專題35：圓錐曲線的弦長問題1．已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓右焦點的直線相互垂直，且分別交橢圓于和四點，求的最小值.2．已知橢圓＝1上一點到橢圓兩焦點的距離之和為4．（1）求a的值及橢圓的離心率；（2）順次連結(jié)橢圓的頂點得到菱形A1B1A2B2，求該菱形的內(nèi)切圓方程；（3）直線l與（2）中的圓相切并交橢圓于A，B兩點，求的取值范圍．3．如圖，點在拋物線外，過點作拋物線的兩切線，設(shè)兩切點分別為、，記線段的中點為．（1）證明：線段的中點在拋物線上；（2）設(shè)點為圓上的點，當取最大值時，求點的縱坐標．4．如圖所示，已知點、是橢圓的兩個焦點，橢圓經(jīng)過點、，點是橢圓上異于、的任意一點，直線和與橢圓的交點分別是、和、.設(shè)、的斜率分別為、.（1）求證：為定值；（2）求的最大值.5．已知橢圓的離心率為，過點的直線與有兩個不同的交點，，線段的中點為，為坐標原點，直線與直線分別交直線于點，.（1）求橢圓的標準方程；（2）求線段的最小值.6．已知橢圓的左、右頂點分別為，，點為橢圓上異于，的一點，且直線，的斜率之積為.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過右焦點與橢圓交于，兩點（，與不重合），不與軸垂直，若，求.7．已知拋物線C：的焦點F與橢圓的右焦點重合，點是拋物線的準線上任意一點，直線，分別與拋物線相切于點，.（1）求拋物線的標準方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值；（3）求的最小值.8．設(shè)橢圓E：（a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點，O為坐標原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由.9．已知，橢圓的左、右焦點，點P是C的上頂點，且直線的斜率為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線，．若與C交于A，B兩點，與C交于D，E兩點，求 的最大值．10．已知橢圓：四個頂點中的三個是邊長為的等邊三角形的頂點.（1）求橢圓的方程：（2）設(shè)直線與圓：相切且交橢圓于兩點，，求線段的最大值.11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線交橢圓于、兩點.（1）若的面積為，求直線的方程；（2）若，求.12．已知橢圓的一焦點F與拋物線的焦點重合，且離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）過焦點F的直線l與拋物線交于A、B兩點，與橢圓交于C、D兩點，求的最大值．
參考答案1．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)橢圓的標準方程為，將點代入方程，由，結(jié)合即可求解.（2）當直線的斜率為時，分別求出，，可得；當直線的斜率不存在時，求出；當直線的斜率存在且不為時，直線的方程可設(shè)為，可得直線的方程為，分別將直線與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式求出，，可得，令，構(gòu)造函數(shù)即可求解.【解析】 （1）由題意可設(shè)橢圓的標準方程為由，即再由可得①將點代入橢圓方程，可得②由①②可解得故橢圓的方程為（2）由（2）知，橢圓右焦點為，設(shè)當直線的斜率為時，，直線，可得所以當直線的斜率不存在時，直線的斜率為當直線的斜率存在且不為時，直線的方程可設(shè)為，則直線的方程為整理得恒成立，則而 聯(lián)立直線與橢圓方程可得則令令當時，則所以，綜上，，當時，的最小值為.【點評】 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，解題的關(guān)鍵是利用弦長公式以及韋達定理得出，考查了數(shù)學運算以及分類討論的思想.2．（1）， ；（2） ；（3）．【分析】（1）由焦距寫出a的值，結(jié)合橢圓方程求c，應用離心率公式直接求離心率即可.（2）由題設(shè)知菱形的棱長為，應用等面積法即可求內(nèi)切圓的半徑，進而寫出內(nèi)切圓方程；（3）討論直線斜率不存在、為0、不為0三種情況，分別求的范圍，取并.【解析】（1）∵橢圓上的點到橢圓兩焦點的距離之和為，∴，即，而b＝2，則c＝2，∴.（2）由（1）知：菱形內(nèi)切圓的半徑，所以內(nèi)切圓方程為.（3）①當直線斜率不存在時，直線方程為，代入橢圓方程得，此時；②當直線斜率為0時，直線方程為，代入橢圓方程得，此時；③當直線的斜率存在且不為0時，設(shè)直線方程為，由直線與圓相切得，即，直線代入橢圓方程，可得，設(shè)，則，，∴.【點評】（1）由橢圓方程及焦距求參數(shù)，直接求離心率.（2）根據(jù)橢圓各頂點連線所成棱形，結(jié)合內(nèi)切圓性質(zhì)求半徑，寫出圓的方程.（3）討論直線斜率，結(jié)合橢圓方程求相交弦的弦長.3．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）求出直線、的方程，聯(lián)立這兩條直線的方程，可求得點的坐標，并求出點的坐標，進一步可求得線段的中點的坐標，然后將點的坐標代入拋物線的方程即可證得結(jié)論成立；（2）求出關(guān)于的表達式，換元，利用基本不等式可求得當取最大值時對應的的值，即可得出結(jié)果.【解析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，，所以，直線的方程為，即，同理可知直線的方程為.