專題02 函數(shù)與導數(shù)
（2023·全國甲卷）已知函數(shù)
(1)當時，討論的單調性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
（2023·全國乙卷）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
（2022·全國甲卷）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
（2022·全國乙卷）已知函數(shù)
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
（2023·河南·模擬預測）已知函數(shù)，且.
(1)求在上的最大值；
(2)設函數(shù)，若函數(shù)在上有三個零點，求的取值范圍.
（2023·四川遂寧·校考階段練習）設，.
(1)當時，求的極值；
(2)討論函數(shù)的單調性；
(3)若有恒成立，求的取值范圍.
（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)求的極值；
(2)證明：當時，．（參考數(shù)據(jù)：）
（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知，函數(shù).
(1)若是增函數(shù)，求的取值范圍；
(2)證明：當，且時，存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.
（2023·寧夏固原·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，．
(1)若曲線在處的切線與曲線相交于不同的兩點，，曲線在A，B點處的切線交于點，求的值；
(2)當曲線在處的切線與曲線相切時，若，恒成立，求a的取值范圍．
（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預測）已知為實數(shù)，函數(shù)
(1)當時，求函數(shù)的極值點；
(2)當時，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．
（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預測）已知函數(shù)，的導函數(shù)為．
(1)若在上單調遞減，求實數(shù)的取值范圍；
(2)當時，記函數(shù)的極大值和極小值分別為，，求證：．
（2023·四川雅安·?？寄M預測）已知函數(shù)和在同一處取得相同的最大值．
(1)求實數(shù)a；
(2)設直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，其橫坐標分別為（），證明：．
（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，其中.
(1)若，求的單調區(qū)間；
(2)若恰有2個不同的極值點，求的取值范圍；
(3)若恰有2個不同的零點，求的取值范圍.
（2023·云南·云南師大附中校考模擬預測）已知函數(shù)，且，．
(1)討論的單調性；
(2)若，函數(shù)有三個零點，，，且，試比較與2的大小，并說明理由．
（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？寄M預測）已知函數(shù)（）有兩個零點.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)設函數(shù)的兩個零點分別為，，證明：.
題型訓練
答案&解析
【1】
【答案】(1)答案見解析.(2)
【分析】（1）求導,然后令,討論導數(shù)的符號即可;
（2）構造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.
【詳解】（1）
令,則
則
當
當,即.
當,即.
所以在上單調遞增,在上單調遞減
（2）設
設
所以.
若,
即在上單調遞減,所以.
所以當,符合題意.
若
當,所以.
.
所以,使得,即,使得.
當,即當單調遞增.
所以當,不合題意.
綜上,的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛:本題采取了換元,注意復合函數(shù)的單調性在定義域內是減函數(shù),若,當,對應當.
【2】
【答案】(1)；
(2)存在滿足題意，理由見解析.
(3).
【分析】(1)由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；
(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)的值，進一步結合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的是否正確即可；
(3)原問題等價于導函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構造新函數(shù)，然后對函數(shù)求導，利用切線放縮研究導函數(shù)的性質，分類討論，和三中情況即可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，
則，
據(jù)此可得，
函數(shù)在處的切線方程為，
即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，
定義域關于直線對稱，由題意可得，
由對稱性可知，
取可得，
即，則，解得，
經(jīng)檢驗滿足題意，故.
即存在滿足題意.
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;
令，
則，
令，
在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，
當時，，在區(qū)間上單調遞減，
此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;
當，時，由于，所以在區(qū)間上單調遞增，
所以，在區(qū)間上單調遞增，，
所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；
當時，由可得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數(shù)在定義域內單調遞增，，
據(jù)此可得恒成立，
則，
令，則，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
故，即(取等條件為)，
所以，
，且注意到，
根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.
當時，，單調減，
當時，，單調遞增，
所以.
令，則，
則函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.
綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.
【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數(shù)求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.
(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領：①列式:根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.
【3】
【答案】(1)
(2)證明見的解析
【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)單調性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，轉化要證明條件為，再利用導數(shù)即可得證.
【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導
的定義域為，則
令,得
當單調遞減
當單調遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構造函數(shù)
由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設
要證,即證
因為,即證
又因為,故只需證
即證
即證
下面證明時，
設，
則
設
所以,而
所以,所以
所以在單調遞增
即,所以
令
