目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25119" 【直擊中考】 PAGEREF _Tc25119 \h 1
\l "_Tc19229" 【考向一 全等三角形旋轉(zhuǎn)模型】 PAGEREF _Tc19229 \h 1
\l "_Tc10016" 【考向二 全等三角形一線三等角模型】 PAGEREF _Tc10016 \h 26
【直擊中考】
【考向一 全等三角形旋轉(zhuǎn)模型】
例題：（2022·山東菏澤·菏澤一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖①，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D，E分別在邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．則 SKIPIF 1 < 0 ．現(xiàn)將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 SKIPIF 1 < 0 ．如圖②，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖②，請(qǐng)直接寫出 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系．
(2)將 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時(shí)，請(qǐng)判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．
(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的面積最大時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ______．（直接寫出答案即可）
【變式訓(xùn)練】
一、選擇題
1．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，將邊 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度為（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直角 SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，將 SKIPIF 1 < 0 繞頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)，兩邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．下列四個(gè)結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，上述四個(gè)結(jié)論始終正確的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
3．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，DE平分 SKIPIF 1 < 0 交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合）．點(diǎn)P為DE上一動(dòng)點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊交射線DA于H，G兩點(diǎn)，有下列結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ，其中一定正確的是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
二、填空題
4．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)B到x軸的距離為4，若將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為_(kāi)_________．
5．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置， SKIPIF 1 < 0 的直角頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)處，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 自由旋轉(zhuǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
6．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP' ，CP'．當(dāng)點(diǎn)P' 落在邊BC上時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為_(kāi)_______； 當(dāng)線段CP' 的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為_(kāi)_______
三、解答題
7．（2022·山東日照·校考二模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，將線段 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 SKIPIF 1 < 0 ，得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖1，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，①求證： SKIPIF 1 < 0 ；②求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
(2)如圖2，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，請(qǐng)直接寫出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系．
(3)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距離為
8．（2022·河北保定·?？家荒＃┤鐖D1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝10 SKIPIF 1 < 0 cm，D為AB邊上一點(diǎn)，tan∠ACD＝ SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)P由C點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接PD，將PD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DQ，連接PQ．
(1)填空：BC＝ ，BD＝ ；
(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒，DQ最短；
(3)如圖2，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到直線AB下方時(shí)，連接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；
(4)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若∠BPQ＝15°，請(qǐng)直接寫出BP的長(zhǎng)．
9．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直線BG與DE交于點(diǎn)H．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BG與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
(2)將正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線CD右側(cè)時(shí)，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②當(dāng)∠DEC＝45°時(shí)，若AB＝3，CE＝1，請(qǐng)直接寫出線段DH的長(zhǎng)．
10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D在 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)如圖1，若點(diǎn)F在 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線上，連接 SKIPIF 1 < 0 ，探究線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)如圖2，若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)G為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)如圖3，若點(diǎn)D為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)M， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)N，且 SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的值．
11．（2022·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測(cè)）綜合實(shí)踐
問(wèn)題情境
在圖 SKIPIF 1 < 0 所示的直角三角形紙片 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是斜邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)老師讓同學(xué)們將 SKIPIF 1 < 0 繞中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 做圖形的旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，探究旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段之間的關(guān)系．
解決問(wèn)題
（1）“實(shí)踐小組”的同學(xué)們將 SKIPIF 1 < 0 以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為中心按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 重合時(shí)， SKIPIF 1 < 0 與它的對(duì)應(yīng)邊 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．他們發(fā)現(xiàn)： SKIPIF 1 < 0 ．請(qǐng)你幫助他們寫出證明過(guò)程．
數(shù)學(xué)思考
（2）在圖 SKIPIF 1 < 0 的基礎(chǔ)上，“實(shí)踐小組”的同學(xué)們繼續(xù)將 SKIPIF 1 < 0 以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的對(duì)應(yīng)邊 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．他們認(rèn)為 SKIPIF 1 < 0 ．他們的認(rèn)識(shí)是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．
再探發(fā)現(xiàn)
（3）解決完上面兩個(gè)問(wèn)題后，“實(shí)踐小組”的同學(xué)們?cè)趫D SKIPIF 1 < 0 中連接 SKIPIF 1 < 0 ，他們認(rèn)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 也具有一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系______．（不要求證明）
【考向二 全等三角形一線三等角模型】
例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)A在直線 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．
應(yīng)用：
(1)如圖2， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，過(guò)B作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)如圖3，在 SKIPIF 1 < 0 中，D是 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，求點(diǎn)C到 SKIPIF 1 < 0 邊的距離．
(3)如圖4，在 SKIPIF 1 < 0 中，E為邊 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn)，F(xiàn)為邊 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn)．若
SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【變式訓(xùn)練】
一、選擇題
1．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、解答題
2．（2022秋·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分別為D，E．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)．
(2)在其它條件不變的前提下，將 SKIPIF 1 < 0 所在直線變換到 SKIPIF 1 < 0 的外部（如圖2），請(qǐng)你猜想 SKIPIF 1 < 0 三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，并且有 SKIPIF 1 < 0 ，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．（2022秋·云南昭通·八年級(jí)?？计谀┰?SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且 SKIPIF 1 < 0 于D， SKIPIF 1 < 0 于E．
(1)當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ．
(2)當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn) SKIPIF 1 < 0 具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．
4．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)都在直線m上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖①，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系為 ___________， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系為 ___________；
(2)如圖②，判斷并說(shuō)明線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系；
(3)如圖③，若只保持 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)A在線段 SKIPIF 1 < 0 上以 SKIPIF 1 < 0 的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線段 SKIPIF 1 < 0 上以 SKIPIF 1 < 0 的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 SKIPIF 1 < 0 ．是否存在x，使得 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【問(wèn)題解決】
（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如圖①，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系為：______________；
【類比探究】
（2）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)0°

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