專題06 概率與統(tǒng)計(jì)
(2023·全國甲卷·理科)一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)．實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位：g)．
(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?br>15．2 18．8 20．2 21．3 22．5 23．2 25．8 26．5 27．5 30．1
32．6 34．3 34．8 35．6 35．6 35．8 36．2 37．3 40．5 43．2
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?br>7．8 9．2 11．4 12．4 13．2 15．5 16．5 18．0 18．8 19．2
19．8 20．2 21．6 22．8 23．6 23．9 25．1 28．2 32．3 36．5
(i)求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．
附：
(2023·全國乙卷·理科)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗(yàn)結(jié)果如下：
記，記樣本平均數(shù)為，樣本方差為．
(1)求，；
(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)
(2022·全國甲卷·理科)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0．5，0．4，0．8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
(2022·全國乙卷·理科)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：)和材積量(單位：)，得到如下數(shù)據(jù)：
并計(jì)算得．
(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0．01)；
(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．
附：相關(guān)系數(shù)．
（2023·全國·模擬預(yù)測）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興，大力發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)——富硒水果．工作人員統(tǒng)計(jì)了近8年富硒水果種植面積（單位：百畝）與年銷售額（單位：千萬元）的數(shù)據(jù)．經(jīng)計(jì)算得到如下處理后的統(tǒng)計(jì)量：，，，，，，，，，其中，．
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從相關(guān)系數(shù)的角度，判斷與哪個(gè)適宜作為年銷售額關(guān)于種植面積的回歸方程類型（相關(guān)系數(shù)精確到0.01）．
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及相關(guān)數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）．
(3)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃年銷售額不低于10億元，請預(yù)測種植面積至少為多少畝．
附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線的斜率與截距的最小二乘估計(jì)分別為，．
參考數(shù)據(jù)：，．
（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）現(xiàn)有4個(gè)紅球和4個(gè)黃球，將其分配到甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中4個(gè)球．
(1)求甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率．
(2)已知甲盒子中有3個(gè)紅球和1個(gè)黃球，若同時(shí)從甲、乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，記交換后甲盒子中的紅球個(gè)數(shù)為X，X的數(shù)學(xué)期望為．證明：．
（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）人類命運(yùn)共同體充分展現(xiàn)了中國的大國擔(dān)當(dāng)．在第75屆聯(lián)合國大會(huì)上中國承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭于2030年之前使二氧化碳的排放達(dá)到峰值，努力爭取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和（簡稱“雙碳目標(biāo)”），此舉展現(xiàn)了我國應(yīng)對氣候變化的堅(jiān)定決心，預(yù)示著中國經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進(jìn)我國產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化．新能源汽車、電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用．為了解兩個(gè)品牌新能源電動(dòng)汽車的使用滿意度，在某市對購買兩個(gè)品牌的用戶各隨機(jī)抽取了100名進(jìn)行問卷調(diào)查，記錄他們對A、B兩種品牌的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)請通過頻率分布直方圖分別估計(jì)A、B兩種電動(dòng)汽車使用滿意度的平均得分，并判斷哪種品牌電動(dòng)汽車更受用戶歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；
(2)以樣本頻率估計(jì)概率，若使用滿意度得分不低于70分說明用戶對該品牌電動(dòng)汽車較滿意，現(xiàn)從該市使用B品牌的用戶中隨機(jī)抽取5個(gè)人，用表示對B品牌較滿意的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）目前,教師職業(yè)越來越受青睞,考取教師資格證成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當(dāng)前,中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分,筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知某市年共有名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試,筆試成績,只有筆試成績高于分的學(xué)生才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).
(1)從報(bào)考中小學(xué)教師資格考試的考生中隨機(jī)抽取人,求這人中至少有一人進(jìn)入面試的概率;
(2)現(xiàn)有甲、乙、丙名學(xué)生進(jìn)入了面試,且他們通過面試的概率分別為,設(shè)這名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):若,則,,,,.
（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽的勝負(fù)互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制（先勝2局者獲勝，比賽結(jié)束）；方案二：五局三勝制（先勝3局者獲勝，比賽結(jié)束）.
(1)若選擇方案一，求甲獲勝的概率；
(2)用拋擲骰子的方式?jīng)Q定比賽方案，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)，若“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和不大于6”則選擇方案一；否則選擇方案二.判斷哪種方案被選擇的可能性更大，并說明理由.