聯(lián)立，解得，即點，線段的中點為，所以，線段的中點為，因此，，因此，線段的中點在拋物線上；（2）由（1）知，，，，令，則，所以，，所以，當時，即當時，取最大值，此時，解得，因此，當取最大值時，點的縱坐標為.【點評】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．4．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）求得橢圓的方程為，設(shè)點，可得出，利用斜率公式可證得為定值；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立直線與橢圓的方程，列出韋達定理，可求得關(guān)于的表達式，進而可得出關(guān)于的表達式，利用基本不等式可求得的最大值.【解析】（1）證明：點、是橢圓的兩個焦點，故、的坐標是、，而點、是橢圓上的點，將、的坐標代入的方程，得，設(shè)，直線和的斜率分別是、，，又點是橢圓上的點，故，則，所以（定值）；（2）直線的方程可表示為，聯(lián)立方程組，得，恒成立，設(shè)、，則，，，同理可求得，，當且僅當時等號成立，故的最大值等于.【點評】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.5．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的等式再求解即可.（2）設(shè)直線方程為，再聯(lián)立直線與橢圓的方程,求得中點的坐標，利用韋達定理可得，再分析與兩種情況分別利用基本不等式求解最值即可.【解析】 （1）依題意可知解得.所以橢圓的標準方程為；（2）顯然直線斜率存在，設(shè)過點點的直線方程為，（，否則直線與直線無交點.）直線與橢圓的交點為.由得，則，，.所以.令，.直線方程為，令，.所以.①  當時，.當且僅當時,即時等號成立；②  當時，.當且僅當時取等號成立.此時.綜上，線段的取值范圍為.故線段的最小值為.【點評】思路點睛：直線與橢圓的綜合問題的常見處理方法：（1）對橢圓上兩點構(gòu)成的弦及其中點相關(guān)的題型，我們常用“點差法”，其中直線的斜率，中點的坐標M為，點代入橢圓方程作差，就可以得到弦中點與直線斜率的關(guān)系式．（2）對于弦長問題，我們常讓直線與橢圓方程組方程組，再利用韋達定理及弦長公式，建立關(guān)系式．其中弦長公式：（已知直線上的兩點距離）設(shè)直線，上兩點，所以或，斜率不存在時，解決相關(guān)問題.6．（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)出點的坐標，根據(jù)點在橢圓上以及，的斜率之積為，列出方程，即可求得橢圓的標準方程；（2）設(shè)出直線的方程以及，點的坐標，與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用韋達定理得出與的值，再根據(jù)列出方程，即可解出直線的斜率，從而利用弦長公式求得.【解析】 （1）設(shè)，由題意知：，，，，解得：，橢圓的標準方程為；（2）根據(jù)題意，設(shè)，，直線，由，消去并整理得：，則，即，，，， ，又，由，得：，解得：，，，故.【點評】方法點睛：(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．7．（1）；（2）證明見解析；（3）4.【分析】（1）由橢圓的方程可得右焦點的坐標，由題意可得拋物線的焦點坐標，進而可得拋物線的方程；（2）可設(shè)的坐標，設(shè)過點的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得：，利用判別式等于零可得結(jié)論；（3）設(shè)，的坐標，由（2）可得參數(shù)，的關(guān)系，代入過的切線方程與拋物線的方程中，可得，用參數(shù)，表示的坐標，代入弦長公式中求的表達式，由參數(shù)的范圍求出的最小值．【解析】（1）由橢圓方程得，橢圓的右焦點為拋物線的焦點為，，所以拋物線的標準方程：．（2）拋物線的準線方程為．設(shè)，設(shè)過點的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得：．其判別式△，令△，得：．由韋達定理知，，故（定值）．（3）設(shè)，，，，由，得，故，所以，代入拋物線方程得，所以，，，，因為，，所以，當且僅當時取等號．當且僅時取等號．故的最小值為4．【點評】求曲線弦長的方法：（1）利用弦長公式；（2）利用；（3）如果交點坐標可以求出，利用兩點間距離公式求解即可.8．（1）；（2）存在，，.【分析】（1）根據(jù)橢圓E： （a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點，直接代入方程解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在，當切線斜率不存在時，驗證即可；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達定理得到求解.【解析】（1）因為橢圓E： （a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點，所以，解得，所以，所以橢圓E的方程為.（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立得， 則△=，即， ，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因為直線為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，所以，則所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，綜上， 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且.