2）等線段：BC=DC CE=CG
3）頂角相等：∠DCB=∠GCE=90°
一、基礎(chǔ)模型
【問題一 已知中點(diǎn)證垂直】
已知：四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點(diǎn)共線
若點(diǎn)I為中點(diǎn)，則CH⊥BE，BE=2IC，S?DCG=S?BCE
證明（思路）：
①延長(zhǎng)IC到點(diǎn)P，使PI=IC，連接PG
先證明?DIC≌?GIP(SAS)，所以DC=PG，∠DCI=∠P 則DC‖PG
∵四邊形ABCD、CEFG為正方形
∴DC=BC CE=CG ∠GCE=∠BCD=90° ∴BC=PG
∵∠PGC= =180°-∠DCG (兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ))
∠BCE=360°-90°-90°-∠DCG=180°-∠DCG
∴∠PGC=∠BCE
則?PCG≌?BEC(SAS) ∴∠PCG=∠CEB
∵∠PCG+∠ECH=180°-90°=90°
∴∠CEB +∠ECH=90° ∴∠CHE=90°
∴CH⊥BE
②∵?PCG≌?BEC ∴PC=BE ∴BE=2IC
③S?EBC=S?PCG=S?PIG+S?GCI= S?DIC+S?GCI=S?DCG
【問題二 已知垂直證中點(diǎn)】
已知：四邊形ABCD、CEFG為正方形，連接BE、DG，I、C、H三點(diǎn)共線
若CH⊥BE, 則點(diǎn)I為中點(diǎn)，BE=2IC，S?DCG=S?BCE
證明（思路）：
①分別過點(diǎn)D、G作DM⊥CI與點(diǎn)M，NG⊥CI于點(diǎn)N
∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3
由已知條件可得?CDM≌?BCH(AAS) ∴DM=CH CM=BH
同理?GCN≌?CEH(AAS) ∴NG=CH NC=HE ∴NG=DM
再證明?DMI≌?GNI(AAS) ∴DI=IG MI=NI
則點(diǎn)I為中點(diǎn)
②BE=BH+HE=CM+NC=NM+NC+NC=2NI+2NC=2IC
③∵S?BHC=S?DMC S?GNC=S?CHE S?DMI=S?GNI
∴S?DCG= S?DCI + S?GNI + S?CNG= S?DMC+ S?GNC= S?BHC+ S?CHE= S?BCE
二、變形
變形一：如圖?AOB、?COD為等腰直角三角形，連接AC、BD，MN
過點(diǎn)O且與AC交于點(diǎn)N、BD交于點(diǎn)M
則有如下結(jié)論：
1）若點(diǎn)N為中點(diǎn)，則MN⊥BD，
2）若MN⊥BD，則點(diǎn)N為中點(diǎn)
3）BD=2ON
4）S?BOD=S?AOC
證明（思路）：
1）延長(zhǎng)MN至點(diǎn)H，使NH=NO，連接HC
先證明?ANO≌?CNH(SAS)，所以AO=HC，∠AON=∠H 則AO‖HC
再證明?HOC≌?BDO(SAS) ∴∠COH=∠ODB HO=BD
∴BD=2ON，S?BOD=S?AOC
∵∠COH+∠DOM=90°
∴∠ODB +∠DOM=90° ∴∠OMD=90°
∴MN⊥BD
2）方法一：構(gòu)造一線三垂直模型（與問題二證明方法相同）
方法二：在BD上截取一點(diǎn)P，使BP=ON，連接OP
先證明?ANO≌OBP(SAS) ∴∠ANO=∠BPO AN=OP ON=BP
再證明?NOC≌?PDO(SAS) ∴NC=OP ON=PD
∴BD=2ON，S?BOD=S?AOC
變形二：如圖?AOB、?COD為等腰直角三角形，連接AC、BD，MN
過點(diǎn)O且與AC交于點(diǎn)N、BD交于點(diǎn)M
則有如下結(jié)論：
1）若點(diǎn)N為中點(diǎn)，則MN⊥BD，
2）若MN⊥BD，則點(diǎn)N為中點(diǎn)
3）BD=2ON
4）S?BOD=S?AOC
證明（自行證明）：
1）延長(zhǎng)ON至點(diǎn)H，使ON=NH，連接AH
2）在BD上截取DH=ON，連接OH

【培優(yōu)訓(xùn)練】
1．（2021秋·重慶·八年級(jí)重慶市大學(xué)城第一中學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖，在銳角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上的高，分別以 SKIPIF 1 < 0 為一邊，向外作等腰 SKIPIF 1 < 0 和等腰 SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，下列5個(gè)結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ．其中正確的有（ ）
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
【答案】B
【分析】通過證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明①，②；過點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)N，證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可證明③，⑤；根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余，通過角度的等量代換，即可證明④．
【詳解】解：①∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故①正確；
②∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故②正確；
③過點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)N，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中線，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 為銳角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故③不正確，不符合題意；
④∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上的高，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故④正確；
⑤由③可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
綜上，正確的有①②④⑤，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)題意畫出輔助線，構(gòu)建全等三角形．
2．（2022春·四川自貢·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABDE 和ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC，其中正確結(jié)論是( )
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明△ABG≌△AEC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，AC、BG相交于點(diǎn)K，如圖1，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判斷②；過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，如圖2，根據(jù)余角的性質(zhì)即可判斷④；利用AAS即可證明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可證GQ＝AH，從而得到EP＝GQ，再利用AAS可證明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，從而可判斷③，于是可得答案．
【詳解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，故①正確；
設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，AC、BG相交于點(diǎn)K，如圖1，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠AKG＝∠NKC，
∴∠CNG＝∠CAG＝90°，
∴BG⊥CE，故②正確；
過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，如圖2，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正確；
∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中線，故③正確．
綜上所述，①②③④結(jié)論都正確．
故答案為：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．
3．（2022·浙江溫州·?？家荒＃┤鐖D， 在 SKIPIF 1 < 0 中以 SKIPIF 1 < 0 為邊向外作正方形 SKIPIF 1 < 0 與正方形 SKIPIF 1 < 0 ， 連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， 并 過 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 并交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ． 若 SKIPIF 1 < 0 ， 則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為 ( )．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】過D作DN⊥CF于點(diǎn)N，作DP⊥HM于點(diǎn)P，過點(diǎn)F作FQ⊥HM，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，依據(jù)勾股定理即可求得DF的長(zhǎng)，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得FQ＝DP，進(jìn)而判定△FQM≌△DPM，即可得到M是FD的中點(diǎn)，據(jù)此可得DM＝ SKIPIF 1 < 0 DF．
【詳解】解：如圖，過D作DN⊥CF于點(diǎn)N，作DP⊥HM于點(diǎn)P，過點(diǎn)F作FQ⊥HM，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，
∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°，
∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°，
又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3，
∴CN＝ SKIPIF 1 < 0 CD＝1，F(xiàn)N＝CF?CN＝3?1＝2，DN＝ SKIPIF 1 < 0 ，
Rt△DFN中，DF＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形BCDE是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
又∵CH⊥AB，
∴∠DCP＋∠BCH＝∠CBH＋∠BCH＝90°，
∴∠DCP＝∠CBH，
又∵∠DPC＝∠BHC＝90°，
∴△DCP≌△CBH（AAS），
∴DP＝CH，
同理可得△ACH≌△CFQ，
∴FQ＝CH，
∴FQ＝DP，
又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，
∴△FQM≌△DPM（AAS），
∴FM＝DM，即M是FD的中點(diǎn)，
∴DM＝ SKIPIF 1 < 0 DF＝ SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形，靈活運(yùn)用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)溫州市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分別以 SKIPIF 1 < 0 的三邊為邊向外作三個(gè)正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 ，交邊 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，分別交邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長(zhǎng)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
