(2023·全國甲卷·理科) 設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（2023·全國乙卷）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
(2022·全國甲卷·理科) 記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
（2023?全國四模）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)，且滿足．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列．
（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n．
（2023?陜西寶雞·區(qū)模擬）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，2a2+a5＝21，S9＝99．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在①成等比數(shù)列，且；②，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并解答．
問題：已知各項(xiàng)均是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且__________．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
（2023?內(nèi)蒙古赤峰·模擬）①函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，數(shù)列{an}滿足，令．
②數(shù)列{an}中，已知，對(duì)任意的p，q∈N*都有ap+q＝ap+aq，令．
在①、②中選取一個(gè)作為條件，求解如下問題（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明．
（2）設(shè)Tn＝b1+b2+…+bn，，試比較Tn與Mn的大?。?br>（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且是和的等比中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得成立的最大正整數(shù)的值．
（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)定義，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．
（2023·陜西西安·?？既＃┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列．給定，記集合的元素個(gè)數(shù)為．
(1)求、、的值；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，判斷數(shù)列的單調(diào)性，并證明.
（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為和，且對(duì)任意，恒成立.
(1)若，，求；
(2)若對(duì)任意，都有及恒成立，求正整數(shù)的最小值.
（2023·青海西寧·校考二模）在某個(gè)周末，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約打臺(tái)球．四人約定游戲規(guī)則：①每輪游戲均將四人分成兩組，進(jìn)行組內(nèi)一對(duì)一對(duì)打；②第一輪甲乙對(duì)打、丙丁對(duì)打；③每輪游戲結(jié)束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在下一輪游戲中對(duì)打，同樣的，兩名失敗者組成敗者組在下一輪游戲中對(duì)打；④每輪比賽均無平局出現(xiàn)．已知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概率均為，甲勝丙、乙勝丁的概率均為，甲勝丁的概率為．
(1)設(shè)在前三輪比賽中，甲乙對(duì)打的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；
(2)求在第10輪比賽中，甲丙對(duì)打的概率．
（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，從①；②，；③中任選一個(gè)條件作為已知，并解答下列問題.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.
（2023·山西忻州·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.設(shè)表示不超過的最大正整數(shù)，求使的最大正整數(shù)的值.
（2023?四川綿陽·校考一模）設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a3是8a1與a5的等差中項(xiàng)；數(shù)列{bn}滿足（t∈R，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）試確定t的值，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（3）當(dāng){bn}為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入bk個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列{cn}．設(shè)Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，試求T100．
題型訓(xùn)練
答案&解析
【1】
【答案】(1)
(2)
解析：(1)因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，
化簡得：，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．
(2)因?yàn)?，所以?br>，
兩式相減得，
，
，即，．
【2】
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）先求，討論的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合運(yùn)算求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可得，即，解得，
所以，
（2）因?yàn)椋?br>令，解得，且，
當(dāng)時(shí)，則，可得；
當(dāng)時(shí)，則，可得
；
綜上所述：.
【3】
【答案】(1)證明見解析； (2)．
【解析】(1)解：因?yàn)?，即①?br>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
(2)解：由(1)可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時(shí)．
【4】
【解答】（1）證明：由，得，
則，又，，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可得，，
∴，
則＝
＝2×+n＝1﹣．
由，得＜100，
即＜99，
∵y＝為單調(diào)增函數(shù)，∴滿足＜99的最大正整數(shù)n為99．
即滿足條件的最大整數(shù)n＝99．
【5】
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則，
解得：，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．
（2）證明：由（1）得：，
∴
＝，
∵，
∴．
【6】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若選擇條件①：
根據(jù)題意，由，得
當(dāng)時(shí)，．
兩式相減得，，
化簡得或（舍），
所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，
則．
又由，得，解得，
所以．
當(dāng)時(shí)，，解得，滿足上式，
故
若選擇條件②：
由題設(shè)知，
則當(dāng)時(shí)，．
，
由，得，
解得，
故當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，
故．
（2），
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
故
【7】
【解答】解：若選擇條件①，
（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，證明如下：
由已知得，
，
，
以上兩式相加，可得
，
又對(duì)任意x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，
則，
∴，
則，即數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）知，，則，
∴，
即Tn≤Mn；
若選擇條件②，
（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，證明如下：
由已知，對(duì)任意的p，q∈N*都有ap+q＝ap+aq，令p＝n，q＝1，
則，
故數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
即Tn≤Mn．
【8】
【答案】(1)；
(2)7.
