專(zhuān)項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(六) 因式分解的方法 類(lèi)型一　用提公因式法因式分解 1.(2023湖南株洲茶陵期中)因式分解:(M7212002) (1)3x2-6x+12xy. (2)(x-y)3+4x(x-y)2. 類(lèi)型二　用公式法因式分解 2.因式分解: (1)19m2+23mn+n2. (2)(2m-n)2-6n(2m-n)+9n2. (3)(x2+9)2-36x2. 類(lèi)型三　綜合運(yùn)用提公因式法與公式法因式分解 3.(2023山東青島即墨期中)將下面各式因式分解: (1)-3a2b+12ab-12b. (2)n2(m-2)+16(2-m). 類(lèi)型四　用分組分解法因式分解 4.(2023山東濟(jì)南市中期中節(jié)選)閱讀下列材料:某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”活動(dòng)中,研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法,但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解,如:“m2-mn+2m-2n”,細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn),前兩項(xiàng)可以提取公因式,后兩項(xiàng)也可提取公因式,前后兩部分分別分解因式后產(chǎn)生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了,過(guò)程為m2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+2).該“社團(tuán)”將此種因式分解的方法叫做“分組分解法”,請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下,解決以下問(wèn)題:(M7212002) (1)分解因式:a3-3a2-6a+18. (2)已知m+n=5,m-n=1,求m2-n2-2n+2m的值. (3)分解因式:m2-a2+2m+2a. 類(lèi)型五　用十字交叉相乘法因式分解 5.【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)試題】(2023湖南永州寧遠(yuǎn)期中) 提出問(wèn)題: 你能把多項(xiàng)式x2+5x+6因式分解嗎? 探究問(wèn)題: 如圖1所示,已知a,b為常數(shù),由面積相等可得(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab,將該式從右到左使用,就可以對(duì)形如x2+(a+b)x+ab的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).觀察發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式x2+(a+b)x+ab的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為1,常數(shù)項(xiàng)為兩數(shù)之積,一次項(xiàng)系數(shù)為兩數(shù)之和. 解決問(wèn)題: x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+3)(x+2). 運(yùn)用結(jié)論:(M7212002) (1)基礎(chǔ)運(yùn)用:對(duì)多項(xiàng)式x2-5x-24進(jìn)行因式分解. (2)知識(shí)遷移:對(duì)多項(xiàng)式4x2-4x-15進(jìn)行因式分解還可以這樣思考:將二次項(xiàng)4x2分解成圖2中的兩個(gè)2x的積,再將常數(shù)項(xiàng)-15分解成-5與3的乘積,圖中的對(duì)角線(xiàn)上的乘積的和為-4x,就是4x2-4x-15的一次項(xiàng),所以有4x2-4x-15=(2x-5)(2x+3),這種分解因式的方法叫做“十字相乘法”.請(qǐng)用十字相乘法進(jìn)行因式分解:3x2-19x-14. 　 類(lèi)型六　換元法 6.閱讀下列材料: 因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1. 解:將“x+y”看成整體,令x+y=A, 則原式=A2+2A+1=(A+1)2, 再將“A”還原,得原式=(x+y+1)2. 上述解題過(guò)程用到了“整體思想”,整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法,請(qǐng)你解答下列問(wèn)題: (1)因式分解:9+6(x-y)+(x-y)2=　　　　.? (2)因式分解:(a+b)(a+b-8)+16. (3)證明:若n為正整數(shù),則式子(n+1)(n+2)·(n+3)(n+4)+1的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方. 答案全解全析 1.解析　(1)3x2-6x+12xy=3x(x-2+4y). (2)(x-y)3+4x(x-y)2 =(x-y)2(x-y+4x) =(x-y)2(5x-y). 2.解析　(1)原式=13m2+2·13m·n+n2 =13m+n2. (2)原式=(2m-n)2-2·3n·(2m-n)+(3n)2=(2m-n-3n)2=(2m-4n)2=4(m-2n)2. (3)(x2+9)2-36x2 =(x2+9+6x)(x2+9-6x) =(x+3)2(x-3)2. 3.解析　(1)-3a2b+12ab-12b =-3b(a2-4a+4) =-3b(a-2)2. (2)n2(m-2)+16(2-m) =(n2-16)(m-2) =(n+4)(n-4)(m-2). 4.解析　(1)a3-3a2-6a+18 =a2(a-3)-6(a-3) =(a-3)(a2-6). (2)m2-n2-2n+2m =(m2-n2)-(2n-2m) =(m+n)(m-n)-2(n-m) =(m+n)(m-n)+2(m-n) =(m-n)(m+n+2), ∵m+n=5,m-n=1, ∴原式=1×(5+2)=7. (3)原式=(m2+2m+1)-(a2-2a+1) =(m+1)2-(a-1)2=(m+a)(m-a+2). 5.解析　(1)x2-5x-24=x2+(3-8)x+3×(-8) =(x+3)(x-8). (2)用十字相乘法進(jìn)行因式分解,如圖, 3x2-19x-14=(x-7)(3x+2). 6.解析　(1)將“x-y”看成整體,令x-y=A, 則原式=A2+6A+9=(A+3)2, 再將“A”還原,得原式=(x-y+3)2, 故答案為(x-y+3)2. (2)將“a+b”看成整體,令a+b=A, 則原式=A(A-8)+16=A2-8A+16=(A-4)2, 再將“A”還原,得原式=(a+b-4)2. (3)證明:(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1 =[(n+1)(n+4)]·[(n+2)(n+3)]+1 =(n2+5n+4)(n2+5n+6)+1, 令n2+5n=A, 則原式=(A+4)(A+6)+1 =A2+10A+25 =(A+5)2 =(n2+5n+5)2, ∵n為正整數(shù),∴n2+5n+5是整數(shù), ∴式子(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方.

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