如圖，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，縷清線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB，AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可得出答案．
【詳解】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“邊角邊”證明△ABG和△AEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG=CE，判定①正確；
設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根據(jù)垂直的定義可得BG⊥CE，判定②正確；
過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，根據(jù)同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角邊”證明△ABH和△EAP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正確，
全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EP=AH，同理可證GQ=AH，從而得到EP=GQ，再利用“角角邊”證明△EPM和△GQM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EM=GM，從而得到AM是△AEG的中線，故③正確．
綜上所述，①②③④結(jié)論都正確．
故選A．
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，在解答時(shí)作輔助線EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．
6．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC．其中正確的是_________．
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明△ABG≌△AEC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，AC、BG相交于點(diǎn)K，如圖1，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判斷②；過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，如圖2，根據(jù)余角的性質(zhì)即可判斷④；利用AAS即可證明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可證GQ＝AH，從而得到EP＝GQ，再利用AAS可證明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，從而可判斷③，于是可得答案．
【詳解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，故①正確；
設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，AC、BG相交于點(diǎn)K，如圖1，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠AKG＝∠NKC，
∴∠CNG＝∠CAG＝90°，
∴BG⊥CE，故②正確；
過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，如圖2，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正確；
∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中線，故③正確．
綜上所述，①②③④結(jié)論都正確．
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．
7．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分別以 SKIPIF 1 < 0 的三邊為邊向外作三個(gè)正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂線 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ，分別交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積是_________．
【答案】80
【分析】連接LC、EC、EB，LJ，由平行線間同底的面積相等可以推導(dǎo)出： SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，證得四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中可得： SKIPIF 1 < 0 ，故得出： SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，可得出
【詳解】連接LC、EC、EB，LJ，
在正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：80．
【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，平行線間同底的兩個(gè)三角形，面積相等；難度系數(shù)較大，作出正確的輔助線并靈活運(yùn)用相關(guān)圖形的性質(zhì)與判定是解決本題的關(guān)鍵．
8．（2023秋·四川南充·八年級(jí)四川省南充高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，以 SKIPIF 1 < 0 的兩邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為邊向形外作正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則稱這兩個(gè)正方形為外展雙葉正方形．有以下5個(gè)結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 面積與 SKIPIF 1 < 0 面積相等．②過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作邊 SKIPIF 1 < 0 的垂線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．③ SKIPIF 1 < 0 為邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 延長(zhǎng)線與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．④連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．⑤連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．其中正確的結(jié)論是_________（填序號(hào)）．
【答案】①②③④⑤
【分析】①作 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，由三角形面積公式即可判斷；
②作出圖2的輔助線，證明 SKIPIF 1 < 0 /，推出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可判斷；
③作出圖3的輔助線，證明 SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可判斷；
④作出圖4的輔助線，證明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可判斷；
⑤作出圖5的輔助線，證明 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可判斷．
【詳解】解：①如圖1，過點(diǎn)C作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)M，過點(diǎn)H作 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 和四邊形 SKIPIF 1 < 0 都是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （同角的補(bǔ)角相等），
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 面積與 SKIPIF 1 < 0 面積相等，故①正確；
②如圖2，過點(diǎn)A作 SKIPIF 1 < 0 的垂線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，設(shè)垂足為K，過點(diǎn)H作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)Q，過點(diǎn)F作 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （同角的余角相等），
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理可證 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故②正確；
③如圖3，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 至L，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵O為邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由②得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故③正確；
④如圖4，連接 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)W，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故④正確；
⑤如圖5，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 至I，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長(zhǎng)交 SKIPIF 1 < 0 于J，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 和四邊形 SKIPIF 1 < 0 都是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵S是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故⑤正確；
綜上所述，正確的有①②③④⑤，
故答案為：①②③④⑤．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
9．（2020·黑龍江鶴崗·統(tǒng)考中考真題）以 SKIPIF 1 < 0 的兩邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為邊，向外作正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．

（1）如圖1，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖2， SKIPIF 1 < 0 ；如圖3， SKIPIF 1 < 0 ，（1）中結(jié)論，是否成立，若成立，選擇一個(gè)圖形進(jìn)行證明；若不成立，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 時(shí)，（1）中結(jié)論成立，證明見解析； SKIPIF 1 < 0 時(shí)，（1）中結(jié)論成立，證明見解析．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠MAC=45°，證得∠EAN=∠NAG，由等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）如圖1，2，證明方法相同，利用“AAS”證明△ABM和△EAP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EP=AM，同理可證GQ=AM，從而得到EP=GQ，再利用“AAS”證明△EPN和△GQN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EN=NG．
【詳解】（1）證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 和四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）如圖1， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，（1）中結(jié)論成立.
