1．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
B．對(duì)，，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
C．，恒成立
D．，恒成立
【答案】D
【分析】由，得，令，令，求出函數(shù)的最值，即可得的范圍，進(jìn)而可判斷A；根據(jù)，分析即可判斷B；利用極限思想即可判斷C；取，，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可得，再利用防鎖思想即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，，
則，
令，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以，所以，所以，
則，
所以函數(shù)在上有零點(diǎn)，
所以在上有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)在上有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
又，所以，
所以存在，使得函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
即存在，使得函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以不存在，恒成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，取，，
令，則，
所以函數(shù)在上遞增，
所以，
即，所以，
所以，
即，
故可取，恒成立，故D正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決．
2．已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的所有可能取值中最大的兩個(gè)值分別為和，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮的情況，假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，從而對(duì)進(jìn)行放縮即可求得所求范圍.
【詳解】對(duì)于任意，，，的范圍恒定，
只需考慮的情況，
設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，
設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，，，
，，，
只需考慮，，其中的情況，
則，
，其中，
；
又，，
，；
令，則，
在上單調(diào)遞增，又，
，又，，
；
令，則，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
，
即，在上單調(diào)遞減，，
，；
綜上所述：.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠采用特殊值的方式，考慮不含變量的函數(shù)的情況，采用構(gòu)造函數(shù)的方式對(duì)所求式子進(jìn)行放縮，從而求得的范圍.
3．已知函數(shù)，將的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對(duì)于，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．
【答案】D
【分析】的極值點(diǎn)為的變號(hào)零點(diǎn)，即為函數(shù)與函數(shù)圖像在交點(diǎn)的橫坐標(biāo).將兩函數(shù)圖像畫在同一坐標(biāo)系下.A選項(xiàng)，利用零點(diǎn)存在性定理及圖像可判斷選項(xiàng)；BC選項(xiàng)，由圖像可判斷選項(xiàng)；D選項(xiàng)，注意到，由圖像可得單調(diào)性，后可判斷選項(xiàng).
【詳解】解：的極值點(diǎn)為在上的變號(hào)零點(diǎn).
即為函數(shù)與函數(shù)圖像在交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
又注意到時(shí)，，時(shí)，，
，時(shí)，.
據(jù)此可將兩函數(shù)圖像畫在同一坐標(biāo)系中，如下圖所示.
A選項(xiàng)，注意到時(shí)，，，.
結(jié)合圖像可知當(dāng)，.
當(dāng)，.故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由圖像可知，則，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，表示兩點(diǎn)與間距離，由圖像可知，
隨著n的增大，兩點(diǎn)間距離越來(lái)越近，即為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知，，
又結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)，
得在上單調(diào)遞增，
則，故D正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及函數(shù)的極值點(diǎn)，因函數(shù)本身通過求導(dǎo)難以求得單調(diào)性，故將兩相關(guān)函數(shù)畫在同一坐標(biāo)系下，利用圖像解決問題.
4．信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，，定義的信息熵，若，隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和作差法，隨機(jī)變量的創(chuàng)新應(yīng)用即可判斷.
【詳解】依題意知，，，，…，，
∴，
又，
∴，又，，…，，
∴，∴.
故選：D.
5．設(shè)定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和．若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（ ）
A．B．
C．，D．
【答案】A
【分析】由得，結(jié)合已知得，進(jìn)而有，由可判斷C項(xiàng)中的對(duì)稱性；由為奇函數(shù)可得的周期、對(duì)稱性及特殊值，從而化簡(jiǎn)判斷A正誤；B、D由，結(jié)合A即可判斷.
【詳解】C：由，則，則，
又，所以，令得，即.
所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
而，，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，錯(cuò)；
A：為奇函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱，且，
∴，，，，∴.
又，∴，
∴的周期，
∴，對(duì)；
D：因?yàn)?，所以?br>所以，錯(cuò)；
B：，錯(cuò).
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)得，結(jié)合已知得到，進(jìn)而求其周期和對(duì)稱性，應(yīng)用周期和對(duì)稱性求、、的值.
