中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)滿分突破幾何模型練習(xí)專題12 半角模型（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

基本模型：
1）90°的半角模型（?？迹?br>已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點，∠EAF=45°，AE、AF分別與BD相交于點O、P，則：
①EF=BE+DF ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE ③C?CEF=2倍正方形邊長
④S?ABE +S?ADF =S?AEF ⑤AB=AG=AD（過點A作AG⊥EF，垂足為點G）
⑥OP2=OB2+OD2 ⑦若點E為BC中點，則點F為CD三等分點
⑧?APO∽?AEF∽?DPF∽?BEO∽?DAO∽?BPA ⑨ABEP四點共圓、AOFD四點共圓、OECFP五點共圓
⑩?APE、?AOF為等腰直角三角形 (11) EF=OP
(12) S?AEF=2S?APO (13)AB2=BP×OD
(14)CE?CF=2BE?DF (15) ?EPC為等腰三角形
(16) PX=BX+DP(過點E作EX⊥BD，垂足為點X)
證明：
①思路：延長CD到點M，使DM=BE，連接AM
先根據(jù)已知條件?ABE ≌ ?ADM (SAS)，由此可得AE=AM，∠BAE=∠DAM
而∠BAE+∠FAD =45°，所以∠DAM+∠FAD =45°，可證明?AEF ≌ ?AMF (SAS)，
由此可得EF=MF，而MF=DM+DF=BE+DF，因此EF=BE+DF
②思路：∵?AEF ≌ ?AMF (SAS) ∴∠AFM=∠AFE，∠AMF=∠AEF
∴AF平分∠DFE 又∵∠AMF=∠AEB
∴∠AEB=∠AEF ∴AE平分∠BEF
③思路：C?CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=（BE+ EC）+（DF+ FC）=BC+DC=2BC
④、⑤思路：過點A作AG⊥EF，垂足為點G
根據(jù)②證明過程可知AFG=∠AFD，∠AEB=∠AEG
因此可以證明: ?ABE ≌ ?AGE (AAS), ?AGF ≌ ?ADF(AAS)
所以AB=AG=AD，S?ABE =S?AGE，S?AGF =S?ADF
則S?AEF= S?AGE+ S?AGF= S?ABE + S?ADF
⑥思路：繞點A將?APD逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到?ANB ,使AD，AB重合
因為?APD ≌ ?ANB (AAS) 所以AN=AP，BN=DP，∠NAB=∠PAD，∠ADP=∠ABN
因為∠ADB=∠ABD=45°，所以∠NBO=90°
因為∠BAE+∠PAD=45° 所以∠NAB+∠BAE=45°
則?ANO ≌ ?APO (SAS) 所以NO=OP
在Rt?NBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2 ，則OP2=OB2+OD2
⑦思路：已知tan∠EAB=∠EAB+∠FAD=45°
∴tan∠FAD，∴DF:AD=1:3，即點F為CD的三等分點。
⑧思路：假設(shè)∠AEF的度數(shù)為α，∠AFE的度數(shù)為β。
在右圖中已知表示45°角，表示角的度數(shù)為α，表示角的度數(shù)為β
所以?APO∽?AEF∽?DPF∽?BEO∽?DAO∽?BPA
⑨、⑩思路：1）∵∠EAP=∠EBO=45°，∴ABEP四點共圓
∵∠EBA =90°，∴AE為直徑，∴∠APE=90° 則AP⊥PE
∴∠AEP=180°-∠APE-∠EAP=45° ∴?APE為等腰直角三角形
2）同理AOFD四點共圓， ∵∠ADF =90°，∴AF為直徑，∴∠AOF=90° 則AO⊥OF
∴∠AFO=180°-∠AOF-∠OAF=45° ∴?AOF為等腰直角三角形
3)∵∠EOF=∠EPF= ∠ECF =90°，∴OECFP五點共圓
(11) 思路：∵?APO∽?AEF ∴ ,假設(shè)AP長為1，則AE=,∴EF=OP
(12) 思路：?APO∽?AEF 相似比為，則面積的比為，S?AEF=2S?APO
(13) 思路：∵?ABP∽?ODA ∴ ,∴AB×AD=BP×OD 則AB2=BP×OD
(14) 思路：假設(shè)正方形的邊長為m，BE長為a，DF長為b，則EF長為a+b
根據(jù)勾股定理可得EC2+FC2=EF2 ,則(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2
化簡得(m-a)(m-b)=2ab 所以CE?CF=2BE?DF
(15) 思路：根據(jù)⑩證明過程可知?APE為等腰直角三角形，所以AP=PE
再證明?ADP ≌ ?CDP (SAS)，所以AP=PC，
則PE=PC 所以?EPC為等腰三角形
(16) 思路：過點E作EX⊥BD，垂足為點X, 過點A作AY⊥BD，垂足為點Y，連接PE
先證明?APY ≌ ?PEX (AAS) (“一線三垂直模型”)，所以AY=PX
∵AY= ,∴PX= 所以BX+DP= PX=
2）120°半角模型
模型一：已知?ABC為等邊三角形，DB=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，
則MN=BM+NC
證明(思路)：延長AC至點E，使CE=BM連接DE
先證明?MBD ≌ ?ECD (SAS)，所以DM=DE，BM=CE，∠BDM=∠CDE
∵∠BDC=120°，∠MDN=60 ∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠CDE +∠CDN=60°則∠EDN=60°
再證明?DNM ≌ ?DNE (SAS) ∴MN=NE 而NE=NC+CE 所以MN= NC+MB