理由：過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于 SKIPIF 1 < 0 ，
過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
如圖2， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，（1）中結(jié)論成立.
理由：過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于 SKIPIF 1 < 0 ，
過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2020·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）求證：對(duì)角線互相垂直圓內(nèi)接四邊形，自對(duì)角線的交點(diǎn)向一邊作垂線，其延長(zhǎng)線必平分對(duì)邊．
要求：（1）在給出的圓內(nèi)接四邊形作出PE⊥BC于點(diǎn)E，并延長(zhǎng)EP與AD交于點(diǎn)F，不寫作法，保留作圖痕跡
（2）利用（1）中所作的圖形寫出已知、求證和證明過程．
【答案】（1）見解析；（2）DF=FP=AF，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，過程見解析
【分析】（1）過P作BC的垂線即可得到答案；（2）根據(jù)題意寫好已知，求證，利用圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)證明
【詳解】解：（1）補(bǔ)全的圖形如圖所示；

（2）已知：四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AC⊥BD，PE⊥BC．延長(zhǎng)EP交AD于點(diǎn)F．
求證：點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)
證明：∵AC⊥BD，PE⊥BC
∴∠CPD=∠CEF=∠APD=90°
∵EF是線段
∴∠CPE+∠CPD+∠DPF=180°，即∠CPE+∠DPF=90°
∵在Rt△CEP中，∠CPE+∠ECP=90°
∴∠ECP=∠DPF
∵∠ACB與∠ADB為同弧所對(duì)的圓周角
∴∠ACB=∠ADB，即∠ECP=∠PDF
∴∠DPF=∠PDF
∴△DPF為等腰三角形，DF=FP
∵∠APF=∠APD -∠DPF=90°-∠DPF，∠PAF=90°-∠PDF
∴∠APF=∠PAF
∴△APF為等腰三角形，PF=AF
即DF=FP=AF，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查的是過一點(diǎn)作已知直線的垂線，圓周角定理，等腰三角形的判定，直角三角形兩銳角互余，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
11．（2020·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC外分別以AB，AC為邊作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，AM是△ABC中BC邊上的中線，延長(zhǎng)MA交EG于點(diǎn)H．
求證：
（1）AM SKIPIF 1 < 0 EG；
（2）AH⊥EG；
（3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析
【分析】（1）延長(zhǎng)AM到點(diǎn)N，使MN＝MA，連接BN，先證得△MBN≌△MCA，得到∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，從而得到BN∥AC，NB＝AG，進(jìn)一步得到∠NBA＝∠GAE，根據(jù)SAS證得△NBA≌△GAE，即可證得結(jié)論；
（2）由△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠AEG，進(jìn)一步求得∠HAE+∠AEH＝90°，即可證得∠AHE＝90°，得到AH⊥EG；
（3）連接CE、BG，易證△ACE≌△ABG，得出CE⊥BG，根據(jù)勾股定理得到EG2+BC2＝CG2+BE2，從而得到2（AB2+AC2）．
【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)AM到點(diǎn)N，使MN＝MA，連接BN，
∵AM是△ABC中BC邊上的中線，
∴CM＝BM，
在△MBN和△MCA中
SKIPIF 1 < 0
∴△MBN≌△MCA（SAS），
∴∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，
∴BN∥AC，NB＝AG，
∴∠NBA+∠BAC＝180°，
∵∠GAE+∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠NBA＝∠GAE，
在△NBA和△GAE中
SKIPIF 1 < 0
∴△NBA≌△GAE（SAS），
∴AN＝EG，
∴AM SKIPIF 1 < 0 EG；
（2）證明：由（1）△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠AEG，
∵∠HAE+∠BAN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠HAE+∠AEH＝90°，
∴∠AHE＝90°，
即AH⊥EG；
（3）證明：連接CE、BG，
∵四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形，
∴AC=AG，AB=AE，∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠BAG=∠CAE，
∴△ACE≌△ABG
∴CE⊥BG，
∴EG2+BC2＝CG2+BE2，
∴EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．
12．（2019秋·湖北十堰·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知，△ABC中，BC＝6，AC＝4，M是BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE，正方形ACFG，連接EG，MA的延長(zhǎng)線交EG于點(diǎn)N，
(1)如圖，若∠BAC＝90°，求證：AM＝ SKIPIF 1 < 0 EG，AM⊥EG；
(2)將正方形ACFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；
(3)將正方形ACFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至B，C，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出AN的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析；(2)結(jié)論不變；(3)AN的值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】(1)方法一：如圖1中，直接證明△ABC≌△AEG即可解決問題；
方法二：如圖2中，如圖，延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使AM＝MH，連接BH．證明△EAG≌△ABH即可解決問題．
(2)如圖3中，結(jié)論不變．證明方法類似方法二．
(3)分兩種情形分別求解即可解決問題．
【詳解】(1)證明：方法一：如圖1中，
∵四邊形ABDE，四邊形ACFG均為正方形，
∴∠BAE＝∠CAG＝90°＝∠BAC＝∠EAG，
且AB＝AE，AC＝AG，
在△ABC和△AEG中，
SKIPIF 1 < 0
∴△ABC≌△AEG(SAS)，
∴BC＝EG，∠CBA＝∠AEG，
又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴AM＝BM＝ SKIPIF 1 < 0 BC，
∴AM＝ SKIPIF 1 < 0 EG，
∠M BA＝∠MAB＝∠AEN，
∴∠ANE＝180°﹣(∠NEA+∠EAN)＝180°﹣(∠BAM+∠EAN)＝180°﹣(180°﹣90°)＝90°，
∴AM⊥EG．