二、多選題
6．定義：若數(shù)列滿足，則稱為“Titus雙指數(shù)迭代數(shù)列”.已知在“Titus雙指數(shù)迭代數(shù)列”中，首項(xiàng)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列
C．當(dāng)時(shí)，有最小值
D．當(dāng)取任意非零實(shí)數(shù)時(shí)，一定有最大值或最小值
【答案】ABD
【分析】求出，即可判斷A；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再通過取點(diǎn)與單調(diào)性確定的圖象與直線的位置關(guān)系，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；
下面分析B，C，D項(xiàng)：
構(gòu)造函數(shù)，則，
構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以，
即，所以單調(diào)遞增，
再通過取點(diǎn)與單調(diào)性確定的圖象與直線的位置關(guān)系，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)位置關(guān)系作出大致圖象如圖1：
分析B項(xiàng)：如圖2，
以為起始點(diǎn)，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，
從點(diǎn)作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，
從點(diǎn)作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，
依此類推，由圖可知，為遞增數(shù)列，B正確；
分析C項(xiàng)：如圖3，以為起始點(diǎn)，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，
從點(diǎn)作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，
從點(diǎn)作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，
依此類推，由圖可知，為遞減數(shù)列，
無(wú)限趨近于0，無(wú)最小值，C錯(cuò)誤；
分析D項(xiàng)：如圖4，當(dāng)時(shí)，以為起始點(diǎn)，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，
從點(diǎn)作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，
從點(diǎn)作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點(diǎn)，
依此類推，由圖可知，當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，
設(shè)與的圖象在第一象限的交點(diǎn)為，
結(jié)合B，C項(xiàng)可知：當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，
顯然，一定有最小值或最大值，D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：
①通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；
②遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證，使得問題得以解決．
7．已知函數(shù)，記的最小值為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．若數(shù)列滿足，則
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式和柯西不等式推導(dǎo)出，從而得到A正確，B錯(cuò)誤；構(gòu)造函數(shù)得到在上恒成立，結(jié)合等比數(shù)列求和公式證明出C正確；D選項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到，再用裂項(xiàng)相消法求和，證明出結(jié)論.
【詳解】A選項(xiàng)，，故，
由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，A正確；
B選項(xiàng)，由柯西不等式得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，
依次類推，可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
故
，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，設(shè)，，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
所以，故在上恒成立，
，C正確；
D選項(xiàng)，，
，
故，D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】常見的裂項(xiàng)相消法求和類型：
分式型：，，等；
指數(shù)型：，等，
根式型：等，
對(duì)數(shù)型：，且；
8．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，其所有頂點(diǎn)均在球的球面上．已知點(diǎn)滿足，，過點(diǎn)作平面平行于和，平面分別與該正四面體的棱相交于點(diǎn)，則（ ）
A．四邊形的周長(zhǎng)是變化的
B．四棱錐體積的最大值為
C．當(dāng)時(shí)，平面截球所得截面的周長(zhǎng)為
D．當(dāng)時(shí)，將正四面體繞旋轉(zhuǎn)90°后與原四面體的公共部分的體積為
【答案】BCD
【分析】正四面體放入正方體中，證明平面平面，利用平行，利用表示出四邊形各邊的長(zhǎng)，計(jì)算周長(zhǎng)判斷選項(xiàng)A；利用表示四棱錐的體積，通過導(dǎo)數(shù)研究最值判斷選項(xiàng)B，利用外接球半徑和球心到截面的距離，得到截面圓的半徑，計(jì)算周長(zhǎng)，判斷選項(xiàng)C；兩個(gè)正四面體的公共部分為兩個(gè)相同的正四棱錐組合而成，計(jì)算體積判斷選項(xiàng)D．
【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，知正四面體的棱長(zhǎng)為，故球心即為該正方體的中心，
連接，設(shè)，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所?
又平面，平面，所以平面.