模型二：已知?ABC為等邊三角形，DB=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，
則MN=NC-BM
證明(思路)：線段AC取一點E，使CE=BM連接DE、MN
先證明?MBD ≌ ?ECD (SAS)，所以DM=DE，∠BDM=∠CDE
∵∠BDC=120°，∠MDN=60 ∴∠BDN+∠CDE=60°
∴∠EDN=120°-∠BDN-∠CDE=60°
再證明?NBD ≌ ?NED (SAS) ∴MN=NE 而NE=NC-CE 所以MN= NC-MB
3）135°半角模型
在Rt?ABC中，點E、點D分別為AB、AC邊上動點，四邊形AEFD是正方形，
且∠BFC=135°，則CB=CD+BE
證明(思路)：延長DA至點M，使DM=BE，連接FM
先證明?FDM ≌ ?FEB(SAS)，所以BF=FM，∠DFM=∠2
∵∠1+∠2=360°-90°-135°=135°
∴∠1+∠DFM =135°則∠CFM=∠CFB
再證明?CMF ≌ ?CBF(SAS), ∴MC=BC 則CB=CD+BE
【提高測試】
1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D、E是斜邊 SKIPIF 1 < 0 上兩點，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之和為（）
A．36B．21C．30D．22
【答案】B
【分析】將 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對稱得到 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 的面積為15，再根據(jù)對稱的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根據(jù) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之和等于 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之和即可得．
【詳解】解：如圖，將 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于AE對稱得到 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之和為21，
故選：B．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．
2．（2022·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，正方形ABCD邊長為2，BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，點P，Q分別是平分線BM、DN上的點，且滿足∠PAQ＝45°，連接PQ、PC、CQ．則下列結(jié)論：①BP?DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中正確的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】運用正方形的性質(zhì)；角平分線的定義；全等三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)綜合推理判斷．
【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠BAP+∠QAD =45°，
∵BM是正方形的外角的平分線，
∴∠MBC=135°，
∴∠BAP+∠APB=45°，
∴∠QAD＝∠APB，
∴②正確；
∵BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，
∴∠ABP=∠QDA=135°，
∵∠QAD＝∠APB，
∴△ABP∽△QDA，
∴BP：DA=BA：DQ，
∴BP?DQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴①錯誤；
∵△ABP∽△QDA，
∴BP：DA=BA：DQ，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴BP：BC=DC：DQ，
∵BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，
∴∠PBC=∠QDC=45°，
∴△BPC∽△DCQ，
∴∠BCP=∠DQC，
∴∠PCQ=360°-∠BCD-∠BCP-∠DCQ=270°-（∠DQC+∠DCQ）=270°-（180°-∠CDQ）=135°.
∴③正確；
如圖，將△AQD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接PF．則△ABF≌△ADQ．
∴∠1=∠3，AF=AQ，BF=DQ，∠AFB=∠AQD．
∴∠PAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠PAQ=45°．
∴∠PAF=∠PAQ．
又∵AP=AP，
∴△APF≌△APQ．∴PF=PQ．
∵∠PBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AQD+∠3）+45°=90°．
∴在Rt△BPF中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴④正確；
故選C．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)；角平分線的定義；全等三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．熟練掌握上述性質(zhì)，靈活運用旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖求解是解題的關(guān)鍵.