方法二：如圖，延長(zhǎng)AM至點(diǎn)H，使AM＝MH，連接BH．
在△ACM和△HBM中，
SKIPIF 1 < 0
△ACM≌△HBM(SAS)，
∴BH＝AC，∠BHM＝∠CAM，
∴AC∥BH，
∴∠HBA＝∠CAB＝90°
∵四邊形ABDE，四邊形ACFG均為正方形，
∴∠BAE＝∠CAG＝90°＝∠BAC＝∠EAG，
且AB＝AE，AC＝AG，
∴BH＝AG，
在△EAG和△ABH中，
SKIPIF 1 < 0
∴△EAG≌△ABH(SAS)，
∴EG＝BC，∠NEA＝∠HAB，
∴∠ANE＝180°﹣(∠NEA+∠EAN)＝180°﹣(∠HAB+∠EAN)＝180°﹣(180°﹣90°)＝90°，
∴AM⊥EG，
∵∠BAC＝90°，AM為BC中點(diǎn)，
∴AM＝ SKIPIF 1 < 0 BC，
∴AM＝ SKIPIF 1 < 0 EG．
(2)如圖3中，結(jié)論不變．
理由：在△ACM和△HBM中，
SKIPIF 1 < 0
△ACM≌△HBM(SAS)，
∴BH＝AC，∠BHM＝∠CAM，
∴AC∥BH，
∴∠HBA+∠CAB＝90°，
∵四邊形ABDE，四邊形ACFG均為正方形，
∴∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAC+∠EAG＝180°，
∴∠ABH＝∠EAG，
且AB＝AE，AC＝AG，
∴BH＝AG，
在△EAG和△ABH中，
SKIPIF 1 < 0
△EAG≌△ABH(SAS)，
∴EG＝BC，∠NEA＝∠HAB，
∴∠ANE＝180°﹣(∠NEA+∠EAN)＝180°﹣(∠HAB+∠EAN)＝180°﹣(180°﹣90°)＝90°，
∴AM⊥EG，
∵∠BAC＝90°，AM為BC中點(diǎn)，
∴AM＝ SKIPIF 1 < 0 BC，
∴AM＝ SKIPIF 1 < 0 EG．
(3)①如圖4﹣1中，當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作CH⊥AM于H．
易證：△ANG≌△CHA，可得AN＝CH，
在Rt△ACM中，∵AC＝4，CM＝3，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ?AM?CH＝ SKIPIF 1 < 0 ?AC?CM，
∴CH＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AN＝CH＝ SKIPIF 1 < 0 ．
②如圖4﹣2中，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，同法可得AN＝CH＝ SKIPIF 1 < 0 .
綜上所述，AN的值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常壓軸題．
13．（2019春·江西新余·九年級(jí)新余四中校考階段練習(xí)）如圖，分別以 SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 為腰向外作等腰 SKIPIF 1 < 0 和等腰 SKIPIF 1 < 0 ，連 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中線．

（1）知識(shí)理解：圖①所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的位置關(guān)系為______，數(shù)量關(guān)系為______；
（2）知識(shí)應(yīng)用：圖②所示，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)，求證： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）拓展提高：圖③所示，四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，分別以邊 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 為腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 和等腰 SKIPIF 1 < 0 ，連 SKIPIF 1 < 0 ，分別取 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連 SKIPIF 1 < 0 ．
①求證： SKIPIF 1 < 0 ；
②直接寫出 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）詳見解析；（3）①詳見解析；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)題意，延長(zhǎng)FA交BC于點(diǎn)H，通過等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)得到全等條件，從而證明 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而即可得解；
（2）根據(jù)題意，延長(zhǎng)CA至F，使 SKIPIF 1 < 0 ，F(xiàn)A交DE于點(diǎn)P，并連接BF，先證明 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)等角的余角相等以及中位線的性質(zhì)即可得解；
（3）①根據(jù)題意，將 SKIPIF 1 < 0 沿AH方向平移至 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 沿DH方向平移至 SKIPIF 1 < 0 ，連接EN，F(xiàn)Q，NG，QG，延長(zhǎng)HG至S，使GS=GH，連接HS，QS，通過證明 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 進(jìn)而即可得解；②通過上述問題得到的結(jié)論結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 進(jìn)行求解即可得解.
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
證明：如下圖所示，延長(zhǎng)FA交BC于點(diǎn)H
∵AB=AC， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵AF是 SKIPIF 1 < 0 的中線， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明：如下圖，延長(zhǎng)CA至F，使 SKIPIF 1 < 0 ，F(xiàn)A交DE于點(diǎn)P，并連接BF
∵ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，M是BC中點(diǎn)
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）①證明：將 SKIPIF 1 < 0 沿AH方向平移至 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 沿DH方向平移至 SKIPIF 1 < 0 ，
連接EN，F(xiàn)Q，NG，QG，延長(zhǎng)HG至S，使GS=GH，連接HS，QS
∵AH=DH， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又∵EG=FG
∴ SKIPIF 1 < 0
∴GN=GQ， SKIPIF 1 < 0
∵E，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線
∴N，G，Q三點(diǎn)共線
∴四邊形NHQS是平行四邊形
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0
證明：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形及四邊形的相關(guān)綜合問題，其中重點(diǎn)需要掌握三角形全等的判定，等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，三角形中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)及判定等相關(guān)知識(shí)，該部分內(nèi)容比較綜合，也是考試重點(diǎn)，要求熟練掌握.