因?yàn)槠矫?，，，平面，所以平面平面?br>對(duì)于A，如圖①，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，則，即，
同理可得，，，，所以四邊形的周長(zhǎng)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，如圖①，由A可知，，且，，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，所以四邊形為矩形，所以點(diǎn)A到平面的距離，故四棱錐的體積與之間的關(guān)系式為，則. 因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，故四棱錐體積的最大值為，故B正確；
對(duì)于C，正四面體的外接球即為正方體的外接球，其半徑．設(shè)平面截球所得截面的圓心為，半徑為，當(dāng)時(shí)，. 因?yàn)椋瑒t，所以平面截球所得截面的周長(zhǎng)為，故C正確；
對(duì)于D，如圖②，

將正四面體繞旋轉(zhuǎn)90°后得到正四面體，設(shè)，，，，
連接，因?yàn)?，所以分別為各面的中心，兩個(gè)正四面體的公共部分為幾何體為兩個(gè)相同的正四棱錐組合而成，又，正四棱錐的高為，所以所求公共部分的體積，故D正確．
故選：BCD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正四面體的外接球問題通常轉(zhuǎn)化為正方體的外接球，利用平面平面，用表示出四邊形各邊的長(zhǎng)，處理周長(zhǎng)和四棱錐的體積；截面問題和兩個(gè)正四面體的公共部分，都離不開對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的分析和理解．
三、填空題
9．已知函數(shù)，如果不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍_______________.
【答案】
【分析】求出，將已知條件轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，利用換元法轉(zhuǎn)化為，對(duì)恒成立，由可解得結(jié)果.
【詳解】，得
又，，，
由題意得對(duì)恒成立，
等價(jià)于，即對(duì)恒成立，
顯然，令
，
所以，對(duì)恒成立，
令是關(guān)于t的一次函數(shù)，
要使，對(duì)恒成立，需，即，
解得：，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題， 不等式恒成立問題常見方法：
①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②數(shù)形結(jié)合( 圖像在 上方即可)；
③討論最值或恒成立
10．已知，設(shè)，，其中k是整數(shù)． 若對(duì)一切，都是區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù)．則的取值范圍是 __________ ．
【答案】．
【分析】對(duì)二次求導(dǎo)，得到的凹凸性，有的幾何意義是點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率，因此當(dāng)時(shí)，滿足要求，當(dāng)時(shí)，需使點(diǎn)都在處的切線上或切線上方即可，求出曲線在處的切線方程，得到，整理變形，換元后畫出及的圖象，數(shù)形結(jié)合得到的取值范圍.
【詳解】，
令，
則，
因?yàn)?，所以?br>令得或，令得，，
故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，其中?br>令，解得，令，解得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且在和內(nèi)下凹，在內(nèi)上凸，
的幾何意義是點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率，
當(dāng)在內(nèi)下凹時(shí)，可滿足都是區(qū)間上嚴(yán)格遞增，
因此當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格遞增，
而當(dāng)時(shí)，唯一可能使不嚴(yán)格遞增的區(qū)間可能在，
曲線須在直線下方，曲線須在直線上方，
故需使點(diǎn)都在處的切線上或切線上方即可，
從圖象可知，只需在處的切線上或切線上方即可，
，，
故曲線在處的切線方程為，
令，化簡(jiǎn)得，
，因此，即，
令，則，即，
其中，畫出及的圖象，如下：
由圖可知，，即
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，則稱為在區(qū)間上的凸函數(shù)，反之則稱為在區(qū)間上的凹函數(shù)，
其性質(zhì)為：若為在區(qū)間上的凸函數(shù)，則，則，反之，.
11．在同一平面直角坐標(biāo)系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意，有恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為______．
【答案】
【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)，利用基本不等式得到，求出答案.
【詳解】，令，，
則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故在處取得極小值，也是最小值，故，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
令，，
則，
令，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，也時(shí)最小值，最小值為，
設(shè)，
由基本不等式得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，等號(hào)成立，
故，則．
故答案為：
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時(shí)，當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來(lái)進(jìn)行求解，本題變形得到，從而構(gòu)造進(jìn)行求解.
