第2課時 完全平方公式
基礎(chǔ)過關(guān)全練
知識點2 完全平方公式
8.(2023福建寧德期中)計算(x-3)2的結(jié)果是( )
A.x2-9 B.x2-3x+9
C.x2-6x+9 D.x2-6x-9
9.(2023河北石家莊四十一中模擬)與(-x-1)2相等的(M7208003)( )
A.-x2-1 B.x2+1
C.x2+2x+1 D.-x2-2x-1
10.(2023河北任丘模擬)小虎在利用完全平方公式計算時,墨水不小心灑出,將式子的兩項染黑:(2x+■)2=4x2+24xy+■,則被染黑的最后一項應(yīng)該是( )
A.3y B.9y
C.9y2 D.36y2
11.(2023河北張家口橋西三模)對1022變形正確的是( )
A.1022=1002+22
B.1022=1002-2×100×2+22
C.1022=1002+2×100×2+22
D.1022=1002+100×2+22
12.【一題多變·已知x+y和xy,求x2+y2】已知x+y=3,xy=2,則x2+y2的值為( )
A.5 B.9 C.7 D.6
[變式1·已知x+y和xy,求(x-y)2]已知x+y=7,xy=10,則(x-y)2的值為( )
A.3 B.9 C.49 D.100
[變式2·已知x-y和xy,求(x+y)2]已知x-y=3,xy=3,則(x+y)2的值為( )
A.24 B.18 C.21 D.12
13.【新考法】(2023河南平頂山期中)根據(jù)如圖所示的圖形的面積,可以得到的數(shù)學公式是( )
A.a(a-b)=a2-ab B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.a(a+b)=a2+ab D.(a-b)2=a2-2ab+b2

第13題圖 第14題圖
14.【教材變式·P91A組T5】(2023山東青島五十九中期中)如圖,兩個正方形的泳池,面積分別是S1和S2,兩個泳池的面積之和為S1+S2=16,點B是線段CG上一點,CG=6,在陰影部分鋪上防滑瓷磚,則所需防滑瓷磚的面積為( )
A.5 B.4 C.8 D.10
15.【新獨家原創(chuàng)】一個正方形的邊長為a(a>5),小紅把正方形的每條邊長都增加3,得到一個新的正方形;小強把原正方形的一組對邊分別增加5,另一組對邊分別減少5,得到一個長方形,且變化后小紅得到的正方形的面積比小強得到的長方形的面積多70,則原正方形的邊長是 .
16.計算:(1)(2a+5b)2; (2)12x-2y2;
(3)(-4a+3b)2; (4)(-x-2y)2.
17.以下是嘉琪化簡代數(shù)式(a-2)2+(a+1)(a-1)-2a(a-3)的過程.
解:原式=a2-2a+4+a2-1-2a2+6a①
=(a2+a2-2a2)+(-2a+6a)+(4-1)②
=4a+3.③
(1)嘉琪的化簡過程在第 步開始出錯,錯誤的原因是
;
(2)請你幫助嘉琪寫出正確的化簡過程,并計算當a=-14時代數(shù)式的值.
能力提升全練
18.(2023四川成都中考,3,★★☆)下列計算正確的是( )
A.(-3x)2=-9x2 B.7x+5x=12x2
C.(x-3)2=x2-6x+9 D.(x-2y)(x+2y)=x2+4y2
19.(2023河北樂亭期中,15,★★☆)若a2-b2=4,則(a+b)2(a-b)2的值是( )
A.24 B.16 C.8 D.4
20.(2023河北邯鄲永年期中,15,★★☆)已知x-y=5,-xy=4,則x2+y2的值為( )
A.10 B.17 C.26 D.33
21.(2023內(nèi)蒙古赤峰中考,7,★★☆)已知2a2-a-3=0,則(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2的值是( )
A.6 B.-5 C.-3 D.4
22.(2023河北正定期中,18,★★☆)圖1是一個長為2a,寬為2b的長方形紙片(a>b),用剪刀沿圖中虛線(對稱軸)剪開,把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形紙片,然后用四塊小長方形紙片拼成如圖2所示的正方形.
(1)圖2中,中間空余部分的小正方形的邊長可表示為 ;
(2)由圖2可以直接寫出(a+b)2,(a-b)2,ab之間的一個等量關(guān)系: .

圖1 圖2
23.(2023河北石家莊四十中期中,19,★★☆)如圖,以長方形ABCD的各邊為邊向外作正方形,若四個正方形的周長之和為56,面積之和為58,則長方形ABCD的面積為 .
