?第20講 數(shù)列中的存在性問(wèn)題
參考答案與試題解析
一．選擇題（共2小題）
1．（2021?永州月考）在數(shù)列中，，則　　
A．25 B．32 C．62 D．72
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】令，，，可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而去掉的絕對(duì)值符號(hào)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：令，，，
則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，




，
故選：．
2．（2021?龍巖期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；：分類法；55：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
【分析】求出，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，可得前項(xiàng)和為，判斷可得為遞增數(shù)列，求得最值，討論為奇數(shù)和偶數(shù)，由恒成立問(wèn)題解法，求得的范圍，即可得到所求范圍．
【解答】解：，
前項(xiàng)和為
，
可得為遞增數(shù)列，且有取得最小值；
且，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，
即為對(duì)任意正整數(shù)恒成立，
由，
可得①
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，
即為對(duì)任意正整數(shù)恒成立，
由，
可得，即②
由①②解得．
故選：．
二．填空題（共1小題）
3．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，，對(duì)于任意的，總存在，使得成立，則　2　，　?。?br /> 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】先利用，，以及，都是大于1的正整數(shù)求出，再利用求出滿足條件的的值即可求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【解答】解：，，
以及
，
，
，都是大于1的正整數(shù)，
．
又因?yàn)椋?br /> 又，，則．
又，由數(shù)的整除性，得是5的約數(shù)．
故，，
．
故答案為：2；．
三．解答題（共19小題）
4．（2021?天津模擬）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，是和的等比中項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用和遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用分組法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，是和的等比中?xiàng)，所以，
即，解得或．
又因?yàn)椋裕?br /> 所以．
因?yàn)椋?br /> 所以，當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，即．
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)?，所以?br /> 所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列．
所以．
（2）因?yàn)椋?br /> 故數(shù)列的前項(xiàng)和為．
5．（2021春?南京月考）已知數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和且，，，且．
（1）求的值，并證明：；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求的值．
【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；轉(zhuǎn)化法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）令，可求得的值，由，可得，兩式相減即可得；
（2）由（1）可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式分別求奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式，最后寫(xiě)出分段函數(shù)形式即可；
（3）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，分別求出前100項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，即可求解．
【解答】解：（1）令，得，又，所以，
由題可得，，①
，②
②①得，，
因?yàn)?，所以?br /> （2）由（1）可知：數(shù)列，，，，為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1，
所以，即為奇數(shù)時(shí)，；
數(shù)列，，，，為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為，所以，
即為偶數(shù)時(shí)，，
綜上所述，．
（3）由（2）可知




．
6．（2021?徐州三模）已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且滿足，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前項(xiàng)和為；
（2）是否存在正整數(shù)，，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】計(jì)算題
【分析】（1）把等差數(shù)列的求和公式代入整理后可求得，代入利用裂項(xiàng)法求得．
（2）根據(jù)（1）中求得分別表示出，，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立等式，化簡(jiǎn)整理即可求得的范圍，進(jìn)而根據(jù)和均為正整數(shù)求得，進(jìn)而
【解答】解：（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，
由，
又因?yàn)?，所以?br /> 由，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
若，，成等比數(shù)列，則，
即．
由，
可得，
所以，
從而：，又，且，
所以，此時(shí)．
故可知：當(dāng)且僅當(dāng)，使數(shù)列中的，，成等比數(shù)列．
7．已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為，為前項(xiàng)和，且滿足，，數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【專題】32：分類討論；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）先利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及性質(zhì)求得，然后求得，再利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）先對(duì)分奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況分別求出使不等式恒成立的的取值范圍，再求其交集即可．
【解答】解：（1），，，
，，
，
；
（2）恒成立，
恒成立，
