(2023·全國乙卷·理科)在中，已知，，．
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積．
(2022·高考全國乙卷·理)記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
（2023·全國·模擬預(yù)測）已知銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，.
(1)求的取值范圍；
(2)若，求三角形ABC面積的取值范圍.
（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，對應(yīng)的邊分別為，且．且
(1)求；
(2)若，上有一動點（異于B、C），將沿AP折起使BP與CP夾角為，求與平面所成角正弦值的范圍．
（2023·河南·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，的面積記為S，已知，．
(1)求A；
(2)若BC邊上的中線長為1，AD為角A的角平分線，求CD的長．
（2023·陜西商洛·山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.

(1)求；
(2)若，求BC.
（2023·四川綿陽·?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，，．

(1)求的值；
(2)求的長．
（2023·云南·聯(lián)考模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若，求周長的取值范圍.
（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）在中，設(shè)A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．
(1)求角B；
(2)若，的內(nèi)切圓半徑，求的面積．
（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）在 中，角 A、B 、C 的對邊分別為a 、b 、c ，且滿足.
(1)求的值；
(2)若，求的面積.
（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┰谥?，角的對邊分別為，且.
(1)求的值；
(2)若，從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積.
條件①：；條件②：；條件③：的周長為9.
（2023·河南·模擬預(yù)測）設(shè)中，、、所對的邊分別為、、，且有.
(1)若，證明：；
(2)若，比較和的大小關(guān)系，說明理由.
（2023?云南曲靖?麒麟?yún)^(qū)模擬）在銳角△ABC中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，從條件①：，條件②：，條件③：2acsA﹣bcsC＝ccsB這三個條件中選擇一個作為已知條件．
（1）求角A的大?。?br>（2）若a＝2，求△ABC周長的取值范圍．
（2023·云南大理·?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

（1）求函數(shù)的解析式；
（2）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，，且的面積為，求．
（2023·山西運(yùn)城·校考階段練習(xí)）中，內(nèi)角的對邊分別為的外接圓半徑為，已知.
(1)求；
(2)已知的平分線交于點，從以下三個條件中選擇兩個，使唯一確定，并求和的長度.
條件①：；條件②：；條件③：.
題型訓(xùn)練
答案&解析
【1】
【答案】(1)；
(2)．【解析】(1)由余弦定理可得：
，
則，，
．
(2)由三角形面積公式可得，
則．
【2】
【答案】(1)見解析 (2)14
【解析】【小問1詳解】
證明：因為，
所以，
所以，
即，所以；
【小問2詳解】
解：因為，
由(1)得由余弦定理可得，
則，所以，
故，所以，所以的周長為．
【3】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因為，且都為銳角，所以，
，
所以，由正弦定理可得，
又，所以，
整理得，即有，
所以，即，所以.
在銳角三角形中，,且，所以；
令，則，，
令，則，
因為，所以，所以為增函數(shù)，
又，所以，即的取值范圍是.
（2）由（1）得.
因為，由，得；
設(shè)三角形ABC的面積為,則
，
因為，所以，
設(shè)，，，，為減函數(shù)，
所以，所以.
【4】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）方法一：由，結(jié)合二倍角公式可得，，
即.
若，則，于是，
根據(jù)正弦函數(shù)在上遞增可得，
，類似的有，
于是，
這與矛盾；
若，則，于是，
根據(jù)正弦函數(shù)在上遞增可得，
，
類似的有，于是，
這與矛盾；
若，即，此時確實成立.
綜上所述，.
方法二：將代入可得
，
再利用兩角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化簡即可得
所以，
即，
再由和差化積公式可得：
，
所以
不妨設(shè)，則，
所以，
即，又，所以，
可得，所以.
（2）
由題意，折疊后的幾何體如下，設(shè)，則
在中，若，由余弦定理得，.
下以為原點，分別為軸，過垂直于平面的直線為軸.
設(shè)，則，，由
①
②
③，
由①②解得：，
由①③解得：，
根據(jù)線面角的定義，（不妨取是正數(shù)），
則與平面所成角正弦值為.
記，則，
注意到，于是，
又
，而，
故，故，
根據(jù)多項式除法，約去因式，
得到，即，
根據(jù)求根公式可得，的正實根為，
故在上遞增，在上遞減，
經(jīng)計算得到，故在上的值域為，注意到，
故，于是，故，即，
于是直線與平面所成角正弦值的范圍是.
在中，若，同理可得，直線與平面所成角正弦值的范圍是.
方法二：
作底面，垂足為，連接，設(shè)到平面的距離為，到平面的距離為，，由題意知.
先說明和平面不可能垂直，否則由平面可得，由，可得，這與矛盾，于是是平面的斜線，即.
由可得，，即.
設(shè)，根據(jù)線面角的定義，即為與平面所成角.
于是，即.
【5】
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因為，所以，即，
由正弦定理可得，即
所以．
因為，所以．
（2）設(shè)AE為BC邊上的中線，可得，
如下圖所示：