3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）
A．①②③④B．②③C．②③④D．③④
【答案】C
【分析】利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△ABF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)一一判斷即可．
【詳解】解：∵△ADC繞A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，
∴△ABF≌△ACD，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正確，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正確
無法判斷BE＝CD，故①錯誤，
故選：C．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
4．（2022秋·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，點M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的兩個動點，在運動過程中保持∠MAN＝45°，連接EN、FM相交于點O，以下結(jié)論：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF?DE；④OM＝ SKIPIF 1 < 0 OF（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，由“SAS”可證△AMN≌△AM′N，可得MN=NM′，可得MN=BM+DN，故①正確；由“SAS”可證△AEF≌△AED'，可得EF=D'E，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故②正確；通過證明△DAE∽△BFA，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可證BC2=DE?BF，故③正確；通過證明點A，點B，點M，點F四點共圓，∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，可證MO= SKIPIF 1 < 0 EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④錯誤，即可求解．
【詳解】解：將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADM′，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABD'，
∴AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，
∴∠ADM'+∠ADC=180°，
∴點M'在直線CD上，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN，
∴∠M′AN=∠MAN=45°，
又∵AN=AN，AM=AM'，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN；故①正確；
∵將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABD'，
∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'，
∴∠D'BE=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE，
∴∠D'AE=∠EAF=45°，
又∵AE=AE，AF=AD'，
∴△AEF≌△AED'（SAS），
∴EF=D'E，
∵D'E2=BE2+D'B2，
∴BE2+DF2=EF2；故②正確；
∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE，
∴∠BAF=∠AEF，
又∵∠ABF=∠ADE=45°，
∴△DAE∽△BFA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵AB=AD=BC，
∴BC2=DE?BF，故③正確；
∵∠FBM=∠FAM=45°，
∴點A，點B，點M，點F四點共圓，
∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，
同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN，
∴∠EOM=45°=∠EMO，
∴EO=EM，
∴MO= SKIPIF 1 < 0 EO，
∵∠BAM≠∠DAN，
∴∠BFM≠∠DEN，
∴EO≠FO，
∴OM≠ SKIPIF 1 < 0 FO，故④錯誤，
故選：A．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·山東煙臺·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點，且∠EDF＝45°，則DE的長為 _____．
【答案】2 SKIPIF 1 < 0
【分析】延長BA到點G，使AG=CF，連接DG，EF，利用SAS證明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，設(shè)AE=x，則BE=6 SKIPIF 1 < 0 x，EF=x+3，再利用勾股定理解決問題．
【詳解】解：延長BA到點G，使AG＝CF，連接DG，EF，
∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，
∴△ADG≌△CDF（SAS），
∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，
∵∠EDF＝45°，
∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，
∵DE＝DE，
∴△GDE≌△FDE（SAS），
∴GE＝EF，
∵F是BC的中點，
∴AG=CF=BF=3，
設(shè)AE＝x，則BE＝6﹣x，EF＝x+3，
由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2，
∴AE＝2，
∴DE＝ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：2 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握半角模型的處理策略是解題的關(guān)鍵．
6．（2022春·廣東河源·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為6的正方形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉(zhuǎn)90°得到 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為______．
【答案】5
【分析】由題意易得 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，然后可證 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，進而根據(jù)勾股定理可求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為6，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉(zhuǎn)90°得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴點G、B、E三點共線，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AE=AE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在Rt△ECF中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為5．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，從而得FG2＝AE2＋BF2，再證明△ECF≌△GCF，從而得EF2＝AE2＋BF2，進而即可求解．
【詳解】解：將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，
∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90°
∴∠ACE＝∠BCG．
∵在△ACE與△BCG中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG，
∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°．
在Rt△FBG中，∠FBG＝90°，
∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2．
又∵∠ECF＝45°，
∴∠FCG＝∠ECG?∠ECF＝45°＝∠ECF．
∵在△ECF與△GCF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ECF≌△GCF（SAS）．
∴EF＝GF，
∴EF2＝AE2＋BF2，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BF= SKIPIF 1 < 0 ，
故答案是： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換，二次根式的化簡，通過旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為_____．
【答案】2 SKIPIF 1 < 0 +2
【分析】將△ACN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長＝BD＋DC，代入求出答案即可．
【詳解】將△ACN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：

由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，
∵∠BAC＝∠D＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABD+∠ABE＝180°，
∴E，B，M三點共線，
∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
在△AEM和△ANM中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴MN＝ME，
∴MN＝CN+BM，
∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，
∴CD＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝2，BD＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴△DMN的周長為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2 SKIPIF 1 < 0 +2，
故答案為：2 SKIPIF 1 < 0 +2．
【點睛】本題考查直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4 SKIPIF 1 < 0 ，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為_____．
【答案】4 SKIPIF 1 < 0 +4．
【分析】將△ACN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN＝ME，求出MN＝CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長＝BD+DC，代入求出即可．
【詳解】將△ACN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：
由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，
∵∠BAC＝∠D＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABD+∠ABE＝180°，
∴E，B，M三點共線，
∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
在△AEM和△ANM中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴MN＝ME，
∴MN＝CN+BM，
∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4 SKIPIF 1 < 0 ，CD＝BD×tan∠CBD＝4，
∴△DMN的周長為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4 SKIPIF 1 < 0 +4，
故答案為4 SKIPIF 1 < 0 +4．
【點睛】此題主要考查利用三角形全等的性質(zhì)和解直角三角形，進行等量轉(zhuǎn)換，關(guān)鍵是做輔助線.