（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）新高考數(shù)學(xué)試卷中的多項(xiàng)選擇題，給出的4個(gè)選項(xiàng)中有2個(gè)以上選項(xiàng)是正確的，每一道題考生全部選對得5分. 對而不全得2分，選項(xiàng)中有錯(cuò)誤得0分. 設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多選題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，沒有4個(gè)選項(xiàng)都正確的（在本問題中認(rèn)為其概率為0）. 在一次模擬考試中：
(1)小明可以確認(rèn)一道多選題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明該題得5分的概率為，求；
(2)小明可以確認(rèn)另一道多選題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇. 小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè)，共選2個(gè)；③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個(gè)，共選3個(gè). 若，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？
（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）網(wǎng)絡(luò)直播帶貨作為一種新型的銷售土特產(chǎn)的方式，受到社會(huì)各界的追捧.湖北某地盛產(chǎn)夏橙，為幫助當(dāng)?shù)剞r(nóng)民銷售夏橙，當(dāng)?shù)卣埩思?、乙兩名網(wǎng)紅在某天通過直播帶貨銷售夏橙.現(xiàn)對某時(shí)間段100名觀看直播后選擇在甲、乙兩名網(wǎng)紅的直播間（以下簡稱甲直播間、乙直播間）購買夏橙的情況進(jìn)行調(diào)查（假定每人只在一個(gè)直播間購買夏橙），得到如下數(shù)據(jù)：
(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買夏橙與性別有關(guān)聯(lián)？
(2)網(wǎng)民黃蓉上午、下午均從甲、乙兩個(gè)直播間中選擇其中一個(gè)購買夏橙，且上午在甲直播間購買夏橙的概率為.若上午選擇在甲直播間購買夏橙，則下午選擇在甲直播間購買夏橙的概率為；若上午選擇在乙直播間購買夏橙，則下午選擇在甲直播間購買夏橙的概率為，求黃蓉下午選擇在乙直播間購買夏橙的概率；
(3)用樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，若共有50008名網(wǎng)民在甲、乙直播間購買夏橙，且網(wǎng)民選擇在甲、乙哪個(gè)直播間購買夏橙互不影響，記其中在甲直播間購買夏橙的網(wǎng)民人數(shù)為X，求使事件“”的概率取最大值的k的值.
附：，其中.
（2023·陜西咸陽·?？既＃┠炒笮推髽I(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品細(xì)分為個(gè)等級，為了解這批產(chǎn)品的等級分布情況，從流水線上隨機(jī)抽取了件進(jìn)行檢測、分類和統(tǒng)計(jì)，并依據(jù)以下規(guī)則對產(chǎn)品進(jìn)行評分:檢測到級到級的評為優(yōu)秀，檢測到級到6級的評為良好，檢測到級到級的評為合格，檢測到級的評為不合格.以下把頻率視為概率，現(xiàn)有如下檢測統(tǒng)計(jì)表:
(1)從這件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，請估計(jì)這件產(chǎn)品評分為優(yōu)良的概率；
(2)從該企業(yè)的流水線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，設(shè)這件產(chǎn)品中評分為優(yōu)秀的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為，求的分布列及期望.
（2023·四川成都·?？既＃┠硢挝婚_展職工文體活動(dòng)，其中跳棋項(xiàng)目比賽分為初賽和決賽，經(jīng)過初賽后，甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽．決賽采用以下規(guī)則：①抽簽確定先比賽的兩人，另一人輪空，后面每局比賽由前一局勝者與輪空者進(jìn)行，前一局負(fù)者輪空；②甲、乙進(jìn)行比賽，甲每局獲勝的概率為，甲、丙進(jìn)行比賽，甲每局獲勝的概率為，乙、丙進(jìn)行比賽，乙每局獲勝的概率為；③先取得兩局勝者為比賽的冠軍，比賽結(jié)束．假定每局比賽無平局且每局比賽互相獨(dú)立．通過抽簽，第一局由甲、乙進(jìn)行比賽．
(1)求甲獲得冠軍的概率．
(2)記比賽結(jié)束時(shí)乙參加比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）小李從家出發(fā)步行前往公司上班，公司要求不晚于8點(diǎn)整到達(dá)，否則視為遲到.小李上班路上需要經(jīng)過4個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率均為，且相互獨(dú)立.已知每遇到紅燈的平均等候時(shí)長皆為1分鐘，若沒有遇到任何紅燈則小李僅需10分鐘即可到達(dá)公司.求：
(1)要保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在幾點(diǎn)幾分從家出發(fā)；
(2)若小李連續(xù)兩天7點(diǎn)48分從家出發(fā)，則恰有一天遲到的概率；
(3)小李上班路上的平均時(shí)長.