所以在單調遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調遞增，故只有1個解
又因為有兩個零點，故
兩邊取對數(shù)得：，即
又因為，故，即
下證
因為
不妨設，則只需證
構造，則
故在上單調遞減
故，即得證
【點睛】關鍵點點睛 ：本題是極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構造函數(shù)證明不等式
這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握
【4】
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算出切點,再求導算出斜率即可
（2）求導,對分類討論,對分兩部分研究
【詳解】（1）的定義域為
當時,,所以切點為,所以切線斜率為2
所以曲線在點處的切線方程為
（2）
設
若,當,即
所以在上單調遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若,當,則
所以在上單調遞增所以,即
所以在上單調遞增,
故在上沒有零點,不合題意
若
(1)當,則,所以在上單調遞增
所以存在,使得,即
當單調遞減
當單調遞增
所以
當,
令則
所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
又，，
所以在上有唯一零點
又沒有零點,即在上有唯一零點
(2)當
設
所以在單調遞增
所以存在,使得
當單調遞減
當單調遞增,
又
所以存在,使得,即
當單調遞增,當單調遞減，
當，，
又，
而,所以當
所以在上有唯一零點,上無零點
即在上有唯一零點
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為
【5】
【答案】(1)最小值為，最大值為.
(2)
【解析】（1）解：由函數(shù)，可得，
因為，可得，解得，
所以且，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
當，函數(shù)取得極大值；當，函數(shù)取得極小值，
又由，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.
（2）解：由函數(shù)和，可得，
因為函數(shù)在上有三個零點，即有三個實數(shù)根，
等價于與的圖象有三個不同的交點，
又由，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以當，函數(shù)取得極小值；當，函數(shù)取得極小值，
又由當時，，當時，，
要使得與的圖象有三個不同的交點，可得，
即實數(shù)的取值范圍是.
【6】
【答案】(1)，
(2)答案見解析
(3)
【解析】（1）的定義域為，因為，
∴，
∴時，，單調遞增，
時，，單調遞增，
時，，單調遞減，
∴，；
（2）由題：，
1°當時：，
時，，單調遞減，
時，，單調遞增；
2°當時：∵，
∴時，，單調遞減，
時，，單調遞增；
3°當時：
①若即，
所以時，，單調遞增，
時，，單調遞減；
時，，單調遞增，
②若即，，
則在單調遞增；
③若即，
所以時，，單調遞增，
時，，單調遞減；
時，，單調遞增；
（3）欲使恒成立，只需，
根據(jù)(2)的結論，
1°，當時：
時，，單調遞增；
時，，單調遞減，
∴令，得，此時，；
2°當時：①若即，
所以時，，單調遞增，
時，，單調遞減；
時，，單調遞增；
②若即，
時，，單調遞增；
③若即，
所以時，，單調遞增，
時，，單調遞減；
時，，單調遞增；
不論上述哪種情況，均有時，因此，不可能有恒成立，舍去.
綜上：的取值范圍為.
【7】
【答案】(1)極大值為，無極小值
(2)證明見解析
【解析】（1）的定義域為，，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
故在處取得極大值，
所以的極大值為，無極小值；
（2）設，
則，
令，，
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
又，，，
所以存在，使得，即．
當時，，即，單調遞減，
當時，，即，單調遞增，
所以當時，在處取得極小值，即為最小值，
故，
設，因為，
由二次函數(shù)的性質得函數(shù)在上單調遞減，
故，
所以當時，，即．
【8】
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）的定義域為
令，
令，得；令，得，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
從而，故的取值范圍是.
（2）設曲線的切點為，
則曲線在點處的切線方程為.
聯(lián)立，得，
必有，
記函數(shù)，由題，
故當時，.
記，
令，得；令，得，
故在上單調遞減，在上單調遞增.
當，且時，，
當時，，故存在，使得，
當，或時，；當時，，
故在上單調遞增，在上單調遞減.
由，得，代入并整理得：
同理，
記，由（1）知為增函數(shù)，
，
，
又，當時，，
有三個零點，
存在三條直線是曲線的切線，也是曲線的切線.
【9】
【答案】(1)
(2)．
【解析】（1）因為，所以，
所以曲線在處的切線方程為．
由已知得，，不妨設，
又曲線在點A處的切線方程為，
在點B處的切線方程為，
兩式相減得，
將，，
代入得，
化簡得，
顯然，所以，所以，又，所以．
（2）當直線與曲線相切時，設切點為，
則切線方程為，將點代入，解得，此時，，
根據(jù)題意得，，，
即恒成立．
令，則，，令，則，
易知在上單調遞增，所以，
所以在上單調遞增，所以．
若，則，即在上單調遞增，
則，所以在上恒成立，符合題意；
若，則．
又，
所以存在，使得，
當時，，單調遞減，即，
所以此時存在，使得，不符合題意．
綜上可得，a的取值范圍為．
【10】
【答案】(1)有且僅有一個極小值點
(2)零點個數(shù)為2，理由見解析
【解析】（1）當a=0時，，故，
令，故，
與在區(qū)間上的情況如下：
0
+
極小值
所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間單調遞增，
所以函數(shù)有且僅有一個極小值點．
（2）函數(shù)的零點個數(shù)為2，理由如下：
（1）當時，．
由于，
所以，
故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，
，
所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點；
（2）當時，，
故，
令，得，
，故，
因此恒有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；
又，
所以函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點．
綜上，函數(shù)的零點個數(shù)為2．
【11】
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）依題意，，根據(jù)題意知，在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，則，
令，，則，
則時，，時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增．
而，，，故，，
當時，，，即在上單調遞增，
當時，，，即在上單調遞減，
故，則，
故實數(shù)的取值范圍為．
（2）令，則，設，分別為函數(shù)在上的極大值點與極小值點，
所以，，則，且．
所以，由，得，其中，，
故
．
設，，
則，令，解得，
故當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
故，即，故．
【12】
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【解析】（1）由題意可得：，顯然，
當時，令，解得；令，解得；
則在上單調遞增，在上單調遞減，
可得在處取到最大值；
當時，令，解得；令，解得；
則在上單調遞增，在上單調遞減，
可得在處取到最小值，不合題意；
綜上所述：，在處取到最大值.
因為的定義域為，且，
令，解得；令，解得；
則在上單調遞增，在上單調遞減，
可得在處取到最大值；
由題意可得：，解得.
（2）由（1）可得：在上單調遞減，在上單調遞增，在處取到最大值，
且當x趨近于時，趨近于，當x趨近于時，趨近于，
可得直線與曲線至多有兩個交點；
在上單調遞增，在上單調遞減，在處取到最大值，
且當x趨近于時，趨近于，當x趨近于時，趨近于，
可得直線與曲線至多有兩個交點；
若直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，則，