①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有恒成立，解得：；
②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有恒成立，解得：；
綜合①②知：，
的取值范圍為．
8．（2021?廣陵區(qū)校級(jí)期中）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求不超過(guò)的最大整數(shù)．
【專題】34：方程思想；：作差法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差、公比，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和；
（3）求得，．，運(yùn)用數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)可得所求和，計(jì)算可得所求最大值．
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，
由，得，而，．
由，解得．．
由，可得①，
由，可得②，
聯(lián)立①②，解得，，由此可得．
數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
由，，有，
，，
上述兩式相減，得．
得．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為．
（3）由（1）知：，則．
，
，
，
不超過(guò)的最大整數(shù)為2021．
9．（2021春?宜昌月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列滿足，且，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求及使不等式對(duì)一切都成立的最小正整數(shù)的值；
（3）設(shè)問(wèn)是否存在，使得成立？若存在，求出的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列
【分析】（1）由數(shù)列的前項(xiàng)和結(jié)合求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由，可得為等差數(shù)列，由已知求出公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把數(shù)列，的通項(xiàng)公式代入，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，可得使不等式對(duì)一切都成立的最小正整數(shù)的值；
（3）分為偶數(shù)和奇數(shù)分類分析得答案．
【解答】解：（1）由．
故當(dāng)時(shí)，．
時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，
，
又，即，
為等差數(shù)列，于是．
而，故，，
因此，，即；
（2）

．
．
易知單調(diào)遞增，由，得，而，故，；
（3），
①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)．
此時(shí)，，
，．
②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)．
此時(shí)，．
，
（舍去）．
綜上，存在唯一正整數(shù)，使得成立．
10．（2014?菏澤一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，都有．
（Ⅰ）若的首項(xiàng)為4，公比為2，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅱ）若，試探究：數(shù)列中是否存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)的和？若存在，請(qǐng)求出該項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】15：綜合題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列
【分析】（Ⅰ）再寫(xiě)一式，兩式相減，可得數(shù)列的通項(xiàng)，即可求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅱ）因?yàn)椋?，所以，假設(shè)數(shù)列中第項(xiàng)可以表示為該數(shù)列中其它，，項(xiàng)，，，的和，可得根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，可得，從而可得結(jié)論．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，得，
而當(dāng)時(shí)，，適合上式，從而，（3分）
又因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，即，
所以，（4分）
從而數(shù)列的前項(xiàng)和；（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?，，所以，．?分）
假設(shè)數(shù)列中第項(xiàng)可以表示為該數(shù)列中其它，，項(xiàng)，，，的和，
即，從而，易知，（9分）
又，
所以，此與矛盾，從而這樣的項(xiàng)不存在．（12分）
11．（2021?岳陽(yáng)縣模擬）在數(shù)列中，已知，．
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）是否存在正整數(shù)、、，且，使得、、成等差數(shù)列？若存在，求出、、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】方程思想；反證法；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）由，得，變形為，即可證明結(jié)論．
（2）由（1）可得：，可得：．假設(shè)存在正整數(shù)、、滿足題意，則，可得，整理化簡(jiǎn)，利用數(shù)的奇偶性進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：由，得，從而，
，
又，故數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可得：，可得：．
假設(shè)存在正整數(shù)、、滿足題意，則，
即，
即
兩邊同除以得，
由得，，；
所以為奇數(shù)，而，均為偶數(shù)，
故式不能成立；
即不存在正整數(shù)、、，且，使得、、成等差數(shù)列．
12．（2021?重慶模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且6，，成等差數(shù)列．
（1）求；
（2）是否存在，使得對(duì)任意成立？若存在，求的所有取值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用數(shù)列的前項(xiàng)和公式和恒成立問(wèn)題的應(yīng)用求出的值．
【解答】解：（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且6，，成等差數(shù)列．
故①，
當(dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，②，
①②得：（常數(shù)），
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
所以．
（2）由（1）得：，
所以，
所以對(duì)任意的恒成立．
由于且時(shí)，，
所以，故為偶數(shù)，
當(dāng)時(shí)成立，
當(dāng)時(shí)，，
故．
13．（2021?黃浦區(qū)校級(jí)月考）已知各項(xiàng)均為不為零的數(shù)列滿足，前項(xiàng)的和為，且，，，數(shù)列滿足，．