（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）某新能源汽車公司從2018年到2022年汽車年銷售量（單位：萬輛）的散點(diǎn)圖如下：
記年份代碼為
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，模型①與模型②，哪一個(gè)更適宜作為年銷售量關(guān)于年份代碼的回歸方程？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立關(guān)于的回歸方程；
(3)預(yù)測2023年該公司新能源汽車銷售量．
參考數(shù)據(jù)：
參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，a=y-bx
題型訓(xùn)練
對照組
實(shí)驗(yàn)組
0．100
0．050
0．010
2．706
3．841
6．635
試驗(yàn)序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸縮率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸縮率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
樣本號ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0．05
0．05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
網(wǎng)民類型
在直播間購買夏橙的情況
合計(jì)
在甲直播間購買
在乙直播間購買
男網(wǎng)民
50
5
55
女網(wǎng)民
30
15
45
合計(jì)
80
20
100
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
等級
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
頻數(shù)
10
90
100
150
150
200
100
100
50
50
34
55
979
657
2805
答案&解析
【1】
【答案】(1)分布列見【解析】，
(2)(i)；列聯(lián)表見【解析】，(ii)能
【解析】：(1)依題意，的可能取值為，
則，，，
所以的分布列為：
故．
(2)(i)依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，
所以，
故列聯(lián)表為：
合計(jì)
對照組
6
14
20
實(shí)驗(yàn)組
14
6
20
合計(jì)
20
20
40
(ii)由(i)可得，，
所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．
【2】
【答案】(1)，；
(2)認(rèn)為甲工藝處理后橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．
【解析】：(1)，
，
，
的值分別為: ，
故
(2)由(1)知:，，故有,
所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．
【3】
【答案】(1)； (2)分布列見【解析】，．
【【解析】】(1)設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為
．
(2)依題可知，的可能取值為，所以，
,
，
，
．
即的分布列為
0
10
20
30
0．16
0．44
0．34
0．06
期望．
【4】
【答案】(1)；
(2)
(3)
【解析】：【小問1詳解】
樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值
樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值
據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，
平均一棵的材積量為
【小問2詳解】
則
小問3詳解】
設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為，
又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，
可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為
【5】
【答案】(1)適宜作為年銷售額關(guān)于種植面積的回歸方程類型
(2)
(3)706畝
【解析】（1）若用作為年銷售額關(guān)于種植面積的回歸方程類型，則設(shè)，則．
設(shè)與的相關(guān)系數(shù)為，則．
由，，得，
則，所以．
若用作為年銷售額關(guān)于種植面積的回歸方程類型，則．
設(shè)，則．
設(shè)與的相關(guān)系數(shù)為，則
．
因?yàn)?，所以適宜作為年銷售額關(guān)于種植面積的回歸方程類型．
（2）．
由，得．
，
所以關(guān)于的線性方程為，則關(guān)于的回歸方程為．
（3）由題意可知．整理，得，
因?yàn)椋?br>解得或（舍去），
故種植面積至少為706畝．
【6】
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）由題可知，
甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率．
（2）當(dāng)時(shí)，X的取值可能是2，3，4，
且，，，
則．
當(dāng)時(shí)，X的取值可能是0，1，2，
且，，，
則．
故．
【7】
【答案】(1)，品牌電動(dòng)汽車的滿意度平均分分別為，B品牌電動(dòng)汽車更受用戶歡迎；
(2)分布列見解析，.
【解析】（1）設(shè)用戶對品牌電動(dòng)汽車的滿意度平均分為，則
，
設(shè)用戶對品牌電動(dòng)汽車的的滿意度平均分為，則
，
顯然，
所以品牌電動(dòng)汽車更受用戶歡迎．
（2）依題意，用戶對品牌電動(dòng)汽車滿意度不低于70分的頻率為，
低于70分的頻率為，
從該市使用品牌的用戶中隨機(jī)抽取5個(gè)人，則的所有可能取值為，則，
，，
，，
，，
所以的分布列為：
0
1
2
3
4
5
數(shù)學(xué)期望.
【8】
【答案】(1)
(2)隨機(jī)變量的分布列見解析；期望為
【解析】（1）記“至少有一人進(jìn)入面試”為事件,由已知得:,
所以,
則,
即這人中至少有一人進(jìn)入面試的概率為.
（2）的可能取值為,
,
,
,
,
則隨機(jī)變量的分布列為：
,.
【9】
【答案】(1)
(2)方案二被選擇的可能性更大，理由見解析
【解析】（1）由題意可得，選擇方案一，三局兩勝制，記甲獲勝的事件為A
甲獲勝事件A包含甲連勝兩局記為；甲第一局負(fù)，第二、三局勝記為；甲第一局勝，第二局負(fù)、第三局勝記為 且互斥，且每局比賽相互獨(dú)立.
則，，
∴
所以甲獲勝的概率為.
（2）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)向上的點(diǎn)數(shù)為，有36個(gè)樣本點(diǎn)，為，
它們是等可能的，故這是個(gè)古典概型.
兩點(diǎn)數(shù)之和不大于6的樣本點(diǎn)有15個(gè)：,
記事件C為“兩點(diǎn)數(shù)之和不大于6”，所以.
記事件D為“點(diǎn)數(shù)之和大于6”，所以.
