⊥OD交OD延長線于M，由題意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，則有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，進而可得OD=NE，通過證明△ENP≌△CMP及等積法可進行求解問題．
【詳解】解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，如圖所示：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABF≌△DAH，
∴AF=DH，
同理可知AF=EQ，
∴DH=EQ，
∵DH⊥FG，EQ⊥FG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴△DHG≌△EQG，
∴DG=EG，即點G是DE的中點；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：如圖所示，過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點C作CM⊥OD交OD延長線于M
∵四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形
∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE
∵DO⊥AF，CM⊥OD，
∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，
又∵∠ODA+∠CDM=90°，
∴∠ADO=∠DCM，
∴△AOD≌△DMC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，OD=MC，
同理可以證明△FOD≌△DNE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，OD=NE，
∴MC =NE，
∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，
∴△ENP≌△CMP，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個銳角互余及等積法，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．
14．已知：CD是經(jīng)過∠BCA的頂點C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點，∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．
①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫出BE，EF，AF間的等量關(guān)系： ．
②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系 ．
（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進行證明．
【答案】（1）①EF= BE-AF；②∠α+ ∠BCA = 180°，理由見解析；（2）不成立，EF=BE+AF，證明見解析
【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC = 90°, ∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE = AF即可得出結(jié)論；②求出∠BEC =∠AFC,∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE = AF即可得出結(jié)論;
（2）求出∠BEC =∠AFC，∠CBE= ∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE= CF，CE=AF即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）①EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系：EF= BE-AF，
證明：當α =90°時，∠BEC = ∠CFA =90°，
∵∠BCA = 90°,
∴∠BCE＋∠ACF= 90°,
∵∠BCE＋∠CBE =90°，
∴∠ACF = ∠CBE，
∵AC = BC,
∴△BCE≌△CAF,
∴BE =CF,CE = AF,
∵CF =CE＋EF,
∴EF= CF -CE=BE-AF；
②∠α與∠BCA關(guān)系：∠α+ ∠BCA = 180°
當∠α+ ∠BCA = 180°時，①中結(jié)論仍然成立;
理由是：如題圖2，
∵∠BEC = ∠CFA = ∠α, SKIPIF 1 < 0 ,∠α+∠ACB =180°,
SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴∠CBE= ∠ACF,
在△BCE和△CAF中
SKIPIF 1 < 0
∴△BCE≌△CAF (AAS),
∴BE =CF,CE = AF，
∴EF= CF-CE= BE -AF;
故答案為: ∠α+ ∠BCA = 180° ；
（2）EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系:EF=BE+AF，理由如下
∵∠BEC =∠CFA =∠α, ∠α= ∠BCA,
又∵∠EBC +∠BCE＋∠BEC = 180° , ∠BCE＋∠ACF+∠ACB =180° ,
∴∠EBC ＋∠BCE =∠BCE＋∠ACF
∴∠EBC = ∠ACF，
在△BEC和△CFA中
SKIPIF 1 < 0
∴△ABE≌△CFA(AAS)
∴AF = CE，BE = CF
∵EF= CE+CF,
∴EF= BE＋AF．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，證明△BCE≌△CAF是解題的關(guān)鍵．
15．通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：
[模型呈現(xiàn)]如圖1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，過點B作 SKIPIF 1 < 0 于點C，過點D作 SKIPIF 1 < 0 于點E．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
[模型應(yīng)用]如圖2， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為________________．
[深入探究]如圖3， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 于點F， SKIPIF 1 < 0 與直線 SKIPIF 1 < 0 交于點G．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的面積為_____________．
【答案】[模型呈現(xiàn)]見解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63
【分析】[模型呈現(xiàn)]證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到 SKIPIF 1 < 0 ；
[模型應(yīng)用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)梯形的面積公式計算，得到答案；
[深入探究]過點D作 SKIPIF 1 < 0 于P，過點E作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，進而求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
【詳解】[模型呈現(xiàn)]證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：50；
[深入探究]過點D作 SKIPIF 1 < 0 于P，過點E作 SKIPIF 1 < 0 交AG的延長線于Q，
由[模型呈現(xiàn)]可知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：63．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算，熟記三角形確定的判定定理是解題的關(guān)鍵．

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