圖解：已知線段AB、CD、EF，簡(jiǎn)述利用截長(zhǎng)補(bǔ)短法證明AB=CD+EF的方法
截長(zhǎng)法：在線段AB上，截取AG=CD，判斷線段GB和線段EF長(zhǎng)度是否相等
補(bǔ)短法：延長(zhǎng)線段CD至點(diǎn)H，使DH=EF，判斷線段AB和線段GH長(zhǎng)度是否相等
【過(guò)關(guān)練】
1．（2022秋·湖北黃石·八年級(jí)黃石八中?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，已知AC=16，BC=9，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，AD平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．9C．11D．15
3．如圖，△ABC中，AB=AC，D、E分別在CA、BA的延長(zhǎng)線上，連接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，則CE的長(zhǎng)為__．
4．如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為_______．
5．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D為 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是_________．
6．如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40，BD是∠ABC的角平分線，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E，使得DE=DA，則∠ECA=________．
7．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
8．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長(zhǎng)與AD+BC的大小關(guān)系是（ ）
A．AB＞AD+BCB．AB＜AD+BCC．AB＝AD+BCD．無(wú)法確定
9．已知：如圖所示，四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積．
10．（2021秋·福建福州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若這個(gè)四邊形的面積是4，則BC+CD等于（ ）
A．2B．4C．2 SKIPIF 1 < 0 D．4 SKIPIF 1 < 0
11．（2020秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 有一條公共邊AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，則∠BAD=________．（用含有x的代數(shù)式表示）
12．（2021秋·廣東佛山·八年級(jí)佛山市南海區(qū)石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)，∠ADC=90°，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP=OC，下面的結(jié)論：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正確的有______．
13．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖（1），在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，E，F(xiàn)分別是 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如圖（2），在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別運(yùn)動(dòng)到 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線上時(shí)， SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系是______．
14．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠MDN=60°．試探BM，MN，CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
15．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）通過(guò)類比聯(lián)想、引申拓展典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的．下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
【解決問(wèn)題】
如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上， SKIPIF 1 < 0 ，連接EF，則 SKIPIF 1 < 0 ，試說(shuō)明理由．
證明：延長(zhǎng)CD到G，使 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 理由：（SAS）
進(jìn)而證出： SKIPIF 1 < 0 ___________，理由：（__________）
進(jìn)而得 SKIPIF 1 < 0 ．
【變式探究】
如圖，四邊形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都不是直角，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 滿足等量關(guān)系________________時(shí)，仍有 SKIPIF 1 < 0 ．請(qǐng)證明你的猜想．
【拓展延伸】
如圖，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接EF，請(qǐng)直接寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．
16．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，P為△ABC外一點(diǎn)，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時(shí)，試說(shuō)明MN＝BM+CN．
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時(shí)，MN＝BM+CN還成立嗎？
答： ．（請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．
17．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M、N分別為AB、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，先證明 SKIPIF 1 < 0 ABE≌ SKIPIF 1 < 0 ADG，再證明 SKIPIF 1 < 0 AEF≌ SKIPIF 1 < 0 AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______________；
（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF SKIPIF 1 < 0 ∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；
（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩地分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．
19．如圖， SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
20．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）例：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短就是通過(guò)延長(zhǎng)或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問(wèn)題．
（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC=120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．
解題思路：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，則 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等邊三角形，所以AD=DE，從而解決問(wèn)題．
根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是___________；
（2）如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn)，∠BDC=90°，探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過(guò)點(diǎn)A的直線CD⊥MN于點(diǎn)D，連接BD．
（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問(wèn)題：線段DC，AD，BD之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過(guò)觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E，進(jìn)而得出：DC+AD= BD．
（2）探究證明
將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明
（3）拓展延伸
在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)△ABD面積取得最大值時(shí)，若CD長(zhǎng)為1，請(qǐng)直接寫B(tài)D的長(zhǎng)．
22．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D、E分別在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；并且有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
（2）求證： SKIPIF 1 < 0 ．
23．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，DB＝DC，∠DCB＝30°，點(diǎn)E是BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE＝AB．
（1）求∠ADB的度數(shù)；
（2）線段DE，AD，DC之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
24．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，E是線段BD與直線AP的交點(diǎn)．
（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；
（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．
25．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在 SKIPIF 1 < 0 中，AE，CD為 SKIPIF 1 < 0 的角平分線，AE，CD交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若 SKIPIF 1 < 0 ．
①直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的大??；
②求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若圖2，若 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
26．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分別平分 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
（2）求證： SKIPIF 1 < 0
27．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過(guò)“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問(wèn)題．
方法1：在 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題；
方法2：延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，得到全等三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．
結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．
（2）問(wèn)題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，探究線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）問(wèn)題拓展：如圖3，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系．
28．等邊 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖1，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
圖1 圖2
（2）連接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）如圖2，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 邊的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的大小是___________．
29．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別是射線 SKIPIF 1 < 0 、射線 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿著射線 SKIPIF 1 < 0 移動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿著射線 SKIPIF 1 < 0 移動(dòng)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 同時(shí)出發(fā)并且移動(dòng)速度相同，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度關(guān)系是： SKIPIF 1 < 0 _______ SKIPIF 1 < 0 ．
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段 SKIPIF 1 < 0 上移動(dòng)但不是中點(diǎn)時(shí)，探究 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到線段 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線上，并且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
30．（2022春·山東德州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，李老師提出問(wèn)題：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．求證：AE＝EF．
經(jīng)過(guò)思考，小聰展示了一種正確的解題思路．取AB的中點(diǎn)H，連接HE，則△BHE為等腰直角三角形，這時(shí)只需證△AHE與△ECF全等即可．
在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：
（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（不含點(diǎn)B，C）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程，如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）小華提出：如圖3，如果點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否成立？ （填“是”或“否”）；
（3）小麗提出：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，正方形的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)E為BC邊上（不含點(diǎn)B，C）的某一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F恰好落在直線y＝﹣2x+3上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

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