【解析】（1）因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，
所以，
又因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，
所以，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）因?yàn)椋?br>所以數(shù)列的前項(xiàng)和為
，
又因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以單調(diào)遞增，又，
所以，
所以使得成立的最大正整數(shù)的值為7.
【9】
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，所以，即，
所以，即是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
，則．
（2）因?yàn)?，即?shù)列為遞增數(shù)列，
，即數(shù)列單調(diào)遞減．
，
，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以
所以
．
【10】
【答案】(1)，，
(2)單調(diào)遞增數(shù)列，證明見解析
【解析】（1）解：設(shè)數(shù)列的公差為，由、、成等比數(shù)列，得，
，整理可得，解得，
所以，
時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為，
時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為，
時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為.
（2）解：由（1）知，
，
對(duì)于恒成立，
為遞增數(shù)列，即，即，
，，故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.
【11】
【答案】(1)；
(2)3
【解析】（1）由題設(shè)，且，而，
顯然也滿足上式，故，
由，又，
所以是首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列.
綜上，.
（2）由，，則，
所以，而，故，即是公比為3的等比數(shù)列.
所以，則，
，而，
所以，
所以對(duì)都成立，
所以，故，則正整數(shù)的最小值為3.
【12】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由題可知，甲乙在第一輪對(duì)打，且在第二輪不對(duì)打，所以的可取值為1，2，
，
則，
所以X的數(shù)學(xué)期望.
（2）設(shè)在第輪中，甲乙對(duì)打的概率為，甲丙對(duì)打的概率為，甲丁對(duì)打的概率為，
易知，，，
且，
又，所以，
整理得，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
即，所以，則，
故在第10輪比賽中，甲丙對(duì)打的概率為．
【13】
【答案】(1)條件選擇見解析，
(2)證明見解析.
【解析】（1）選擇①：因?yàn)?，則，
兩式相減得，即，
而，，則，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以.
選擇②：因?yàn)椋瑒t，
于是當(dāng)時(shí)，，即，由，得，
即有，因此，，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以.
選擇③：因?yàn)椋郑?br>則，即，
顯然，于是，即是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
從而，即，因此，而滿足上式，
所以.
（2）由（1）知，，，
因此，
則，
顯然數(shù)列單調(diào)遞減，于是，則，
所以.
【14】
【答案】(1)
(2)64
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由題意可得，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）由（1）可得，則，
所以，
因?yàn)?，則，
所以，則，
即數(shù)列是以首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，
則，即，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以使的最大正整數(shù)的值為64.
【15】
【解答】解：（1）由題設(shè)6a3＝8a1+a5，即6q2＝8+q4，
解得q2＝4或q2＝2，又q為正整數(shù)，故q＝2，又a1＝2，所以an＝2n；
（2）由2n2﹣（t+bn）n+bn＝0，得bn＝，
所以b1＝2t﹣4，b2＝16﹣4t，b3＝12﹣2t，則由b1+b3＝2b2，得t＝3，
此時(shí)，bn＝2n，由bn+1﹣bn＝2知：此時(shí)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．
（3）由（2）及題設(shè)知{cn}為：2，2，2，4，2，2，2，2，8，2，2，2，2，2，2，16，……
因?yàn)閎1+b2+…+b9＝2+4+…+18＝＝90，
由{cn}的排列規(guī)律可知：T100＝90×2+＝211+178＝2226．
即數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)和為2226．

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