12．黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德因數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在上，其解析式如下：，定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，當(dāng)時(shí)，，則___________.
【答案】/
【分析】由推出為偶函數(shù)與周期的函數(shù)，據(jù)此求的值即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，
由得，所以，
所以為偶函數(shù)，
由得，代入得，
所以，所以，
所以，所以是以4為周期的函數(shù)，
由得，所以，即，
由得，所以，即，所以，所以，
，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于對(duì)條件的靈活應(yīng)用，一是對(duì)進(jìn)行賦值，賦值一定要合適，根據(jù)需要進(jìn)行合理的賦值才能達(dá)到想要的結(jié)果；二是對(duì)與關(guān)系的轉(zhuǎn)化，要找的性質(zhì)進(jìn)行賦值后消去得到只有的關(guān)系式從而得到的性質(zhì).
13．已知函數(shù)，的定義域均為R，是奇函數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是______．（只填序號(hào)）
①為偶函數(shù)；
②為奇函數(shù)；
③；
④.
【答案】①④
【分析】結(jié)合已知條件和是奇函數(shù)求出函數(shù)的周期，然后利用周期和已知條件得出為偶函數(shù)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)，周期為4即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)的性質(zhì)分析可得，再根據(jù)的周期性即可判斷選項(xiàng)C；再結(jié)合函數(shù)的周期即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，則有，
且是奇函數(shù)，則，可得，即，
則，
即，所以是周期為4的周期函數(shù)，
因?yàn)椋瑒t，
可得，
故也是周期為4的周期函數(shù)．
對(duì)于①：因?yàn)?，則，即，
所以，所以為偶函數(shù)．故①正確；
對(duì)于②：∵
，
∴，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：因?yàn)?，令，即，則，
又因?yàn)?，令，所以?br>令，則，即，
即，
所以，所以③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：因?yàn)椋?br>所以
，
所以，所以④正確．
故答案為：①④．
【點(diǎn)睛】方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
14．若對(duì)于，，使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)x的范圍為______．
【答案】.
【分析】由題，有.利用導(dǎo)數(shù)可得，則可得.
后將看成關(guān)于m的函數(shù)，后分類討論
在三種情況下的最大值與0的大小即可.
【詳解】恒成立，
等價(jià)于.
令，，則，
注意到時(shí)，，，時(shí)，.
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.
則，則
.
令，.
當(dāng)，，故滿足條件；
當(dāng)，則在上單調(diào)遞減，故
.
令，.
則，得在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，因此時(shí)無(wú)最值，且，.
則不合題意；
當(dāng)，在上單調(diào)遞增，故
.
令.
則.
令，.
則，故在上單調(diào)遞減，
則，則在上單調(diào)遞增，
則，則符合題意.
綜上，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及雙變量與恒成立，難度較大.
恒成立問題常轉(zhuǎn)化為最值相關(guān)問題，本題因告知m范圍，求x范圍，故還采取了變換主元的做題方法.
四、解答題
15．已知定義在上的函數(shù)有，且對(duì)于任意的都有，求證：對(duì)于大于1的有理數(shù)，及實(shí)數(shù)，有．
【答案】見解析
【詳解】首先證明：對(duì)有理數(shù)，有 ，易得．
對(duì)正整數(shù)、有，
．
故． ①
由 ． ②
此時(shí)，，得． ③
由式①、②、③得，對(duì)有理數(shù)有．此時(shí)，對(duì)大于1的有理數(shù)及正整數(shù)，有也是有理數(shù)，得．
由于對(duì)正整數(shù)有，
得 ．
變形得，即．
取并求和得
．
16．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，求證：.
參考數(shù)據(jù)：，.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求a的取值范圍.
（2）由，是方程的兩個(gè)根，令，將和分別用t表示，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)求最值證明不等式.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由題意，.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不合題意；
當(dāng)時(shí)，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，即.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）由題意，
于是，令，則由可得，.
于是，即.從而.