（1）求，；
（2）求；
（3）設(shè)有窮數(shù)列，，2，，的前項(xiàng)和為，是否存在，使得成立？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）由數(shù)列的遞推式可得，結(jié)合，依次求得，的值；
（2）由，得，兩式作差可得，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和求；
（3）運(yùn)用組合數(shù)公式的性質(zhì)求得，再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，即可判斷存在性．
【解答】解：（1）由，，，
可得，
由，
可得，
由，可得，即，解得；
由，即，解得；
（2）由，
得，
兩式作差可得：．
即，
又，
兩式相減可得，
可得數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)均為公差為2的等差數(shù)列，
且，，，
可得，；
（3）由，

，
由于為正整數(shù)，可得為奇數(shù)，即為奇數(shù)，
故不存在，使得成立．
14．（2021?九龍坡區(qū)期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．?dāng)?shù)列滿足，．
（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（Ⅰ）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)和疊加法的應(yīng)用求出數(shù)列的通過(guò)項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用存在性問(wèn)題的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，
所以，解得，
由于．則
所以，解得，
故，
所以．
數(shù)列滿足，，
所以，，，
所有項(xiàng)的和為，
整理得，（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），
所以．
（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的正整數(shù)和使得，，成等差數(shù)列，
所以，
由于，，，
所以，
整理得，
化簡(jiǎn)得：，
當(dāng)時(shí)，即，（舍去），
當(dāng)，即，，符合題意，
故存在這樣的正整數(shù)和，使得，，成等差數(shù)列．
15．（2021?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，且滿足，．
（1）若，，求的值；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)的和為．
①求證：是等差數(shù)列；
②若對(duì)于任意的，都存在，使得成立．求證：．
【專題】綜合題；方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）由條件分別令，，解方程可得的值；
（2）①由題意可得，分別考慮，，結(jié)合等差數(shù)列的定義和作差法，化簡(jiǎn)整理即可；
②運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合構(gòu)造數(shù)列法，運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性，即可得證．
【解答】解：（1）因?yàn)?，?br /> 所以令，得，
即，平方整理得．
因?yàn)椋裕?br /> 同理令，得，
即，平方整理得．
因?yàn)?，所以，因此?br /> （2）證明：①由題意，得．
當(dāng)時(shí)，，所以是公差為0的等差數(shù)列．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br /> 所以?、?，
從而有?、冢?br /> ①②，得，
化簡(jiǎn)得．
因?yàn)?，且?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，
所以，從而，因此．
因?yàn)?，所以?br /> 綜上，是公差為的等差數(shù)列．
②因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，所以．
因?yàn)閷?duì)于任意的，都存在，使得，
所以有，
整理得．
?。簦瑒t，結(jié)論成立．
ⅱ．若，．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，必為整數(shù)，即．
因?yàn)椋?，，所以?br /> 從而．
要證．
下證，即證，
從而只要證，
因此要證．
記，則．
記，則，
所以（1），
從而，
所以（1）．
16．（2021?思明區(qū)校級(jí)期中）在數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．
（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記，是否存在，，使得，若存在，求出所有滿足題意的，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】34：方程思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（Ⅰ）運(yùn)用數(shù)列的遞推式：時(shí)，；時(shí)，，化簡(jiǎn)可得的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的公比設(shè)為，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求得，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，可得所求和，由不等式的性質(zhì)和解方程可判斷存在，．
【解答】解：（Ⅰ），可得時(shí)，；
時(shí)，，對(duì)也成立，
則數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
等比數(shù)列的公比設(shè)為，由，，
可得，則，，
解得，即；
（Ⅱ），
則，
，
相減可得
，
可得，
假設(shè)存在，，使得，
可得，
則，解得，
故存在，，且，，使得，
17．（2021春?啟東市校級(jí)月考）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列，中的公共項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，請(qǐng)直接寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）記，是否存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】32：分類討論；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；11：計(jì)算題
【分析】（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，由此能求出的通項(xiàng)公式．
（2）．
（3）假設(shè)存在正整數(shù)、，使得，，成等差數(shù)列，則．從而，由此存在正整數(shù)，；，；，使得，，成等差數(shù)列．
【解答】解：（1）設(shè)公差為，則，
由性質(zhì)得，
因?yàn)?，所以，即?br /> 又由得，解得，，
所以的通項(xiàng)公式為．（5分）
（2）（10分）
（3）假設(shè)存在正整數(shù)、，使得，，成等差數(shù)列，
則．
所以，化簡(jiǎn)得：．（13分）