14．（2021秋·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形相似時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．
（1）如圖1，在 SKIPIF 1 < 0 ABC中，∠BAC＝90°， SKIPIF 1 < 0 ＝k，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線I，CE上直線l，垂足分別為D、E．求證： SKIPIF 1 < 0 ＝k．
（2）組員小劉想，如果三個(gè)角都不是直角，那么結(jié)論是否仍然成立呢？如圖2，將（1）中的條件做以下修改：在 SKIPIF 1 < 0 ABC中， SKIPIF 1 < 0 ＝k，D、A、E三點(diǎn)都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問題：如圖3，在 SKIPIF 1 < 0 ABC中，沿 SKIPIF 1 < 0 ABC的邊AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，AH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I．
①求證：I是EG的中點(diǎn)．
②直接寫出線段BC與AI之間的數(shù)量關(guān)系： ．
【答案】（1）見解析（2）結(jié)論還成立，證明見解析（3）①見解析②BC=AI
【分析】（1）由條件可證明△ABD∽△CAE，可得 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ＝k；
（2）由條件可知∠BAD＋∠CAE＝180°?α，且∠DBA＋∠BAD＝180°?α，可得∠DBA＝∠CAE，結(jié)合條件可證明△ABD∽△CAE，同（1）可得出結(jié)論；
（3）①過點(diǎn)G作GM SKIPIF 1 < 0 AE交AI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接EM，證明△ABC∽△GMA，再得到四邊形AGME是平行四邊形，故可求解；
②由①得到BC= SKIPIF 1 < 0 AM，再根據(jù)四邊形AGME是平行四邊形得到BC=AI，故可求解．
【詳解】（1）如圖1，
∵BD⊥直線l，CE⊥直線l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°
∵∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD?
∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，
∴△ADB∽△CEA，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ＝k；
（2）成立，證明如下：
如圖2，
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°?α，
∴∠DBA＝∠CAE，
∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA
∴△ADB∽△CEA，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ＝k；
（3）①過點(diǎn)G作GM SKIPIF 1 < 0 AE交AI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接EM
∵四邊形AGFC是矩形，
∴∠GAC=90°
又AH⊥BC
∴∠AHC=90°
∴∠5+∠CAH=∠4+∠CAH=90°
∴∠5=∠4
∵∠BDE=∠AHB=90°
∴∠2+∠BAH=∠1+∠BAH=90°
∴∠2=∠1
又GM SKIPIF 1 < 0 AE
∴∠3=∠2
∴∠3=∠1
∴△ABC∽△GMA
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴GM=AE
又∵GM SKIPIF 1 < 0 AE
∴四邊形AGME是平行四邊形
∴EI=IG
故I為EG的中點(diǎn)；
②由①知 SKIPIF 1 < 0
∴BC= SKIPIF 1 < 0 AM
∵四邊形AGME是平行四邊形
∴AI=IM
∴AI= SKIPIF 1 < 0 AM
∴BC=AI
∴線段BC與AI之間的數(shù)量關(guān)系為BC=AI
故答案為：BC=AI．
【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判斷與性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到相似三角形，列出比例式求解．
15．（2019·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，在△ABC中，分別以AB、AC為腰向外側(cè)作等腰Rt△ADB與等腰Rt△AEC，∠DAB＝∠EAC＝90°，連接DC、EB相交于點(diǎn)O．
（1）求證：BE⊥DC；
（2）若BE＝BC．
①如圖1，G、F分別是DB、EC中點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
②如圖2，連接OA，若OA＝2，求△DOE的面積．
【答案】（1）詳見解析；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②2．
【分析】（1）證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；
（2）①取DE的中點(diǎn)H，連接GH、FH，根據(jù)三角形中位線定理得到GH∥BE，GH＝ SKIPIF 1 < 0 BE，得到GH＝FH，GH⊥FH，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案；
②作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N，證明△BAE≌△BAC，得到∠BAE＝∠BAC＝135°，證明△ODA∽△OAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OD?OE，根據(jù)三角形的面積公式就是，得到答案．
【詳解】（1）證明：∵∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△BAE和△DAC中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DOB＝90°，即BE⊥DC；
（2）①取DE的中點(diǎn)H，連接GH、FH，