另一方面，對(duì)兩端分別取自然對(duì)數(shù)，則有，
于是，即證，即，其中.
設(shè)，.則，
設(shè)，.
則在上恒成立，
于是，在上單調(diào)遞增，從而.
所以，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是.
因此，，即原不等式成立.
【點(diǎn)睛】令，結(jié)合方程組，可得，.
分析要證，兩邊取對(duì)數(shù)，只要證，從而構(gòu)造出函數(shù)，.
17．已知函數(shù)，
(1)若對(duì)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，記的最大值與最小值為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將對(duì)恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得答案；
（2）根據(jù)題意得出滿足的關(guān)系式，根據(jù)的表達(dá)式，采用換元法，求得參數(shù)范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，確定其最值，即可求得答案.
【詳解】（1）由對(duì)恒成立可知：，即，
令，,
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
對(duì)于，，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令得，，且
時(shí)，時(shí)，時(shí)，
所以有單調(diào)遞減，，與題設(shè)矛盾，不成立；
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為
（2）由題知：，即（1）中函數(shù)，
由（1）可知，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，，，
令，由于，則，則，
由，故，解得，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
而，僅在取等號(hào)，故在單調(diào)遞增，
則，故在上單調(diào)遞增，故，僅在取等號(hào)，
故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，可知，
，可知單調(diào)遞減，
可知，，
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題時(shí)，關(guān)鍵在于要根據(jù)函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，得到，，從而根據(jù)的表達(dá)式，換元構(gòu)造函數(shù)，利用，求出參數(shù)范圍，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)解決問題.
18．三個(gè)互不相同的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有或恒有，則稱為與在區(qū)間D上的“分割函數(shù)”．
(1)設(shè)，試分別判斷是否是與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，請(qǐng)說明理由；
(2)求所有的二次函數(shù)，使得該函數(shù)是與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”；
(3)若，且存在實(shí)數(shù)k，b，使得為與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，求的最大值．
【答案】(1)是與在上的“分割函數(shù)”；
不是與在上的“分割函數(shù)”；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)恒成立，結(jié)合“分割函數(shù)”的定義依次判斷，即可求解；
（2）根據(jù)“分割函數(shù)”的性質(zhì)，則對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和恒成立可得且對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，結(jié)合圖形即可求解；
（3）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，則，作出其函數(shù)與函數(shù)的圖象，設(shè)直線與的圖象交于點(diǎn)，利用代數(shù)法求出弦長(zhǎng)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)楹愠闪?，且恒成立?br>所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
故是與在上的“分割函數(shù)”.
又因?yàn)?，?dāng)與時(shí)，其值分別為與，
所以與在上都不恒成立，
故不是與在上的“分割函數(shù)”.
（2）設(shè)是與在上的“分割函數(shù)”，
則對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,由,
當(dāng)時(shí)，它的值為，可知的圖象在處的切線為直線，
它也是的圖象在處的切線，
所以，可得
所以對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，
即且對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，
可得且，即，
又時(shí)與為相同函數(shù)，不合題意，
故所求的函數(shù)為.
（3）關(guān)于函數(shù)，令，可得，
當(dāng)與時(shí),；當(dāng)與時(shí),.
可知是函數(shù)極小值點(diǎn)，0是極大值點(diǎn),
該函數(shù)與的圖象如圖所示.
由為與在區(qū)間,上的“分割函數(shù)”，
故存在使得且直線與的圖象相切，
并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)∪，此時(shí)切線方程為，
即，
設(shè)直線與的圖象交于點(diǎn)，
則由可得，
所以
，
令，
(僅當(dāng)時(shí)，),
所以嚴(yán)格減，故的最大值為,可知的最大值為，
所以的最大值為.
【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.