因?yàn)?，所以方案二被選擇的可能性更大。
【10】
【答案】(1)
(2)①
【解析】（1）記一道多選題“有2個(gè)選項(xiàng)正確”為事件，“有3個(gè)選項(xiàng)正確”為事件，“小明該題得5分”為事件B，
則，求得.
（2）若小明選擇方案①，則小強(qiáng)的得分為2分.
若小明選擇方案②，記小強(qiáng)該題得分為X，則，
且，
，
，
所以，，
若小明選擇方案③，記小強(qiáng)該題得分為Y，則，且
，
，
所以，,
因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇方案①.
【11】
【答案】(1)能
(2)
(3)40007
【解析】（1）提出零假設(shè)：網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買夏橙與性別沒有關(guān)聯(lián).
經(jīng)計(jì)算得，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，
即認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買夏橙與性別有關(guān)聯(lián).
（2）記事件A：黃蓉上午在甲直播間購買夏橙，
事件B：黃蓉下午在乙直播間購買夏橙，
則，，，
由全概率公式可得，
所以黃蓉下午選擇在乙直播間購買夏橙的概率為.
（3）利用樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，
可知網(wǎng)民選擇在甲直播間購買夏橙的概率為，
則，記，，
則，
則問題等價(jià)于求當(dāng)k取何值時(shí)取最大值.
解法1：由，化簡得，
即，所以，因，解得，
所以使事件“”的概率取最大值的k的值為40007.
解法2：因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又，
所以，
且，
所以當(dāng)時(shí)，取最大值，
即使事件“”的概率取最大值的k的值為40007.
【12】
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【解析】（1）記事件A：產(chǎn)品的評分為優(yōu)秀，事件：產(chǎn)品的評分為良好.
根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，可以用樣本來估計(jì)總體，由統(tǒng)計(jì)表得， .
因?yàn)榛コ?，所以可以估?jì)該件產(chǎn)品為優(yōu)良的概率為.
（2）由(1)知，評分為優(yōu)秀的概率為，由題意得，
則
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)， ；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
所以的分布列為
0
1
2
3
4
數(shù)學(xué)期望.
【13】
【答案】(1)
(2)分布列見解析，．
【解析】（1）設(shè)甲與乙比賽，甲獲勝為事件，丙與甲比賽，甲獲勝為事件，丙與乙比賽，乙獲勝為事件，且相互獨(dú)立，
則，
記“甲獲得冠軍”為事件A，則
（2）由題意知的所有可能取值為1，2，3．
，
，
．
所以的分布列為
1
2
3
P
則數(shù)學(xué)期望．
【14】
【答案】(1)7點(diǎn)47分
(2)
(3)12
【解析】（1）根據(jù)題意可知若7點(diǎn)46分出門，則一定不會(huì)遲到；若7點(diǎn)47分出門，僅當(dāng)遇到4個(gè)紅燈時(shí)才會(huì)遲到，則遲到的概率為，不遲到的概率為，
若7點(diǎn)48分出門，則遇到3個(gè)或4個(gè)紅燈會(huì)遲到，遲到的概率為，
遲到的概率為，
所以若保證不遲到的概率高于90%，小李最晚在7點(diǎn)47分從家出發(fā).
（2）由（1）可知，小李7點(diǎn)48分從家出發(fā)遲到的概率為，不遲到的概率為，
所以若兩天都是7點(diǎn)48分出發(fā)，則恰有一天遲到的概率為.
（3）方法1：根據(jù)題意可知小李每天上班時(shí)長可能得取值為，11，12，13，14（分鐘），則
，
，
，
的分布列為
所以上班路平均時(shí)長為（分鐘）.
方法2：設(shè)小李每天上班時(shí)長，11，12，13，14（分鐘），
易知遇到的紅燈個(gè)數(shù)，1，2，3，4服從，
所以，
所以（分鐘）.
【15】
【答案】(1)
(2)y=6.5+2.5x2
(3)預(yù)測2023年該公司新能源汽車銷售量萬輛
【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象特征分析判斷；
（2）換元令，結(jié)合題中數(shù)據(jù)與公式運(yùn)算求解；
（3）令，代入回歸方程運(yùn)算求解.
【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可知：散點(diǎn)圖與一次函數(shù)偏差較大，與二次函數(shù)較接近，故模型②更適合.
（2）令，則，，
對于回歸方程y=c+dt，
可得：d=i=15tiyi-5t?yi=15ti2-5t2=2805-5×11×34979-5×112=935374=2.5，c=y-dt=34-2.5×11=6.5，
故回歸方程為y=6.5+2.5t，即y=6.5+2.5x2.
（3）由（2）可得：y=6.5+2.5x2，
令，則y=6.5+2.5×62=96.5，
預(yù)測2023年該公司新能源汽車銷售量萬輛.

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