1.有關(guān)垂線或垂直的題目中，一定要明確垂線，直角與垂直 之間存在著“形影不離”的關(guān)系，只要知其一，即可得到 90°的角，并由此找到解題的切入點(diǎn).2.垂線的基本事實(shí)理解：(1)大前提是“在同一平面內(nèi)”； (2)“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯 一”；(3)“過一點(diǎn)”的“點(diǎn)”在直線“外”或在直線 “上”.
知識點(diǎn)1 垂直的定義1.如圖，若CD⊥EF，∠1＝∠2，則AB⊥EF，請說明理由 (補(bǔ)全解題過程).
解：因?yàn)镃D⊥EF，所以∠1＝ °(垂直的定義).所以∠2＝∠1＝ ?°.所以AB EF(垂直的定義).
2.已知在同一平面內(nèi)：①兩條直線相交成直角；②兩條直線 互相垂直；③一條直線是另一條直線的垂線.那么下列因果 關(guān)系：①→②③；②→①③；③→①②中，正確的有 (　D　)
3. [2023 江西 新趨勢 學(xué)科綜合]如圖，平面鏡MN放置在水 平地面CD上，墻面PD⊥CD于點(diǎn)D，一束光線AO照射到鏡 面MN上，反射光線為OB，點(diǎn)B在PD上，若∠AOC＝35°， 則∠OBD的度數(shù)為(　C　)
利用光的反射得∠BOD＝∠AOC＝35°，根據(jù)垂直的定 義得∠ODB＝90°，再利用三角形內(nèi)角和即可得出答案.
4.[2023·北京]如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°， 則∠BOC的大小為(　C　)
因?yàn)椤螦OC＝90°，∠AOD＝126°，
所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝36°.
因?yàn)椤螧OD＝90°，
所以∠BOC＝∠BOD－∠COD＝90°－36°＝54°.
知識點(diǎn)2 垂線的畫法5.下列選項(xiàng)中，利用三角尺過點(diǎn)P畫直線AB的垂線CD，畫法 正確的是(　C　)
6.過線段外一點(diǎn)畫這條線段的垂線，垂足在(　D　)
知識點(diǎn)3 垂線的基本事實(shí)7.[中考·河北]如圖，在平面內(nèi)作已知直線m的垂線，可作垂 線(　D　)
8.已知直線AB，CB，l在同一平面內(nèi)，若AB⊥l，垂足為B， CB⊥l，垂足也為B，則符合題意的圖形可以是(　C　)
過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.
易錯(cuò)點(diǎn) 考慮問題不全，忽視特殊情況而致錯(cuò)9.在同一平面內(nèi)，若A，C是直線l上兩點(diǎn)，B，D是直線l外兩 點(diǎn)，則過點(diǎn)A能畫 條直線與l垂直；過點(diǎn)B能畫 ? 條直線與l垂直；過C，D兩點(diǎn) (填“能”“不 能”或“不一定能”)畫一條直線與l垂直.
在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂 直.這里的“過一點(diǎn)”無論是指過直線上一點(diǎn)還是直線外一 點(diǎn)，結(jié)論都成立，所以前兩空均填1；第三空填“不一定 能”，因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，要過C，D兩點(diǎn)畫直線，直 線的位置就確定了，這條直線可能垂直于直線l，也可能不垂 直于直線l.
利用垂直定義判斷兩直線的位置關(guān)系
10.(1)如圖①，OC是∠AOE內(nèi)的一條射線，OB是∠AOC的平 分線，OD是∠COE的平分線，∠AOE＝120°，則∠BOD 的度數(shù)為 ?；
因?yàn)镺B是∠AOC的平分線，
因?yàn)椤螦OE＝120°，
(2)如圖②，點(diǎn)A，O，E在一條直線上，OB是∠AOC的平分 線，OD是∠COE的平分線，請說明OB⊥OD.
利用垂線說明兩角的關(guān)系
11. [新考法 猜想驗(yàn)證法]已知：如圖，OA⊥OC于點(diǎn)O， OB⊥OD于點(diǎn)O，∠BOC＝24°.
(1)∠AOD的度數(shù)為 ?；
因?yàn)镺A⊥OC，∠BOC＝24°，
所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－24°＝66°.
因?yàn)镺B⊥OD，所以∠BOD＝90°.
所以∠AOD＝∠BOD＋∠AOB＝90°＋66°＝156°.
【解】因?yàn)镺A⊥OC，∠BOC＝α，所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－α.因?yàn)镺B⊥OD，所以∠BOD＝90°.所以∠AOD＝∠BOD＋∠AOB＝90°＋90°－α＝180°－α.
(2)若∠BOC＝α(0°＜α＜90°)，其他條件不變，求∠AOD的 度數(shù)；
【解】 ∠BOC與∠AOD是互補(bǔ)關(guān)系.證明如下：根據(jù)(1)(2)的計(jì)算結(jié)果，可知∠AOD＝180°－α，∠BOC＝α，所以∠AOD＋∠BOC＝180°，即∠BOC與∠AOD是互補(bǔ)關(guān)系.
(3)根據(jù)(1)(2)的計(jì)算結(jié)果，在(2)的條件下，推斷∠BOC與 ∠AOD的關(guān)系，并證明.
利用垂線的性質(zhì)探求兩角關(guān)系
12. [新考法 操作度量法]點(diǎn)P與∠A的位置關(guān)系如圖.(1)在圖①、圖②、圖③中，以P為頂點(diǎn)作出∠P(0°＜∠P ＜180°)，使∠P的兩邊所在的直線分別和∠A的兩邊垂直.
(2)量一量∠P和∠A的度數(shù)，分別寫出∠P與∠A的數(shù) 量關(guān)系.在圖①中，∠P＝ ?；在圖②中，∠P＝ ?；在圖③中，∠P＝ ?.
180°－∠A或∠A　
∠A或180°－∠A　
利用垂直的定義探求角度的大小
13. [2023 金昌 新考法 傳承數(shù)學(xué)文化]漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻(xiàn)，書中記載了我國古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就.其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”， 是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”.
為了探清一口深井的底部情況，運(yùn)用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線AB與地面CD所成夾角∠ABC＝50°時(shí)，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡EF與地面的夾角∠EBC＝(　B　)

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10.1 相交線

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