10．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，點O是對角線 SKIPIF 1 < 0 的中點，點P在線段 SKIPIF 1 < 0 上，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長交 SKIPIF 1 < 0 于點E，過點P作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點F，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 為定值；⑤ SKIPIF 1 < 0 ．以上結(jié)論正確的有________（填入正確的序號即可）．
【答案】①②③⑤
【分析】由題意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，對于①：易知點A、B、F、P四點共圓，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，則問題可判定；對于②：把△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，則有HF=EF，則可判定；對于③：連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易證△AOP∽△ABF，進而問題可求解；對于④：過點A作AN⊥EF于點N，則由題意可得AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，進而問題可求解；對于⑤由③可得 SKIPIF 1 < 0 ，進而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比為 SKIPIF 1 < 0 ，最后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可求解．
【詳解】解：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，
①∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴由四邊形內(nèi)角和可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴點A、B、F、P四點共圓，
∴∠AFP=∠ABD=45°，
∴△APF是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故①正確；
②把△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，如圖所示：
∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴HF=EF，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故②正確；
③連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，如圖所示：
∵點O是對角線 SKIPIF 1 < 0 的中點，
∴OB=OD， SKIPIF 1 < 0 ，
∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由①可得點A、B、F、P四點共圓，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AOP∽△ABF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故③正確；
④過點A作AN⊥EF于點N，如圖所示：
由②可得∠AFB=∠AFN，
∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，
∴△ABF≌△ANF（AAS），
∴AN=AB，
若△AEF的面積為定值，則EF為定值，
∵點P在線段 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 的長不可能為定值，故④錯誤；
⑤由③可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，
∴△APG∽△AFE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故⑤正確；
綜上所述：以上結(jié)論正確的有①②③⑤；
故答案為①②③⑤．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
11．（2021·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 點， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 點．
（1）若正方形的邊長為2，則 SKIPIF 1 < 0 的周長是______．
（2）下列結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，則 SKIPIF 1 < 0 ；③連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號是______（把你認為所有正確的都填上）．
【答案】 4 ①③
【分析】(1)將AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點落在G點處，證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進而得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的周長；
(2)對于①：將AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，M點落在H點處，證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可判斷；
對于②：設(shè)正方形邊長為2，BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，在Rt△EFC中使用勾股定理求出x，在利用∠AEF=∠AEB即可求解；
對于③：證明A、M、F、D四點共圓，得到∠AFM=∠ADM=45°進而求解．
【詳解】解：(1)將AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點落在G點處，如下圖所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∠1+∠2=45°，∠3+∠2=45°，
∴∠1=∠3，
∵ABCD為正方形，
∴AD=AB，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)對于①：將AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，M點落在H點處，如下圖所示：
∵∠1+∠2=45°，∠1+∠4=∠EAH-∠EAF=45°，
∴∠2=∠4，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故①正確；
對于②：由(1)中可知：EF=BE+DF，設(shè)正方形邊長為2，當F為CD中點時，
GB=DF=1，CF=1，設(shè)BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，
在Rt△EFC中，由勾股定理： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,故②錯誤；
對于③：如下圖所示：
∵∠EAF=∠BDC=45°，
∴A、M、F、D四點共圓，
∴∠AFM=∠ADM=45°，
∴△AMF為等腰直角三角形，故③正確；
故答案為：①③．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的證明，四點共圓的判定方法等，屬于綜合題，具有一定難度，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·江蘇·八年級期中）已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，
∠E'AF＝度，……
根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
類比探究：
(2)如圖2，當點E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；
拓展應(yīng)用：
(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．
【答案】(1)45
(2)DF＝BE+EF，證明見解析
(3)2
【分析】（1）把 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在一條直線上， SKIPIF 1 < 0 ，再證 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，進而得出結(jié)論；
（2）將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ，再證 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，進而得出結(jié)論；
（3）將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 逆時針旋轉(zhuǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，同（2）得 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 圍成的三角形面積 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至 SKIPIF 1 < 0 ，
則F、D、 SKIPIF 1 < 0 在一條直線上， SKIPIF 1 < 0 ≌△ABE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝BE，∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠BAE， SKIPIF 1 < 0 ＝AE，
∴∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠EAD+∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，
則∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠ SKIPIF 1 < 0 ﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AEF≌△ SKIPIF 1 < 0 （SAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴EF＝BE+DF．
故答案為：45；
（2）解：DF＝BE+EF 理由如下：
將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ SKIPIF 1 < 0 ≌△ABE，
∴AE＝ SKIPIF 1 < 0 ，BE＝ SKIPIF 1 < 0 ，∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠BAE，
∴∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠BAE+∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠ SKIPIF 1 < 0 +∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠BAD＝90°，
則∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠ SKIPIF 1 < 0 ﹣∠EAF＝45°，
∴∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△ SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AEF≌△ SKIPIF 1 < 0 （SAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴DF＝BE+EF；
（3）解：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
則△ SKIPIF 1 < 0 ≌△ABD，
∴CD'＝BD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同（2）得：△ADE≌△ SKIPIF 1 < 0 （SAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、EC圍成的三角形面積 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形和三角形面積等知識，本題綜合性強，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考常考題型．
13．（2022秋·福建龍巖·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△AC SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 E．
(1)當∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時，求證：DE＝ SKIPIF 1 < 0 E；
(2)當DE＝ SKIPIF 1 < 0 E時，∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出，并說明理由．
(3)在（2）的結(jié)論下，當∠BAC＝90°，BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，△ SKIPIF 1 < 0 EC是等腰直角三角形？（直接寫出結(jié)論，不必證明）
【答案】(1)見解析
(2)∠DAE＝ SKIPIF 1 < 0 ∠BAC，理由見解析
(3)DE＝ SKIPIF 1 < 0 BD
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝A SKIPIF 1 < 0 ，∠CA SKIPIF 1 < 0 ＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，從而得到∠DAE＝∠ SKIPIF 1 < 0 AE，再利用“邊角邊”證明△ADE和△A SKIPIF 1 < 0 E全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝A SKIPIF 1 < 0 ，再利用“邊邊邊”證明△ADE和△A SKIPIF 1 < 0 E全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等求出∠DAE＝∠ SKIPIF 1 < 0 AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，從而得解；
（3）求出∠ SKIPIF 1 < 0 CE＝90°，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的 SKIPIF 1 < 0 倍可得 SKIPIF 1 < 0 E＝ SKIPIF 1 < 0 C SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可．
【詳解】（1）證明：∵△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)得到△AC SKIPIF 1 < 0 ，
∴AD＝A SKIPIF 1 < 0 ，∠CA SKIPIF 1 < 0 ＝∠BAD，
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠ SKIPIF 1 < 0 AE＝∠CA SKIPIF 1 < 0 ＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DAE＝∠ SKIPIF 1 < 0 AE，
在△ADE和△A SKIPIF 1 < 0 E中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADE≌△A SKIPIF 1 < 0 E（SAS），
∴DE＝ SKIPIF 1 < 0 E；
（2）解：∠DAE＝ SKIPIF 1 < 0 ∠BAC．
理由如下：在△ADE和△A SKIPIF 1 < 0 E中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADE≌△AD′E（SSS），
∴∠DAE＝∠ SKIPIF 1 < 0 AE，
∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，
∴∠DAE＝ SKIPIF 1 < 0 ∠BAC；
（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠AC SKIPIF 1 < 0 ＝45°，
∴∠ SKIPIF 1 < 0 CE＝45°＋45°＝90°，
∵△ SKIPIF 1 < 0 EC是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 E＝ SKIPIF 1 < 0 C SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）DE＝ SKIPIF 1 < 0 E，
∵△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)得到△AC SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD＝ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴DE＝ SKIPIF 1 < 0 BD．
【點睛】本題考查了幾何變換的綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小找出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．
14．（2022春·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）問題背景：
如圖1，在四邊形ABCD中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明 SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．
實際應(yīng)用：
如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達，經(jīng)測量得 SKIPIF 1 < 0 ，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．
【答案】問題背景：EF＝BE＋FD；實際應(yīng)用：兩涼亭之間的距離EF為25米
【分析】（1）根據(jù)△ABE≌△ADG可得BE=DG，根據(jù)△AEF≌△AGF得EF=GF，進而求得結(jié)果；
（2）延長CD至H，使DH=BE，可證得△ADH≌△ABE，進而證得△FAH≌△FAE，進一步求得EF．
【詳解】解：問題背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠ADG=90°，
在△ABE和△ADG中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF，
在△AEF和△AGF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案為：EF=BE+DF；
實際應(yīng)用：如圖2，延長CD至H，使DH=BE，連接AH，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°，
∴∠ADH=∠B，
在△ADH和△ABE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∠EAF= SKIPIF 1 < 0 ∠BAD，
∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
在△AEF和△AHF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FH，
∵FH=DH+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
∵BE=10米，DF=15米，
∴EF=10+15=25（米）．
【點睛】本題主要考查的是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形并兩次證全等是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．
(1)∠EAF＝ °，寫出圖中兩個等腰三角形：（不需要添加字母）；
(2)轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q，連接PQ，如圖2．線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為；
(3)連接正方形對角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對角線BD于點M、點N，如圖3，則 SKIPIF 1 < 0 ；
(4)剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．求證：BM2＋DN2＝MN2．
【答案】(1)45；△AEF，△CEF，
(2)PQ＝BP＋DQ
(3) SKIPIF 1 < 0
(4)見解析
【分析】（1）利用翻折變換的性質(zhì)可得∠EAF＝45°，證明△BAE≌△DAF（ASA），推出BE＝DF，AE＝AF，可得結(jié)論．
（2）結(jié)論：PQ＝BP＋DQ．如圖2中，延長CB到T，使得BT＝DQ．證明△PAT≌△PAQ（SAS），可得結(jié)論．
（3）證明△CAQ∽△BAM，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
（4）如圖4中，將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABR，連接RM．證明△AMR≌△AMN（SAS），∠RBM＝90°，可得結(jié)論．
(1)
解：如圖1中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，
∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，
∴∠EAF SKIPIF 1 < 0 （∠BAC＋∠DAC）＝45°，
∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴BE＝DF，AE＝AF，
∵CB＝CD，
∴CE＝CF，
∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，
故答案為：45，△AEF，△EFC．
(2)
解：結(jié)論：PQ＝BP＋DQ．
理由：如圖2中，延長CB到T，使得BT＝DQ．
∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，
∴△ADQ≌△ABT（SAS），
∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠BAP＋∠BAT＝∠BAP＋∠DAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，