此時直線與曲線、均有兩個交點，
構建，
構建，且，則，
可得在上單調遞減，在上單調遞增，在處取到最大值，
構建，則，
因為，令，解得；令，解得；
則在上單調遞增，在上單調遞減，
可得，
即，當且僅當時，等號成立，
可得：當時，，則，
所以；
當時，，且在上單調遞增，
則，可得，
所以；
當時，，且在上單調遞減，
則，可得，
所以；
綜上所述：當時，；
當時，；
當時，.
結合題意可得：直線與曲線的兩個交點橫坐標為，與的兩個交點橫坐標為，且，
當，可得，即，
可得，即，
因為在上單調遞增，且，
則，可得
所以；
當，可得，即，
可得，即，
因為在上單調遞增，且，
則，可得，
所以；
綜上所述：，即.
【13】
【答案】(1)單調減區(qū)間為，無增區(qū)間.
(2)
(3)
【解析】（1）解：若，則，可得，
設，則，
當時，遞增；當時，遞減，
所以，即，所以在遞減，
即的單調減區(qū)間為，無增區(qū)間.
（2）解：由函數(shù)，可得，
由題意可得有兩個不等的正根，
設，
若，則在遞增，不符合題意；
若，可得，令，可得，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
可得，
因為有兩個不等的正根，所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
（3）解：由，可得，即，
設，則，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
所以，
又時，時，，
因為恰有2個不同的零點，所以，可得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【14】
【答案】(1)答案見解析
(2)，理由見解析
【解析】（1）由，得，又，所以，
則，所以，．
當時，令，得或；令，得；
所以在和上單調遞增，在上單調遞減；
當時，令，得；令，得或；
所以在與上單調遞減，在上單調遞增．
（2），理由如下：
因為，
由，得，解得或．
因為，所以，，是的正根，則，
又，所以，，
兩式相減得．
令，，則，得，則．
令，則，
所以，，可得，
．
設，則，
再設，則，
所以在上為增函數(shù)，則，
即，則在上為增函數(shù)，
從而，
所以，即，
所以，即．
【15】
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）當時，恒成立，所以在上沒有零點.
所以若，則.
設（），則.
當時，，所以函數(shù)在上單調遞減；
當時，，所以函數(shù)在上單調遞增.
所以，時，在處取得唯一極小值，也是最小值.
設，則在上單調遞減，在上單調遞增.
當時，，
所以最多有一個零點，即最多有一個零點，不滿足題意；
當時，
因為，所以，，
所以.
又，，
根據(jù)函數(shù)的單調性以及零點存在定理可知，
，有；，有.
且當時，恒成立；
當時，恒成立.
所以，有兩個零點，即存在兩個零點.
綜上，.
（2）由（1）知，，且，
得，即.
設，
得，即，則.
設，則，
設，.
當時，有，所以在上單調遞減；
當時，有，所以在上單調遞增.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，
所以，即在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調遞增.
又，所以時，有，
即，
即，即，
即.