∵點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，
∴GH∥BE，GH＝ SKIPIF 1 < 0 BE，
同理，F(xiàn)H∥CD，F(xiàn)H＝ SKIPIF 1 < 0 CD，
∵BE＝CD．BE⊥DC，
∴GH＝FH，GH⊥FH，
∴△HGF為等腰直角三角形，
∴GF＝ SKIPIF 1 < 0 GH，
∵GH＝ SKIPIF 1 < 0 BE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵BE＝BC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N，
在△BAE和△BAC中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BAE≌△BAC（SSS），
∴∠BAE＝∠BAC＝135°，
∴∠DAE＝135°﹣90°＝45°，即∠OAD+∠OAE＝45°，
∵△BAE≌△DAC，
∴AM＝AN，又AM⊥BE，AN⊥CD，
∴OA平分∠BOC，
∴∠BOA＝∠COA＝45°，
∴∠DOA＝∠EOA＝135°，
∴∠ODA+∠OAD＝45°，
∴∠OAE＝∠ODA，
∴△ODA∽△OAE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即OD?OE＝OA2＝4，
∴△DOE的面積＝ SKIPIF 1 < 0 ×OD?OE＝2．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
16．（2020春·陜西西安·七年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考期末）（1）猜想發(fā)現(xiàn)
如圖1，已知△ABC，分別以AB和AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接DE．設(shè)△ABC的面積是S1，△ADE的面積是S2，猜想S1和S2的數(shù)量關(guān)系為 ．
（2）猜想論證
如圖2，已知△ABC，分別過點(diǎn)A作線段AD和AE，滿足∠DAB+∠EAC＝180°，并且AD＝AC，AE＝AB，連接DE．設(shè)△ABC的面積是S1，△ADE的面積是S2，（1）中S1和S2的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．
（3）拓展探究
如圖3，點(diǎn)D是銳角∠ABC角平分線上的一點(diǎn)，滿足BD＝CD，點(diǎn)E在BC上，且DE⊥DC．請(qǐng)問在射線BA上是否存在點(diǎn)F，使得S△BDE＝S△CDF，如果存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置并證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）S1＝S2；（2）成立，證明見解析；（3）存在，S△BDE＝S△DFC．
【分析】（1）結(jié)論：S1=S2．以AD，AE為邊構(gòu)造平行四邊形ADTE，連接AT．△BAC≌△ADT（SAS），推出S△ABC=S△ADT即可解決問題．
（2）結(jié)論成立，證明方法類似（1）．
（3）存在，過點(diǎn)D作DF⊥BD交AB于F，點(diǎn)F即為所求．利用（2）中結(jié)論解決問題，只要證明DE=DF，∠BDE+∠FDC=180°即可．
【詳解】解：（1）結(jié)論：S1＝S2．
理由：以AD，AE為邊構(gòu)造平行四邊形ADTE，連接AT．
∵四邊形ABFD，四邊形ACGE都是正方形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝180°，
∵四邊形ADTE是平行四邊形，
∴DT＝AE，DT∥AE，
∴∠ADT+∠DAE＝180°，
∴∠BAC＝∠ADT，
∵AC＝DT，AB＝AD，
∴△BAC≌△ADT（SAS），
∴S△ABC＝S△ADT，
∵ET∥AD，
∴S△ADT＝S△ADE，
∴S1＝S2．
故答案為：S1＝S2．
（2）結(jié)論仍然成立．
理由：以AD，AE為邊構(gòu)造平行四邊形ADTE，連接AT．
∵AD＝AC，AE＝AB，∠∠DAB+∠EAC＝180°，
∴∠BAC+∠DAE＝180°，
∵四邊形ADTE是平行四邊形，
∴DT＝AE，DT∥AE，
∴∠ADT+∠DAE＝180°，
∴∠BAC＝∠ADT，
∵AC＝AD，AB＝TD，
∴△BAC≌△TDA（SAS），
∴S△ABC＝S△ADT，
∵ET∥AD，
∴S△ADT＝S△ADE，
∴S1＝S2．
（3）存在，過點(diǎn)D作DF⊥BD交AB于F，點(diǎn)F即為所求．
理由：過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N．
∵DF⊥BD，DE⊥DC，
∴∠BDF＝∠EDC＝90°，
∴∠ABD+∠BFD＝90°，∠DCE+∠DEC＝90°，
∵∠ABD＝∠DBC，DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCE，
∴∠BFD＝∠DEC，
∵∠ABD＝∠DBC，DM⊥BA，DN⊥BC，
∴DM＝DN，
∵∠DMF＝∠DNE＝90°，
∴△DMF≌△DNE（AAS），
∴DE＝DF，
∴DB＝DC，DE＝DF，∠BDE+∠FDC＝180°，
由（2）可知，S△BDE＝S△DFC．
∴點(diǎn)F即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，憑證時(shí)必須的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用構(gòu)建模型思想解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
17．（2019秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，以△ABC的邊AB、AC為腰分別向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，連接DE.若M為BC中點(diǎn)，MA延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)H，
(1) 求證：AH⊥DE.
(2) 若DE=4，AH=3，求△ABM的面積
【答案】（1）見解析；（2）3
【分析】（1）延長(zhǎng)AM至點(diǎn)F，使MF=AM，連接BF，直接證明△AMC≌△FMB，然后通過角度轉(zhuǎn)換得到∠FBA=∠DAE，再證明FBA≌△EAD，即可求得∠AHE=90°；（2）DE=4，AH=3，求出S△ADE，從而得出S△ABC，M為BC的中點(diǎn)，即可求得△ABM的面積.