因為，所以，，  ①當時，，因為，所以，所以，所以，當且僅當時取”=”.  ②    當時，.③    當AB的斜率不存在時， 兩個交點為或，所以此時，綜上， |AB |的取值范圍為，即： 【點評】思路點睛：1、解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單．2、設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (k為直線斜率)．注意：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式大于零．9．（1）；（2）7．【分析】（1）由已知條件，結(jié)合基本量的關(guān)系求得a,b的值，即可寫出橢圓的標準方程；（2）在兩直線的斜率有一條不存在時，直接求得弦長并求得兩弦長的和；在斜率都存在時，設(shè)，與橢圓的方程聯(lián)立，判定直線與橢圓相交，并利用根據(jù)系數(shù)的關(guān)系和弦長公式求得|AB|關(guān)于m的表達式,同樣得到|DE|的函數(shù)表達式，得到|AB|+|DE|關(guān)于m的函數(shù)表達式，化簡整理，并作換元令，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的函數(shù)表達式，適當變形，配方，轉(zhuǎn)化為的二次函數(shù)型問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)并結(jié)合不等式的基本性質(zhì)得到所求弦長和的取值范圍，再與兩直線的斜率有一條不存在時求得的弦長和綜合，得到最后的結(jié)論.【解析】 （1）由題意知，，則，又，可得，所以橢圓C的方程為．（2）當，其中一條的斜率不存在，其中一條的斜率為0時，兩條弦長分別為，，則．當，的斜率都存在時，設(shè)，設(shè)，，聯(lián)立，化簡可得，，所以，，所以．同理可得，所以．令，則，根據(jù)，得．綜上可知，的最大值為7．【點評】本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長，最值問題，屬中高檔題，難度較大.其中利用換元思想轉(zhuǎn)化求取值范圍是關(guān)鍵點.10．（1）；（2）.【分析】（1）由題意可得，再根據(jù)邊長為得出的值便可解出橢圓的標準方程；（2）設(shè)，，先根據(jù)直線與圓相切，利用點到線距離公式得到，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式得到關(guān)于與的表達式，將代入得到關(guān)于的表達式，然后設(shè)法求最值.【解析】 （1）由題意，橢圓上下頂點與左右頂點其中的一個構(gòu)成等邊三角形，∴，，∴ ，，橢圓：（2）設(shè)，，因為圓：，因為直線與圓：相切，所以點到直線的距離等于圓的半徑，即，即.聯(lián)立方程得，設(shè)，則，，故.當且僅當即時等號成立.所以弦長的最大值是.【點評】本題考查橢圓方程的求解，考查直線與橢圓相交時弦長的最值問題，難度較大.解答時，利用韋達定理表示弦長的表達式是關(guān)鍵，然后利用基本不等式、函數(shù)等方法求其最值.11．（1）或；（2）.【分析】（1）本題首先可以設(shè)、，然后對直線斜率為0這種情況進行討論，易知這種情況不滿足題意，再然后對直線斜率不為0這種情況進行討論，可設(shè)直線的方程為，通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程并借助韋達定理得出、，最后通過求出的值，即可得出結(jié)果；（2）本題首先可根據(jù)得出，然后結(jié)合題（1）得出、，再然后兩者聯(lián)立，計算出的值，最后通過即可得出結(jié)果.【解析】（1）設(shè)、，因為橢圓方程為，所以，，當直線斜率為0時，直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，，不滿足題意；當直線斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，由韋達定理得、，則，整理得，解得，或（舍去），故，直線的方程為或.（2）設(shè)、，因為，所以，，由（1）可知，，故，，聯(lián)立，得，解得，所以.【點評】本題考查橢圓與直線相交的相關(guān)問題的求解，考查向量的坐標運算，考查韋達定理的靈活應用，考查焦點弦的長度計算，考查計算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是難題.12．（1）；（2）.【分析】（1）首先求出拋物線的焦點坐標，可得的值，結(jié)合離心率以及，即可求出橢圓的標準方程（2）分析直線斜率存在與不存在兩種情況，當斜率不存在時可直接求出、 即可得比值，當斜率存在時，設(shè)出直線的方程和橢圓方程聯(lián)立，運用弦長公式把用斜率表示出來，然后用基本不等式求最值.【解析】（1）因為拋物線的焦點坐標為，所以橢圓的一個焦點坐標為，即 ，又橢圓離心率為，所以，故可求得，所以，所以橢圓的標準方程為 （2）當直線l的斜率不存在時，直線，此時易求得，，所以，當直線l的斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程得： 設(shè)，，則，所以所以 同理，將直線方程與曲線聯(lián)立得： 設(shè)，，則， 所以 所以 所以，即的最大值為．【點評】本題主要考查了求橢圓的標準方程，考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，考查了弦長公式以及基本不等式求最值，屬于較難題.

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