∵AP＝AP，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PQ＝PT，
∵PT＝PB＋BT＝PB＋DQ，
∴PQ＝BP＋DQ．
故答案為：PQ＝BP＋DQ．
(3)
解：如圖3中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC SKIPIF 1 < 0 AB，
∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，
∴∠BAM＝∠CAQ，
∴△CAQ∽△BAM，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
(4)
證明：如圖4中，將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABR，連接RM．
∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN＋∠BAM＝45°，
∵∠DAN＝∠BAR，
∴∠BAM＋∠BAR＝45°，
∴∠MAR＝∠MAN＝45°，
∵AR＝AN，AM＝AM，
∴△AMR≌△AMN（SAS），
∴RM＝MN，
∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，
∴∠RBM＝90°，
∴RM2＝BR2＋BM2，
∵DN＝BR，MN＝RM，
∴BM2＋DN2＝MN2．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
16．（2022秋·八年級課時練習(xí)）綜合與實踐
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．
【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見解析；（3）MN=CN-AM，理由見解析
【分析】（1）把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到點M'、C、N三點共線，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（2）把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得點M'、C、N三點共線，再由∠MBN＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，從而證得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（3）在NC上截取C M'=AM，連接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可證得△ABM≌△CB M'，從而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，進而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，從而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．
【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC ，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴點M'、C、N三點共線，
∵∠MBN=45°，
∴∠ABM+∠CBN=45°，
∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，
即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（2）MN=AM+CN；理由如下：
如圖，把△ABM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴點M'、C、N三點共線，
∵∠MBN＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ABC，
∴∠ABM+∠CBN= SKIPIF 1 < 0 ∠ABC＝∠MBN，
∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（3）MN=CN-AM，理由如下：
如圖，在NC上截取C M'=AM，連接B M'，
∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠C+∠BAD=180°，
∵∠BAM+∠BAD=180°，
∴∠BAM=∠C，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△CB M'，
∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，
∴∠MA M'=∠ABC，
∵∠MBN＝ SKIPIF 1 < 0 ∠ABC，
∴∠MBN＝ SKIPIF 1 < 0 ∠MA M'=∠M'BN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N=CN-C M'，
∴MN=CN-AM．
故答案是：MN=CN-AM．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，圖形的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)題意做適當輔助線，得到全等三角形是解題的關(guān)鍵．
17．（2022秋·全國·八年級期中）如圖，點A（a，0），B（0，b），若點F（a，b）關(guān)于y軸的對稱點的坐標為（﹣2，2）．
（1）求△AOB的面積．
（2）如圖1，點C在線段AB上（不與A、B重合）移動，AB⊥BD，且∠COD＝45°，試探究線段AC、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
（3）如圖2，點E是x軸上一動點，在y軸正半軸上取一點K，連接EK，F(xiàn)K，F(xiàn)E，使∠EFK＝∠OAB，試探究線段BK，KE，EA之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
【答案】（1）2；（2）CD＝BD+AC，證明見解析；（3）KE＝BK+EA或EA＝BK+KE，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的性質(zhì)得到a=2，b=2，得到OA=2，OB=2，于是得到結(jié)果；
（2）先判斷出 SKIPIF 1 < 0 ，進而判斷出 SKIPIF 1 < 0 ，得出OD=OE，BD=AE，進而判斷出△DOC≌△EOC（SAS），即可得出結(jié)論；
（3）分五種情況，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：（1）由題意可得：a＝2，b＝2，
∴OA＝2，OB＝2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（2）CD＝BD+AC，過點O作OE⊥OD交BC的延長線于E，
∵∠BOD+∠DOA＝90°，∠AOE+∠DOA＝90°，
∴∠BOD＝∠AOE，
∵∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠OAE＝∠OBD＝135°，
在△OBD和△OAE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△OBD≌△OAE（ASA），
∴OD＝OE，BD＝AE，
∴BD+AC＝AC+AE＝CE，
在△DOC和△EOC中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△DOC≌△EOC（SAS），
∴CD＝CE＝BD+AC；
（3）∵∠OAB＝45°，∠EFK＝∠OAB，
∴∠EFK＝45°，
①當E在A右側(cè)時，K不在y軸正半軸上，不合題意；
②當E在A上時，K與O重合，不合題意；
③當E在A，O之間時，過點F作FM⊥FE交y軸于點M，連接FB，F(xiàn)A，
∵F（2，2），A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB，AF⊥x軸，BF⊥y軸，
∵∠FBO＝∠FAO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴四邊形AOBF是矩形，
∵OA＝OB，
∴矩形AOBF是正方形，
∴AF＝BF，∠AFB＝90°，
∴∠EFA＝90°﹣∠BFE，
∵FM⊥FE，
∴∠EFM＝90°，
∴∠MFB＝90°﹣∠BFE，
∴∠MFB＝∠EFA，
在△MFB與△EFA中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△MFB≌△EFA（ASA），
∴MB＝EA，MF＝EF，
∵∠KFE＝45°，
∴∠KFM＝90°﹣45°＝45°，
在△KFM和△KFE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△KFM≌△KFE（SAS），
∴KE＝KM＝BK+MB＝BK+EA，
即KE＝BK+EA；
④當E在O上時，BK＝0，KE＝EA＝2，
也滿足KE＝BK+EA；
⑤當E在O左側(cè)時，同理可證，△BFM≌△AFE（ASA），
∴EA＝MB，
同理可證△KFM≌△KFE（SAS），
∴MK＝KE，
∴EA＝BK+KE，
綜上所述：KE＝BK+EA或EA＝BK+KE．
【點睛】此題考查幾何變換的綜合題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答．
18．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖①，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的點，且 SKIPIF 1 < 0 ．請直接寫出線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系：__________；
（2）如圖②，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的點，且 SKIPIF 1 < 0 ，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；
（3）在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直線上的點，且 SKIPIF 1 < 0 ．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）成立，理由見解析；（3）圖形見解析， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）延長EB到G，使BG=DF，連接AG．證明△AGE和△AEF全等，則EF=GE，則EF=BE+DF，證明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= SKIPIF 1 < 0 ∠BAD．從而得出EF=GE；
（2）思路和作輔助線的方法同（1）；
（3）根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．
【詳解】（1）延長 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0
（ SKIPIF 1 < 0 ）（ SKIPIF 1 < 0 ）中的結(jié)論仍成立，
證明：延長 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 ，
證明：在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，
連接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形.