【詳解】（1）延長(zhǎng)AM至點(diǎn)F，使MF=AM，連接BF，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∠AMC=∠BMF，
在△AMC和△FMB中
SKIPIF 1 < 0
∴△AMC≌△FMB（SAS）
∴∠BFM=∠MAC，∠FBM=∠MCA，BF=CA,
△ABD和△ACE都為等腰直角三角形，
∴∠DAE=180°-∠BAC，
∴∠FBA=∠DAE，
在△FBA和△EAD中
SKIPIF 1 < 0
∴△FBA≌△EAD（SAS），
∴∠BFA=∠AED，
∵∠EAC=90°，
∴∠MAC+∠HAE=90°，
∴∠HAE+∠DEA=90°，
∴∠AHE=90°，
∴AH⊥DE；
（2）∵DE=4，AH=3，
∴S△ADE=3×4÷2=6，
∴S△FBA=6，即S△ABC=6，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴S△ABM=3
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的綜合證明，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)，輔助線知識(shí)，角度及面積計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵
18．（2021春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┱?qǐng)解答下列各題：
(1)如圖1，銳角 SKIPIF 1 < 0 中，分別以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為邊向外作等腰直角 SKIPIF 1 < 0 和等腰直角 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，試猜想 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系為_________．
(2)如圖2，銳角 SKIPIF 1 < 0 中分別以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為邊向外作等腰 SKIPIF 1 < 0 和等腰 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，試猜想 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的大小關(guān)系，并說明理由．
(3)如圖3，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為直角邊，A為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)．
(4)如圖4，已知在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為坐標(biāo)原點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 軸，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是直線 SKIPIF 1 < 0 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為___________．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析
(3) SKIPIF 1 < 0
(4) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明 SKIPIF 1 < 0 ，則根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．
（2）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明 SKIPIF 1 < 0 ，則根據(jù) SKIPIF 1 < 0 即可證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；
（3）構(gòu)造如（1）的圖形，得出 SKIPIF 1 < 0 ，再在 SKIPIF 1 < 0 中求出 SKIPIF 1 < 0 即可．
（4）連接 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ．首先證明 SKIPIF 1 < 0 ，推出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，想辦法求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，求出 SKIPIF 1 < 0 即可解決問題．
【詳解】（1）解：結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 ．
理由是：如圖1中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 ．
理由是：如圖2中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如圖3中，在 SKIPIF 1 < 0 的上方作等腰直角 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為 SKIPIF 1 < 0 ．
（4）如圖4中，連接 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直線 SKIPIF 1 < 0 的解析式為 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判斷出 SKIPIF 1 < 0 ，構(gòu)造全等三角形，利用軸對(duì)稱解決最短問題，是一道中考?jí)狠S題．
19．（2017春·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，分別以AB，BC為邊，向外作正方形ABDE和正方形BCFG，連接DG．若M是DG的中點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)：BM= SKIPIF 1 < 0 AC．
請(qǐng)完善下面證明思路：①先根據(jù) ，證明BM= SKIPIF 1 < 0 DG；②再證明 ，得到DG=AC；所以BM= SKIPIF 1 < 0 AC；
（2）數(shù)學(xué)思考：若將上題的條件改為：“已知Rt△ABC，∠ABC=90°，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACHI，N是EI的中點(diǎn)”，則相應(yīng)的結(jié)論“AN= SKIPIF 1 < 0 BC”成立嗎？
小穎通過添加如圖2所示的輔助線驗(yàn)證了結(jié)論的正確性．請(qǐng)寫出小穎所添加的輔助線的作法，并由此證明該結(jié)論；
（3）拓展延伸：如圖3，已知等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE．連接BE，CD，若P是CD的中點(diǎn)，探索：當(dāng)∠BAC與∠DAE滿足什么條件時(shí)，AP= SKIPIF 1 < 0 BE，并簡(jiǎn)要說明證明思路．
【答案】（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，△BDG≌△BAC；（2）能，理由見解析；（3）當(dāng)∠BAC=∠DAE=90°時(shí)，AP= SKIPIF 1 < 0 BE，
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（2）過I作IK⊥EA交EA的延長(zhǎng)線于K，根據(jù)平角的定義得到∠BAC=∠IAK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=IK，AB=AK，等量代換得到AE=AI，推出AN是△EKI的中位線，于是得到結(jié)論．
（3）延長(zhǎng)BA到F，使AF=AB，連接EF，過A作AG∥BE，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到AG= SKIPIF 1 < 0 BE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠AEF，EF=CD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
試題解析：
（1）①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，②△BDG≌△BAC；
故答案為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，△BDG≌△BAC；
（2）能，
理由：過I作IK⊥EA交EA的延長(zhǎng)線于K，
∵∠EAI+∠BAC=360°﹣90°﹣90°=180°，∠EAI+∠TAK=180°，
∵∠BAC=∠IAK，
在△ABC與△AKI中，，
∴△ABC≌△AKI，
∴BC=IK，AB=AK，
∵AE=AB，
∴AE=AI，
∵N是EI的中點(diǎn)，
∴AN是△EKI的中位線，
∴AN=IK，
∴AN=BC；
（3）當(dāng)∠BAC=∠DAE=90°時(shí)，AP=BE，
延長(zhǎng)BA到F，使AF=AB，連接EF，過A作AG∥BE，
∴EG=EF，
∴AG=BE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD=180°﹣∠BAE，
∵∠FAE=180°﹣BAE，
∴∠CAD=∠FAE，
在△ACD與△AFE中，，
∴△ACD≌△FAE，
∴∠ADC=∠AEF，EF=CD，
∵P是CD的中點(diǎn)，
∴DP=CD，
∴EG=DP，
在△ADP與△AEG中，，
∴△ADP≌△AEG，
∴AP=AG，
∴AP=BE．
20．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．
(1)如圖1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，請(qǐng)將它分成兩個(gè)三角形，使它們成為偏等積三角形；
(2)理解運(yùn)用：如圖2，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC為邊向外作正方形ABDE，正方形ACFG，連接EG．求證：△ABC與△AEG為偏等積三角形；
(3)如圖3，四邊形ABED是一片綠色花園，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面積為2100m2．計(jì)劃修建一條經(jīng)過點(diǎn)C的筆直的小路CF，F(xiàn)在BE邊上，F(xiàn)C的延長(zhǎng)線經(jīng)過AD中點(diǎn)G．若小路每米造價(jià)600元，請(qǐng)計(jì)算修建小路的總造價(jià)．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)42000元.