19．設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，曲線是函數(shù)的圖像． 若過點(diǎn)恰能作曲線的條切線（），則稱是函數(shù)的“度點(diǎn)”．
(1)判斷點(diǎn)與點(diǎn)是否為函數(shù)的1度點(diǎn)，不需要說明理由；
(2)已知，． 證明：點(diǎn)是的0度點(diǎn)；
(3)求函數(shù)的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．
【答案】(1)原點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)，點(diǎn)不是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)
(2)證明見解析
(3)或
【分析】（1）求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，該切線過點(diǎn)時(shí)，列出方程，求出一個(gè)根，滿足要求，該切線過點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，解超越方程，無(wú)解，不合要求；
（2）求出在點(diǎn)處的切線方程，轉(zhuǎn)化為無(wú)解，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，證明出無(wú)解，故證畢；
（3）求出切線方程，得到的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，分，與三種情況，進(jìn)行求解.
【詳解】（1）設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
則該切線過點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，即． 故原點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)，
該切線過點(diǎn)，故，
令，則，令得，令得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在處取得極小值，也時(shí)最小值，且，
故無(wú)解，點(diǎn)不是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)
（2）設(shè)，，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
則該切線過點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)（*）．
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上嚴(yán)格增．
因此當(dāng)時(shí)，，（*）恒不成立，即點(diǎn)是的一個(gè)0度點(diǎn)．
（3），
對(duì)任意，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
故點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
設(shè)． 則點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
若，則在上嚴(yán)格增，只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不合要求．
若，因?yàn)?，解得有兩個(gè)駐點(diǎn)．
由或時(shí)得嚴(yán)格增；而當(dāng)時(shí)，得嚴(yán)格減．
故在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值．
又因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，在、、上各有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；
當(dāng)時(shí)，僅上有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；
當(dāng)時(shí)，僅上有一個(gè)零點(diǎn)，也不合要求．
故兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或．
若，同理可得兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或．
綜上，的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合為或．
【點(diǎn)睛】函數(shù)新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；
（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.
20．已知函數(shù)．
(1)若對(duì)時(shí)，，求正實(shí)數(shù)a的最大值；
(2)證明：；
(3)若函數(shù)的最小值為m，證明：方程有唯一的實(shí)數(shù)根，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【答案】(1)1
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求，并判斷的單調(diào)性，分類討論的正負(fù)，得到的單調(diào)性，求出時(shí)的范圍，從而得到的最大值；
（2）利用第（1）問的結(jié)論，可得到，令，不等式兩邊求和即可證明；
（3）求并判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，要證方程有唯一的實(shí)數(shù)解，只要證方程有唯一的實(shí)數(shù)解．令，， 求結(jié)合的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理，可知，由于形式相同，可構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性可知且，代入可證明.
【詳解】（1）（） a為正實(shí)數(shù)，
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且．
①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，符合題意．
②當(dāng)時(shí)，，
由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，有，即函數(shù)在上遞減，
在遞增，所以當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)不符合．
綜上所述，正實(shí)數(shù)a的最大值為1．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，
令時(shí)，有，即，
累加得，．
（3）因?yàn)?，所以，即函?shù)在上遞增，
又，
由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，有，即，
因此，而函數(shù)在上遞減，在上遞增，
所以，即．
要證方程有唯一的實(shí)數(shù)解，只要證方程有唯一的實(shí)數(shù)解．
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上遞增，又，，
由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，，即，
因此，又，
設(shè)，則函數(shù)在上遞增，于是且，
而函數(shù)在上遞減，在上遞增，
，
即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，故方程有唯一的實(shí)數(shù)解．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
零點(diǎn)存在性定理：當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).
零點(diǎn)代換：當(dāng)存在零點(diǎn)，且滿足等式時(shí)，對(duì)應(yīng)在此點(diǎn)處的等量運(yùn)算也成立，即若有，則有.
21．設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.
(1)已知在區(qū)間上嚴(yán)格增，且對(duì)任意，有，證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；
(2)已知，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，求實(shí)數(shù)的值；
(3)已知，且對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）結(jié)合（1），利用極值的定義進(jìn)行求解即可；
（3）利用題目條件，代入，分情況進(jìn)行討論即可證明.