則，
所以，解得．
因為，
所以，
所以；由可得，
利用余弦定理可得，
所以．
【6】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在中，由正弦定理得，即，
所以.由題設(shè)知，所以.
（2）由題設(shè)及（1）知，，
在中，由余弦定理得
，
所以.
【7】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：在中，，，，
由余弦定理可得，
整理可得，，解得，則，
故為等腰三角形，故.
（2）解：由（1）知，，又因為，則，
因為，則為銳角，
且，
所以，
，
在中，由正弦定理，
可得.
【8】
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因為，可得，
所以由正弦定理可得，
又為三角形內(nèi)角，，
所以，
因為，
所以，可得，所以.
（2）由（1）知，又，
由正弦定理得，
則，
，
【9】
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因為，
由余弦定理得，即，所以．
又，所以
（2）由余弦定理得：，則，
由三角形面積公式，，即，
則，
所以，解得，
所以.
【10】
【答案】(1)2(2)12
【解析】（1）由可得，
，
因為，所以可得，
解得.
（2）由（1）知，所以，
又因為，所以，
所以，
即，又，
所以，
由正弦定理可得，，
所以，
所以，
所以的面積.
【11】
【答案】(1)2
(2)答案見解析
【解析】（1）解：因為，
由正弦定理得，
即，
又因為，可得，
所以，可得.
（2）解：由（1）得，由正弦定理得，
若選條件①：由余弦定理得，即，
又由，解得，則，此時存在且唯一確定，
因為，則，可得，
所以；
若選條件②：由，因為，即，
若為銳角，則，
由余弦定理，即，
整理得，且，解得，則；
若為鈍角，則，
由余弦定理得，即，
整理得，且，解得，則；
綜上所述，此時存在但不唯一確定，不合題意；
若條件③：因為，即，解得，則，
所以此時存在且唯一確定，
由余弦定理得，
因為，可得，
所以．
【12】
【答案】(1)證明見解析
(2)，理由見解析
【解析】（1）證明：因為，要證，即證，即證，
因為，則，解得，則，
所以，
，
故原不等式得證.
（2）解：因為，
設(shè)外接圓半徑為，則
，
因為，則，
又因為，
又因為，即，
所以，所以.
【13】
【解答】解：（1）選條件①：因為，所以，即，
又因為△ABC為銳角三角形，所以，
∵，所以；
選條件②：因為，所以，所以，
又因為，所以；
選條件③：由正弦定理可得2sinAcsA﹣sinBcsC＝sinCcsB，
即2sinAcsA＝sinBcsC+sinCcsB＝sin（B+C）＝sinA，
又因為sinA≠0，所以，
∵，所以；
（2）
＝，
∵，∴，
所以，即，
又a＝2，
∴△ABC周長的取值范圍為（2+2，6]．
【14】
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）據(jù)圖象可得，故，
由得：．
由得：．
由知，，
，解得，
；
（2），，
，，
，，
由題意得的面積為，解得，
由余弦定理得，解得：.
【15】
【答案】(1)
(2)選擇條件②和③；，
【解析】（1）由已知得，
得，
即，即，
又因為，故；
（2）由（1）得中，
由余弦定理得，
所以，
而條件①中，所以，顯然不符合題意，即條件①錯誤，
由條件②，條件③，解得，
由余弦定理可得，
所以，所以，
在中，因為為的平分線，
所以，
又因為，所以，
在中，，
所以.

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