【分析】（1）如圖1，作 SKIPIF 1 < 0 的中線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積相等（作中線 SKIPIF 1 < 0 也可以）;
（2）如圖2，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于 SKIPIF 1 < 0 ．證明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 可得結(jié)論;
（3）首先，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，證 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；其次，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于 SKIPIF 1 < 0 ，證得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再證 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由余角的性質(zhì)可證 SKIPIF 1 < 0 ，然后由三角形面積得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
（1）
如圖1中，作 SKIPIF 1 < 0 的中線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積相等（作中線 SKIPIF 1 < 0 也可以）;
（2）
證明：如圖，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于 SKIPIF 1 < 0 ;
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 ，四邊形 SKIPIF 1 < 0 都是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 為偏等積三角形;
（3）
首先，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
其次，如圖，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 修建小路 SKIPIF 1 < 0 的總造價(jià)為： SKIPIF 1 < 0 （元 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了新定義“偏等積三角形”的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握“偏等積三角形”的定義，證明 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
21．（2021·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
（1）觀察圖1，猜想線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
（2）把 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論并說明理由；
（3）把 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)直接寫出線段 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 仍成立，理由見解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）證明△BAE≌△CAD，繼而結(jié)合直角三角形中斜邊中線的性質(zhì)即可得答案；
（2）延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，用三角形全等推出 SKIPIF 1 < 0 ，再得到 SKIPIF 1 < 0 ，用平行線的性質(zhì)和判定就可以證明 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）利用三角形三邊關(guān)系求出AM的范圍即可確定線段 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)的取值范圍．
【詳解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；理由如下：
∵AB=AC，∠BAE=∠CAD=90°，AD=AE，
∴△BAE≌△CAD，
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD，
又∵P為CD中點(diǎn)，
∴AP=CP= SKIPIF 1 < 0 CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∠ACD=∠CAP，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠CAP+∠AEB=90°，
∴∠ANE=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）成立． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
理由如下：
延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，∴ SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴AD=AE=3 SKIPIF 1 < 0 ，AC=AB=5 SKIPIF 1 < 0 ，
又由（2）知，CM=AD=3 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的旋轉(zhuǎn)和相似三角形的綜合題，熟悉掌握三角形旋轉(zhuǎn)和相識(shí)三角形的性質(zhì)和靈活的作品輔助線是解題的關(guān)鍵．
22．（2022秋·河南開封·九年級(jí)開封市第十三中學(xué)校考期中）如圖1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
(1)觀察猜想：圖1中，線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系是_________，位置關(guān)系是_________；
(2)探究證明：把 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，判斷 SKIPIF 1 < 0 的形狀，并說明理由；
(3)拓展延伸：把 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直接寫出 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，理由見解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理，以及平行線的性質(zhì)即可得解；
（2）先證明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)即可得證；
（3）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 最長(zhǎng)，即 SKIPIF 1 < 0 最長(zhǎng)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的面積最大，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線上時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的面積最大，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形．
理由如下：由旋轉(zhuǎn)知， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
利用三角形的中位線得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，
同（1）的方法得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同（1）的方法得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形．
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 最大時(shí)， SKIPIF 1 < 0 面積最大；
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 最大時(shí)， SKIPIF 1 < 0 面積最大；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線上時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最大，
SKIPIF 1 < 0 ，
此時(shí)： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 面積的最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理，以及旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用．熟練掌握三角形的中位線定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（2022秋·河南安陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）我們定義：如圖1，在 SKIPIF 1 < 0 看，把 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，我們稱 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“旋補(bǔ)三角形”， SKIPIF 1 < 0 邊B'C'上的中線 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．
特例感知：
(1)在圖2，圖3中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“旋補(bǔ)三角形”， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“旋補(bǔ)中線”．
①如圖2，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形時(shí)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 ___________ SKIPIF 1 < 0 ；
②如圖3，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)為 ___________．
猜想論證：
(2)在圖1中，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為任意三角形時(shí)，猜想 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ，②4；
(2) SKIPIF 1 < 0 ，見解析
【分析】（1）①首先證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 即可解決問題；
②首先證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；
（2）如圖1中，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 至點(diǎn)Q，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可解決問題．
【詳解】（1）解：（1）①如圖2，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形時(shí)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系為 SKIPIF 1 < 0 ；
理由：∵ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
②如圖3，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)為4．
理由：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：4．
（2）猜想 SKIPIF 1 < 0 ．
證明：如圖，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 至點(diǎn)Q，使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又由題意得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
24．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校考期中）新定義：如圖1（圖2，圖3），在 SKIPIF 1 < 0 中，把 SKIPIF 1 < 0 邊繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，把 SKIPIF 1 < 0 邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，我們稱 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“旋補(bǔ)三角形”， SKIPIF 1 < 0 的中線 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．
【特例感知】
(1)①若 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形（如圖2）， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______________．
②若 SKIPIF 1 < 0 （如圖3）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 _____________．
【猜想論證】
(2)在圖1中，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是任意三角形時(shí)，猜想 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（提示：過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形）
【拓展應(yīng)用】
(3)如圖4，點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為5的圓P上，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不平行， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的“旋補(bǔ)三角形”，點(diǎn)P是“旋補(bǔ)中心”，求BC的長(zhǎng)．
【答案】(1)①2；②3；
(2) SKIPIF 1 < 0 ，證明見解析；
(3)8
【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合“旋補(bǔ)三角形”的定義可得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．利用等腰三角形的三線合一可得出 SKIPIF 1 < 0 ，通過解直角三角形可求出AD的長(zhǎng)度；
②由“旋補(bǔ)三角形”的定義可得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合“旋補(bǔ)三角形”的定義可得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可證出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出 SKIPIF 1 < 0 ，由平行四邊形的對(duì)角線互相平分即可證；
（3）作 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為四邊形 SKIPIF 1 < 0 的外接圓圓心，過點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F，由（2）的結(jié)論可求出 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理可求出 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求出 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度．
【詳解】（1）解：①∵ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 為等腰 SKIPIF 1 < 0 的中線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
②∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：①2；②3．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
證明：在圖1中，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）在圖4中，作 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為四邊形 SKIPIF 1 < 0 的外接圓圓心，過點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中位線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）①利用解含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形求出 SKIPIF 1 < 0 ；②牢記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分找出 SKIPIF 1 < 0 ；（3）利用（2）的結(jié)論結(jié)合勾股定理求出BF的長(zhǎng)度．

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