說明兩角數(shù)量關(guān)系的方法：1.利用同角(或等角)的余角相等； 2.利用同角(或等角)的補(bǔ)角相等； 3.利用對(duì)頂角相等；4.利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)； 5.利用兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi) 角互補(bǔ)；6.利用等式的性質(zhì).
知識(shí)點(diǎn)1 兩直線平行，同位角相等
1.[2023·錦州]如圖，將一個(gè)含45°角的直角三角尺按如圖所示 的位置擺放在直尺上.若∠1＝28°，則∠2的度數(shù)為(　C　)
因?yàn)椤?＝28°，∠3＝45°，
所以∠4＝180－∠1－∠3＝107°.
因?yàn)橹背呱舷聝蛇吰叫校?br/>所以∠2＝∠4＝107°，故選C.
2.[2022·長(zhǎng)沙]如圖，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，則 ∠DCF的度數(shù)為(　C　)
3.閱讀下列材料，①～④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯(cuò)誤的是(　B　)
①所以∠1＝90°(垂直的定義).
又因?yàn)閎∥c(已知)，
②所以∠1＝∠2(兩直線平行，同位角相等).
③所以∠2＝∠1＝90°(等量代換).
④所以a⊥c(垂直的定義).
所以錯(cuò)誤的是②.故選B.
知識(shí)點(diǎn)2 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等4.[2023·廣東]如圖，街道AB與CD平行，拐角∠ABC＝ 137°，則拐角∠BCD＝(　D　)
5.[2023·岳陽]已知AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F，G在直 線CD上，EG⊥EF于點(diǎn)E，∠AEF＝40°，則∠EGF的度數(shù) 是(　C　)
因?yàn)镋G⊥EF，所以∠FEG＝90°.
因?yàn)椤螦EF＋∠FEG＋∠BEG＝180°，∠AEF＝40°，
所以∠BEG＝180°－∠AEF－∠FEG＝50°.
因?yàn)锳B∥CD，所以∠EGF＝∠BEG＝50°.故選C.
知識(shí)點(diǎn)3 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
6.[2023·重慶]如圖，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，則 ∠2的度數(shù)為(　A　)
因?yàn)锳B∥CD，所以∠BAC＋∠1＝180°.
因?yàn)椤?＝55°，所以∠BAC＝125°.
因?yàn)锳D⊥AC，所以∠CAD＝90°，
所以∠2＝∠BAC－∠CAD＝35°.
7.[2023·陜西]如圖，l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，則∠2 的度數(shù)為(　A　)
因?yàn)椤?＝108°，所以∠3＝∠1＝108°.
所以∠3＋∠A＝180°，∠2＝∠B，
所以∠A＝180°－∠3＝72°.
因?yàn)椤螦＝2∠B，所以∠B＝36°，所以∠2＝36°.故選A.
8.[2023·綏化]將一副三角板按如圖所示擺放在一組平行線 內(nèi)，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為(　C　)
如圖，由題意可得∠CAE＝90°，∠ACF＝45°.
所以∠BAC＝∠1＋∠CAE＝115°.
所以∠BAC＋∠ACD＝180°，
所以∠ACD＝180°－∠BAC＝65°，
所以∠3＝180°－∠ACD－∠ACF＝70°，
易錯(cuò)點(diǎn) 利用平行線的性質(zhì)時(shí)易忽視“兩直線平行”這一前提 而出錯(cuò)9.已知∠1與∠2是同旁內(nèi)角.若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是 (　D　)
本題易忽略利用平行線的性質(zhì)的前提而誤用平行線的性 質(zhì).本題沒有說明兩直線平行，因此同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系是不 確定的.
利用平行線的性質(zhì)求角
10.如圖，AB∥CD，三角形EFG的頂點(diǎn)F，G分別落在直線 AB，CD上，GE交AB于點(diǎn)H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝ 90°，∠E＝35°，求∠EFB的度數(shù).
【解】在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，所以∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.因?yàn)镚E平分∠FGD，所以∠EGF＝∠EGD＝55°.因?yàn)锳B∥CD，所以∠EHB＝∠EGD＝55°.又因?yàn)椤螮HB＝180°－∠AHE＝∠EFB＋∠E，所以∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.
利用平行線的性質(zhì)說明兩角互補(bǔ)
11.如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2. (1)試說明EF∥AD；
【解】因?yàn)锳D⊥BC，EF⊥BC，所 以EF∥AD.
(2)試說明∠BAC＋∠AGD＝180°.
【解】因?yàn)镋F∥AD，所以∠1＝∠BAD.又因?yàn)椤?＝∠2，所以∠2＝∠BAD，所以DG∥BA，所以∠BAC＋∠AGD＝180°.
利用平行線的性質(zhì)說明角的關(guān)系
12.如圖，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3.AD是 ∠BAC的平分線嗎？若是，請(qǐng)說明理由.
【解】AD是∠BAC的平分線.理由如下：因?yàn)锳D⊥BC，EG⊥BC，所以EG∥AD.所以∠3＝∠1，∠E＝∠2.又因?yàn)椤螮＝∠3，所以∠1＝∠2，即AD是∠BAC的平分線.
利用平行線的判定和性質(zhì)判斷兩直線的位置關(guān) 系
13.[2023·金華]如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度 數(shù)是(　C　)
如圖，因?yàn)椤?＝∠3＝50°，
所以a∥b.所以∠5＋∠2＝180°.
因?yàn)椤?＝50°，所以∠5＝130°.
所以∠4＝∠5＝130°.故選C.
利用平行線的判定和性質(zhì)探求角的關(guān)系
14. [新考法 構(gòu)造基礎(chǔ)圖形法] (1)如圖①，若AB∥DE，∠B ＝135°，∠D＝145°，求∠BCD的度數(shù).
【解】如圖①，過點(diǎn)C作CG∥AB，所以∠B＋∠BCG＝180°.因?yàn)锳B∥DE，所以CG∥DE.所以∠GCD＋∠D＝180°.所以∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋ ∠BCD＋∠D＝360°.所以∠BCD＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°.
(2)如圖①，在AB∥DE的條件下，你能得出∠B， ∠BCD，∠D之間的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說明理由.
【解】∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由：因?yàn)镃G∥AB，所以∠B＋∠BCG＝180°.又因?yàn)锳B∥DE，所以CG∥DE.所以∠GCD＋∠D＝180°.所以∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.

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10.3 平行線的性質(zhì)

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