【詳解】（1）不妨設(shè)，在區(qū)間上嚴(yán)格增，
對(duì)任意，有，
又，
函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；
（2）由（1）可知：在區(qū)間上嚴(yán)格增時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格增，
當(dāng)在區(qū)間上嚴(yán)格減時(shí)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減，
又當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)也取得極值，
可得，
當(dāng)時(shí)，，在左右附近兩側(cè)異號(hào)，
滿足條件，所以.
（3）當(dāng)時(shí)，
由條件知，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，
即，
又的值域是，，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，
，
又的值域是，，
綜上可知，任意，.
22．已知，且0為的一個(gè)極值點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)證明：①函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；
②，其中且．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先求得，由0為的一個(gè)極值點(diǎn)，可得，進(jìn)而求解；
（2）①當(dāng)時(shí)，由，可得單調(diào)遞減，由，可得，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，結(jié)合其導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，結(jié)合，和零點(diǎn)存在性定理，可知存在，使得，進(jìn)而得到單調(diào)性，結(jié)合得到在上單調(diào)遞增；結(jié)合，，存在，得到函數(shù)的單調(diào)性，可得而在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，可得在單減，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，最后綜合即可得證.
②由（1）中在單增，所以，有，可得.令，利用放縮法可得，再結(jié)合，分別利用累加發(fā)可得，，即可求證.
【詳解】（1）由，
則，
因?yàn)?為的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以，所以．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，
由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，
且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br>所以，，在上單調(diào)遞增；.
綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以0為的一個(gè)極值點(diǎn)，故.
（2）①當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，
所以對(duì)，有，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，
由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，
且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減．
又因?yàn)椋?br>所以，，在上單調(diào)遞增；
因?yàn)椋?br>所以存在，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，
此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
所以在單減，
又，，
由零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；
綜上所述，在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)．
②因?yàn)?，由?）中在上的單調(diào)性分析，
知，所以在單增，
所以對(duì)，有，
即，所以．
令，則，
所以，
設(shè)，，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，
即，，
所以 ，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第（2）②，關(guān)鍵在于先證明，令，利用放縮法可得，再結(jié)合累加法即可得證.
23．已知函數(shù)．
(1)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）化簡(jiǎn)，令，得到且，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，求得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，結(jié)合且，得到在上存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，進(jìn)而得到的單調(diào)性，求得的最小值，即可求解；
（2）由（1）得到不等式恒成立，即恒成立，從而證得，進(jìn)而證得，得到，進(jìn)而證得結(jié)論.
【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)，
令，因?yàn)椋傻?，且?br>因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ丛谏虾愠闪ⅲ?br>當(dāng)時(shí)，不等式，顯然成立，
所以等價(jià)于在上恒成立，
設(shè)，
則，
設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋栽谏洗嬖谝粋€(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，
所以當(dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，且為最大值，
由，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
即，即恒成立，
當(dāng)，且時(shí)，可得，
所以，
所以
，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
24．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)?shù)膱D像在點(diǎn)處的切線方程為y=1時(shí)，求a的值，并證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)0
(2)a=1，證明見解析
【分析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，．利用導(dǎo)數(shù)，可得在時(shí)，
有最小值，其中.據(jù)此可得答案；
（2）由切線斜率為0，可得a；利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可得，
從而可得.后利用當(dāng)時(shí)，
，可證得結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)，．
定義域?yàn)椋?br>令，則，故在上單調(diào)遞增.
因，，則在上有唯一零點(diǎn)，即.則在上，，即，在單調(diào)遞減.
在上，，即，在上單調(diào)遞增.
故，又，
則.即函數(shù)的最小值為0；
（2）由題，，，則a=1；
即，則
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞遞減，則.
則當(dāng)時(shí)，，即.
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則.
又注意到
.故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及利用隱零點(diǎn)求函數(shù)最值及利用函數(shù)證明數(shù)列不等式，難度較大.本題最值點(diǎn)不能具體求出，但能證明其存在，后利用其滿足等量關(guān)系可得最值；證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵為能利用題目函數(shù)找到合適的不等式，后通過改變不等式形式及不等式放縮可證明結(jié)論.

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