相關試卷

2024高考數(shù)學二輪復習壓軸題型分類專練（新高考用）-專題02函數(shù)與導數(shù)（含解析）：

這是一份2024高考數(shù)學二輪復習壓軸題型分類專練（新高考用）-專題02函數(shù)與導數(shù)（含解析），共30頁。

新高考數(shù)學二輪復習導數(shù)培優(yōu)專題02 利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間與單調性（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學二輪復習導數(shù)培優(yōu)專題02 利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間與單調性（含解析），共19頁。

高考數(shù)學二輪復習核心專題講練：函數(shù)與導數(shù)第4講 函數(shù)與導數(shù)解答題 (含解析）：

這是一份高考數(shù)學二輪復習核心專題講練：函數(shù)與導數(shù)第4講 函數(shù)與導數(shù)解答題 (含解析），共58頁。試卷主要包含了最值定位法解決雙參不等式問題，值域法解決雙參等式問題，兩個超越不等式，指數(shù)不等式法，對數(shù)均值不等式法等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

高考數(shù)學二輪復習核心專題講練：函數(shù)與導數(shù)第1講 函數(shù)的圖象與性質 (含解析）

高考數(shù)學二輪復習核心專題講練：函數(shù)與導數(shù)第1講 函數(shù)的圖象與性質 (含解析）
新高考數(shù)學二輪復習易錯題專練易錯點02 函數(shù)的性質（含解析）

新高考數(shù)學二輪復習易錯題專練易錯點02 函數(shù)的性質（含解析）
2021屆高考數(shù)學二輪復習專題小題專練02函數(shù)、導數(shù)與不等式(B)

2021屆高考數(shù)學二輪復習專題小題專練02函數(shù)、導數(shù)與不等式(B)
2021屆高考數(shù)學二輪復習專題小題專練01函數(shù)、導數(shù)與不等式(A)

2021屆高考數(shù)學二輪復習專題小題專練01函數(shù)、導數(shù)與不等式(A)
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部