當(dāng)，即時(shí)，，符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，，符合題意
當(dāng)，即時(shí)，（舍去）；
當(dāng)，即時(shí)，，符合題意．
所以存在正整數(shù)，；，；，
使得，，成等差數(shù)列．（16分）
18．（2021?徐州期中）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，，且對(duì)任意恒成立．
（1）若，求的值；
（2）若，
（ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（ⅱ）在數(shù)列中，對(duì)任意，總存在，，（其中，使，，構(gòu)成等比數(shù)列，求出符合條件的一組．
【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列
【分析】（1）令數(shù)列為，則，從而，，由此能求出．
（2）由，得到，由此能證明數(shù)列是等差數(shù)列．
由，各，假設(shè)一奇數(shù)使得：，則，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：（1）數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，，
且對(duì)任意恒成立．
令數(shù)列為，
，
，
，，
．
證明：（2），，
．
數(shù)列是等差數(shù)列．
解：，
，
假設(shè)一奇數(shù)使得：，
則，
，，
綜合，得：
可構(gòu)造一組解為，，，
，．
19．（2021?通州區(qū)期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，若對(duì)于一切的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）數(shù)列中是否存在，使，，成等差數(shù)列？若存在，求出，，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列
【分析】（Ⅰ）利用已知條件通過(guò)，說(shuō)明數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．求出通項(xiàng)公式，然后求解的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）求出，判斷數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)于一切的正整數(shù)恒成立，得到求解即可．
（Ⅲ）假設(shè)存在，使，，成等差數(shù)列，推出．說(shuō)明是與條件矛盾，得到結(jié)論．
【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，數(shù)列滿足，
當(dāng)時(shí)，． （1分）
當(dāng)時(shí)，，，
即． （2分）
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． （3分）
所以，； （4分）
又由已知，得． （5分）
（Ⅱ）依題意得，． （6分）
因?yàn)椋? （7分）
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值． （8分）
因?yàn)閷?duì)于一切的正整數(shù)恒成立，
所以． （9分）
解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或； （10分）
（Ⅲ）假設(shè)存在，使，，成等差數(shù)列，
則，即． （11分）
兩邊同時(shí)除以，得①． （12分）
因?yàn)闉榕紨?shù)，為奇數(shù)，這與①矛盾． （13分）
所以不存在，使，，成等差數(shù)列． （14分）
20．（2021?欽州三模）數(shù)列中，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在，，使得，若存在，求出所有滿足題意的，，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列
【分析】（1）對(duì)等式兩邊同除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得所求通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，可得，再由方程思想，可得，的值．
【解答】解：（1），，，
，
數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1．
，可得；
（2）由題意，易得，
，
則，
兩式相減得

，
所以，
由于，又，
，解得．
故存在，使得．
21．（2021?武侯區(qū)校級(jí)一模）已知是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（Ⅱ）是否存在，，，使得成立？若存在，寫(xiě)出一組符合條件的，，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】34：方程思想；：轉(zhuǎn)化法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列
【分析】（Ⅰ）由已知可得：，得，，解得，因?yàn)?，時(shí)，．相減利用數(shù)列的單調(diào)性、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅱ）滿足條件的正整數(shù)，，不存在，分析如下：假設(shè)存在，，，使得成立，
則．利用通項(xiàng)公式代入得出矛盾即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：，得，，解得，
因?yàn)椋瑫r(shí)，．
故，
整理，得．
因?yàn)槭沁f增數(shù)列，且，故，．
則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
所以．
（Ⅱ）滿足條件的正整數(shù)，，不存在，證明如下：
假設(shè)存在，，，使得成立，
則．
整理，得，①
顯然，左邊為整數(shù)，所以①式不成立．
故滿足條件的正整數(shù)，，不存在．
22．（2021春?陸川縣校級(jí)月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上．?dāng)?shù)列滿足，且，前11項(xiàng)和為154．
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列
【分析】（1）將點(diǎn)代入直線上，求得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．由即，為等差數(shù)列，．，即可求得公差，即可求得的通項(xiàng)公式；
（2）由題意可知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，求得，舍去，同理當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，求得（舍去），故不存在正整數(shù)，使得成立．
【解答】解：（1）由題意，得，即．
故當(dāng)時(shí)，．
注意到時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，
．
又，即，
為等差數(shù)列，于是．
而，故，，
，
即． （6分）
（2），
①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)．
此時(shí)，
，（舍去）
②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)．
此時(shí)，，，
所以，（舍去）．
綜上，不存在正整數(shù)，使得成立． （12分）

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