2025屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專項(xiàng)突破1突破3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

在近幾年的高考中,函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點(diǎn),常以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問題,難度較大,多以壓軸題出現(xiàn).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后,通過極值的正負(fù)、函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢,從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者通過零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)對于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題,可利用函數(shù)的值域或最值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,畫出草圖,數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.
(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn),根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系,從而求解.②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化,突出導(dǎo)數(shù)的工具作用,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.
考點(diǎn)一　判斷或證明函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
例1(2024江西南昌模擬)已知函數(shù)f(x)=x(x-3)+(x+2)ex.(1)求函數(shù)f(x)的最小值;(2)若g(x)=f(x)+x(3- x)+ln x+ex(x2-3x-1),求函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
解 (1)(方法一)因?yàn)閒(x)=(x+2)ex+x2-3x,所以f'(x)=(x+3)ex+2x-3.記m(x)=f'(x),則m'(x)=(x+4)ex+2,①當(dāng)x≤-3時(shí),(x+3)ex≤0,2x-3≤-9,可得f'(x)-3時(shí),(x+4)ex>0,m'(x)>0,可知函數(shù)m(x)單調(diào)遞增,又m(0)=0,所以當(dāng)-30,故f'(x)在定義域上單調(diào)遞增.易知f'(0)=0,故當(dāng)x0,f(x)單調(diào)遞增,故f(x)min=f(0)=2.
當(dāng)00,g'(x)>0,所以g(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(x0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
[對點(diǎn)訓(xùn)練1](2024福建寧德模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-4sin x,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)證明:f(x)在[0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn).(1)解因?yàn)閒(x)=ex-4sin x,所以f'(x)=ex-4cs x,則f(0)=1,f'(0)=-3,故所求切線方程為y-1=-3(x-0),即3x+y-1=0.
(2)證明設(shè)g(x)=f'(x)=ex-4cs x,則g'(x)=ex+4sin x.顯然當(dāng)x∈[0,π]時(shí),g'(x)>0,當(dāng)x∈(π,+∞)時(shí),g'(x)>eπ-4>0,所以f'(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
考點(diǎn)二　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
例2(2024江蘇常州模擬)已知函數(shù)f(x)=1+ln x+2ax(a∈R).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
[對點(diǎn)訓(xùn)練2](2024北京懷柔模擬)已知函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1).(1)當(dāng)a=e時(shí),求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn),設(shè)x1是極小值點(diǎn),x2是極大值點(diǎn),若x11,則g'(x)為R上的增函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,u)時(shí),g'(x)0,若函數(shù)g(x)=f(x)-m(x-1)有唯一的零點(diǎn)x0,證明:10,f(x)單調(diào)遞增.∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).
(2)證明 ∵g(x)=f(x)-m(x-1)=ex-1-ln x-mx+m(m>0),∴g'(x)=ex-1- -m(x>0,m>0).由(1)可知g'(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且g'(1)=-m0時(shí),φ'(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xem-(m+1)>0.∴存在唯一的t∈(1,1+m)?(1,+∞),使得g'(t)=0.∴當(dāng)x∈(0,t)時(shí),g'(t)0,∴p(x)=ex-x2單調(diào)遞增,當(dāng)x>0時(shí),p(x)>p(0)=1,∴ex-x2>0,即ex>x2.設(shè)k(x)=ln x-x+1,則k'(x)= 由k'(x)1,此時(shí)k(x)單調(diào)遞減,由k'(x)>0,得0

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