19．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的點，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖①， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ；

（2）如圖②， SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 周長最小時，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
（3）如圖③，若四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，請求出線段 SKIPIF 1 < 0 的長度．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）延長 SKIPIF 1 < 0 到點G,使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，首先證明 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后利用角度之間的關(guān)系得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而可證明 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則結(jié)論可證；
（2）分別作點A關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在同一條直線上時， SKIPIF 1 < 0 即為 SKIPIF 1 < 0 周長的最小值，然后利用 SKIPIF 1 < 0 求解即可；
（3）旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 的位置，首先證明 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用 SKIPIF 1 < 0 求解即可．
【詳解】（1）證明：如解圖①，延長 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如解圖，分別作點A關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ．
由對稱的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 此時 SKIPIF 1 < 0 的周長為 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 當點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在同一條直線上時， SKIPIF 1 < 0 即為 SKIPIF 1 < 0 周長的最小值．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：如解圖，旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 的位置，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E、F．
（1）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請將三條線段分別填入后面橫線中：＋＝．（不需證明）
（2）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．
（3）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．
【答案】（1）AE；CF；EF；（2）成立，見解析；（3）不成立，新的關(guān)系為AE＝EF＋CF．
【分析】（1）根據(jù)題意易得△ABE≌△CBF，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABE=∠CBF=30°，進而根據(jù)30°角的直角三角形及等邊三角形的性質(zhì)可求解；
（2）如圖2，延長FC到H，使CH=AE，連接BH，根據(jù)題意可得△BCH≌△BAE，則有BH=BE，∠CBH=∠ABE，進而可證△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根據(jù)線段的等量關(guān)系可求解；
（3）如圖3，在AE上截取AQ=CF，連接BQ，根據(jù)題意易得△BCF≌△BAQ，推出BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，進而可證△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可．
【詳解】解：（1）如圖1，AE+CF=EF，理由如下：
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠C=90°，
∵AB=BC，AE=CF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF是等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：AE+CF=EF；
（2）如圖2，（1）中結(jié)論成立；理由如下：
延長FC到H，使CH=AE，連接BH，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCH=90°，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，
∴∠HBC+∠CBF=60°，
∴∠HBF=∠MBN=60°，
∴∠HBF=∠EBF，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HC+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF；
（3）如圖3，（1）中的結(jié)論不成立，關(guān)系為AE=EF+CF，理由如下：
在AE上截取AQ=CF，連接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCF=90°，
∵AB=BC，
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，
∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，
∴∠FBE=∠QBE，
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF=QE，
∵AE=QE+AQ=EF+CF，
∴AE=EF+CF．
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2022秋·八年級課時練習(xí)）（1）如圖，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的點，且 SKIPIF 1 < 0 ．直接寫出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的點，且 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，則結(jié)論 SKIPIF 1 < 0 是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，理由見詳解；（2）見詳解；（3）結(jié)論EF＝BE＋FD不成立，應(yīng)當是EF＝BE?FD．理由見詳解．
【分析】（1）在CD的延長線上截取DM＝BE，連接AM，證出△ABE≌△ADM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝DM，再證明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，進而即可得出答案；
（2）在CD的延長線上截取DG＝BE，連接AG，證出△ABE≌△ADG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝DG，再證明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；
（3）按照（2）的思路，我們應(yīng)該通過全等三角形來實現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．根據(jù)（2）的證法，我們可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE?BG＝BE?DF．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．
【詳解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
延長CD，使DM=BE，連接AM，
∵在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠MAF=45°，
又∵AF=AF，AE=AM，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；
（2）在CD的延長線上截取DG＝BE，連接AG，如圖，
∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠ADG＝90°，
∵BE＝DG，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，
∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∴∠EAF＝∠FAG，
又∵AF＝AF，AE＝AG，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；
（3）結(jié)論EF＝BE＋FD不成立，應(yīng)當是EF＝BE?FD．理由如下：
如圖，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG與△ADF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝ SKIPIF 1 < 0 ∠BAD SKIPIF 1 < 0 ．
∴∠GAE＝ SKIPIF 1 < 0 ∠BAD=∠EAF．
∵AE＝AE，AG＝AF．
∴△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF，
∵EG＝BE?BG
∴EF＝BE?FD．
【點睛】本題考查了三角形綜合題，三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)變換的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，解題時注意一些題目雖然圖形發(fā)生變化，但是證明思路和方法是類似的，屬于中考壓軸題．
22．（2021春·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．
（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：____；
（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；
（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）
【答案】（1）AH=AB；（2）成立，理由見解析；（3）6
【分析】（1）先證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）延長 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，能得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）分別沿 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 翻折 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，然后分別延長 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ，得正方形 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：（1）如圖①， SKIPIF 1 < 0 ．理由如下：
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長 SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 （SAS），
