21.1-21.3整式方程、分式方程 一、一元整式方程 1. 一元整式方程：如果方程中只有一個(gè)未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式,這個(gè)方程叫做一元整式方程; 2.一元n次方程：一元整式方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是(是正整數(shù)),這個(gè)方程叫做一元次方程. 3.一元高次方程 概念：一元整式方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是，若次數(shù)是大于2的正整數(shù)，這樣的方程統(tǒng)稱為一元高次方程。 要點(diǎn)： 一元高次方程應(yīng)具備：整式方程;只含一個(gè)未知數(shù);含未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)大于2次. 二、二項(xiàng)方程 1.概念：如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程. 要點(diǎn)： 注 ：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②這里所涉及的二項(xiàng)方程的次數(shù)不超過(guò)6次. 2.一般形式： 3. 二項(xiàng)方程的基本方法:是（開方） 4.解的情況： 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果ab0，那么方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根. 三、雙二次方程 1.概念：只含有偶數(shù)次項(xiàng)的一元四次方程. 要點(diǎn)： 當(dāng)常數(shù)項(xiàng)不是0時(shí)，規(guī)定它的次數(shù)為0. 2.一般形式： 3.解題的一般步驟：換元——解一元二次方程——回代 4.解雙二次方程的常用方法：因式分解法與換元法（目的是降次，使它轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程）通過(guò)換元，把雙二次方程轉(zhuǎn)化為一元方程體現(xiàn)了“降次”的策略。 要點(diǎn)： 解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，對(duì)有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法時(shí)要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解。 四、分式方程 分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程. 要點(diǎn)：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù). （2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程看聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程. 五、求解可化為一元二次方程的分式方程的步驟. 可以用下面的圖表示： 分式方程 去分母 解整式方程 檢驗(yàn) 增根舍去 是原方程的根 寫出分式方程的根 六、分式方程的解法 1、解分式的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根. 2、解分式方程的一般步驟： （1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）； （2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解； （3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解. 要點(diǎn)：1、熟練掌握用“去分母”法求解分式方程的方法. 2、了解用“換元法”解特殊的分式方程（組）. 3、領(lǐng)會(huì)分式方程“整式化”的化歸思想和方法. 七、解分式方程產(chǎn)生增根的原因 方程變形時(shí)，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根. 產(chǎn)生增根的原因：去分母時(shí)，方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母是含有字母的式子，這個(gè)式子有可能為零，對(duì)于整式方程來(lái)說(shuō)，求出的根成立，而對(duì)于原分式方程來(lái)說(shuō)，分式無(wú)意義，所以這個(gè)根是原分式方程的增根. 要點(diǎn)：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時(shí)產(chǎn)生的.根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時(shí)求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要檢驗(yàn)根，這種檢驗(yàn)與整式方程不同，不是檢查解方程過(guò)程中是否有錯(cuò)誤，而是檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過(guò)程中沒(méi)有錯(cuò)誤的前提下進(jìn)行的. 題型1：整式方程 1．下面四個(gè)方程中是整式方程的是（　?。?A． B． C． D． 2．下列方程是一元高次方程的是（　?。?A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0 3．解關(guān)于x的方程： 4．關(guān)于x的方程,當(dāng)a__________時(shí)為一元一次方程；當(dāng)a________時(shí)為一元二次方程. 題型2：二項(xiàng)方程 5．下列方程中，是二項(xiàng)方程的是（?????） A．； B．； C．； D． 6．下列方程中，二項(xiàng)方程是（????） A． B． C． D． 7．下列方程中，屬于二項(xiàng)方程的是（????） A． B． C． D． 8．試寫出一個(gè)二項(xiàng)方程，這個(gè)方程可以是________________. 題型3：分式方程的概念 9．已知方程：①；②③；④．這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（????） A．4 B．3 C．2 D．1 題型4：解分式方程 10．方程的解是（????） A． B． C． D．無(wú)解 11．方程的解是___． 12．解方程：． 13．解方程： 題型5：分式方程的無(wú)解、增根問(wèn)題 14．若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則m的值為（????） A．4 B．5 C．6 D．8 15．解關(guān)于的方程有增根，則的值為___________ 題型6：換元法 16．用換元法解分式方程時(shí)，如果設(shè)，那么原方程可化為（????） A．； B．； C．； D．． 17．已知關(guān)于x的方程3，如果設(shè)y，那么原方程化為關(guān)于y的方程是 _____． 題型7：求參數(shù)范圍 18．如果關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，那么a的取值范圍是___________． 19．關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求：的值． 一、單選題 1．下列方程中，是二項(xiàng)方程的是（????） A．x3+8＝0 B．﹣16＝0 C．x3+x＝1 D．x2＝y(tǒng)2 2．下列方程是二項(xiàng)方程的是（????） A． B． C． D． 3．下列關(guān)于x的方程是分式方程的是（　?。?A． B． C． D． 4．下列分式方程中，解為的是（　?。?A． B． C． D． 5．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　?。?A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 6．用換元法解方程時(shí)，若設(shè)，則原方程可化為關(guān)于y的方程是（　　） A． B． C． D． 7．若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則a的值為（　 ?。?A．1 B．1或 C．-1或 D．以上都不是 8．已知關(guān)于x的方程的解為．則關(guān)于y的方程的解為（　?。?A． B． C． D． 9．若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)解，且a滿足不等式，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（????） A．12 B．16 C．18 D．49 10．若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程的解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)是（????） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空題 11．方程________二項(xiàng)方程（填“是”或不是） 12．已知關(guān)于x的方程是二項(xiàng)方程，則m= ______． 13．二項(xiàng)方程的實(shí)數(shù)根是_______． 14．方程 的解是_______． 15．分式方程的解是，則_______． 16．如果關(guān)于的分式方程無(wú)解，則______． 17．若數(shù)使關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，且使關(guān)于的不等式組的解集為，則符合條件所有整數(shù)的積為______． 18．對(duì)于兩個(gè)非零的實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算．例如：．則______；若，則的值為______． 三、解答題 19．解方程：． 20．解方程：． 21．解方程：． 22．解方程： 23．解方程： 24．關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求k. 25．用換元法解方程：x2﹣x﹣=4． 26．已知方程只有一個(gè)根，求a的值． 27．＝有增根，求所有可能的t之和．

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