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 對應(yīng)邊上的高，
SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如圖③分別沿 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 翻折 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
分別延長 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ，得正方形 SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）可知， SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（不符合題意，舍去），
SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識；正確作出輔助線，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
23．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）（2019秋?九龍坡區(qū)校級月考）如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF SKIPIF 1 < 0 ∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD．
【答案】詳見解析
【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．根據(jù)SAS證明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根據(jù)∠EAF SKIPIF 1 < 0 ∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可證明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．
【詳解】證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
在△ABG和△ADF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF SKIPIF 1 < 0 ∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
在△AEG和△AEF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件作出輔助線求解．
24．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
（2）以E為圓心，以 SKIPIF 1 < 0 長為半徑作弧；以F為圓心，以 SKIPIF 1 < 0 長為半徑作弧，兩弧交于點G，試探索 SKIPIF 1 < 0 的形狀？是銳角三形，直角三角形還是鈍角三角形？請說明理由．
【答案】（1）45°；（2）見詳解
【分析】（1）由CA⊥CB，可得∠ACB＝90°，再根據(jù)∠ECF＝45°，即可得出答案；
（2）如圖，連接DE，先證明△ECF≌△ECD（SAS），可得DE＝EF，再證明△CAD≌△CBF（SAS），可得AD＝BF，∠CAD＝∠B，即可得出∠DAE＝90°，再利用SSS證明△EFG≌△EDA，即可得出答案．
【詳解】解：（1）∵CA⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠ECF＋∠BCF＝90°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE＋∠BCF＝90°?∠ECF＝45°；
（2）△EFG是直角三角形，理由如下：
如圖，連接DE，
由（1）知，∠ACE＋∠BCF＝45°，
∵∠ACD＝∠BCF，
∴∠ACE＋∠ACD＝45°，即∠DCE＝45°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ECF＝∠ECD，
在△ECF和△ECD中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴DE＝EF，
在△CAD和△CBF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△CAD≌△CBF（SAS），
∴AD＝BF，∠CAD＝∠B，
∵FG＝BF，
∴FG＝AD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠DAE＝∠CAB＋∠B＝90°，
在△EFG和△EDA中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△EFG≌△EDA（SSS），
∴∠EGF＝∠EAD＝90°，
∴△EFG是直角三角形．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，熟練運用全等三角形判定和性質(zhì)解決問題．
25．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 是邊長為2的等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 是頂角為120°的等腰三角形，以點 SKIPIF 1 < 0 為頂點作 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上．
（1）如圖①，當 SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0 的周長為______；
（2）如圖②，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）4；（2）見解析
【分析】（1）首先證明△BDM≌△CDN，進而得出△DMN是等邊三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM= SKIPIF 1 < 0 DM= SKIPIF 1 < 0 MN，即可解決問題；
（2）延長 SKIPIF 1 < 0 至點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，首先證明 SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而得出結(jié)果即可．
【詳解】解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是頂角 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的周長 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如圖，延長 SKIPIF 1 < 0 至點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 是頂角 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（2020秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知， SKIPIF 1 < 0 ，分別在邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上取點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 的直線與過點 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 的直線相交于點 SKIPIF 1 < 0 ．點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是射線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上動點，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖 SKIPIF 1 < 0 ，當點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 時，請求出線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的等量關(guān)系式；
（3）如圖 SKIPIF 1 < 0 ，當點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的延長線上，且 SKIPIF 1 < 0 時，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ．請猜想線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ，見解析
【分析】（1）連接 SKIPIF 1 < 0 ,通過 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，進而得到 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)過點 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 的直線與過點 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 的直線相交于點 SKIPIF 1 < 0 ，可推出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，最后通過證明 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，可以得出結(jié)論；
（2）在射線 SKIPIF 1 < 0 上取點 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，通過證明 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 推導(dǎo)證明 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，最后等量代換線段即可求解；
（3）延長 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，通過證明 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ，推導(dǎo)證明 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，等量代換可知 SKIPIF 1 < 0 ，又因為 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，進而得到 SKIPIF 1 < 0 ，同理可證 SKIPIF 1 < 0 ，最后根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：（1）證明：連接 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
同理， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖 SKIPIF 1 < 0 ，在射線 SKIPIF 1 < 0 上取點 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（3） SKIPIF 1 < 0 ．證明如下：
如圖 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可證： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理以及正方形的有關(guān)知識，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形，通過證明全等三角形得到線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
27．（2015·遼寧本溪·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在△ABC中，AB=AC，射線BP從BA所在位置開始繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°

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