24.(2023湖南邵陽中考,20,★★☆)先化簡,再求值:(a-3b)(a+3b)+(a-3b)2.其中a=-3,b=13.(M7208003)
25.(2023四川涼山州中考,18,★★☆)先化簡,再求值:(2x+y)2-(2x+y)(2x-y)-2y(x+y).其中x=122 023,y=22 022.
26.(2022河北中考,22,★★☆)
發(fā)現(xiàn) 兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù),且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和.
驗證 如,(2+1)2+(2-1)2=10,10為偶數(shù),請把10的一半表示為兩個正整數(shù)的平方和.
探究 設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個已知正整數(shù)分別為m,n,請論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確.
素養(yǎng)探究全練
27.【運算能力】閱讀以下材料:
利用整式的乘法知識,我們可以證明以下有趣的結(jié)論:將兩個有理數(shù)的平方和與另兩個有理數(shù)的平方和相乘,得到的乘積仍然可以表示成兩個有理數(shù)的平方和.
設(shè)a,b,c,d為有理數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(a2d2-2abcd+b2c2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.
請你解決以下問題:
(1)填空:(a2+b2)(c2+d2)=(ac-bd)2+( )2;
(2)根據(jù)閱讀材料,得130=13×10=(22+32)×(12+32)=(2×1+3×3)2+(2×3-3×1)2=112+32,仿照這個過程將650寫成兩個正整數(shù)的平方和;
(3)將20 182 018表示成兩個正整數(shù)的平方和(直接寫出一種答案即可).
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
8.C 根據(jù)完全平方公式可得(x-3)2=x2-6x+9.故選C.
9.C (-x-1)2=(x+1)2=x2+2x+1.故選C.
10.D ∵(2x+■)2=4x2+24xy+■=4x2+2×2x×6y+■,
∴被染黑的最后一項應(yīng)該是(6y)2=36y2.故選D.
11.C 1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22.故選C.
12.A ∵x+y=3,xy=2,∴x2+y2=(x+y)2-2xy=32-2×2=5,故選A.
[變式1] B ∵x+y=7,xy=10,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=72-4×10=9,故選B.
[變式2] C ∵x-y=3,xy=3,∴(x+y)2=(x-y)2+4xy=32+4×3=21,故選C.
13.B 本題借助幾何圖形的面積考查對完全平方公式的理解.最大的正方形的邊長是a+b,因此面積為(a+b)2,構(gòu)成最大的正方形的四個部分的面積和為a2+2ab+b2,所以(a+b)2=a2+2ab+b2,故選B.
14.A 設(shè)正方形ABCD的邊長為a,正方形BEFG的邊長為b,則a+b=CG=6,a2+b2=S1+S2=16,
∵(a+b)2=a2+2ab+b2,∴36=16+2ab,∴ab=10,
∴S陰影部分=12ab=5,故選A.
15.6
解析 根據(jù)題意可得小紅得到的正方形的面積為(a+3)2,小強得到的長方形的面積為(a+5)(a-5),則(a+3)2-(a+5)(a-5)=a2+6a+9-(a2-25)=a2+6a+9-a2+25=6a+34=70,解得a=6.
16.解析 (1)原式=4a2+20ab+25b2.
(2)原式=14x2-2xy+4y2.
(3)原式=16a2-24ab+9b2.
(4)原式=x2+4xy+4y2.
17.解析 (1)①;完全平方公式運用錯誤.
(2)(a-2)2+(a+1)(a-1)-2a(a-3)=a2-4a+4+a2-1-2a2+6a=2a+3.
當a=-14時,原式=2×-14+3=52.
能力提升全練
18.C (-3x)2=9x2,7x+5x=12x,(x-3)2=x2-6x+9,
(x-2y)(x+2y)=x2-4y2.故選C.
19.B (a+b)2(a-b)2=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2,
∵a2-b2=4,∴原式=42=16.故選B.
20.B ∵-xy=4,∴xy=-4,
∵x-y=5,∴(x-y)2=25,
即x2-2xy+y2=25,
∴x2+y2=25+2xy=25+2×(-4)=17.故選B.
21.D 原式=(2a)2-32+(2a)2-4a+1=2×(2a)2-4a-32+1=8a2-4a-9+1=8a2-4a-8
=4(2a2-a)-8.
∵2a2-a-3=0,∴2a2-a=3,
∴原式=4(2a2-a)-8=4×3-8=4.故選D.
22.(1)a-b (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab
解析 (1)中間空余部分的小正方形的邊長可表示為a-b.
(2)由大正方形的面積可得(a+b)2=(a-b)2+4ab.
23.10
解析 設(shè)AB=DC=x,AD=BC=y,
由題意得2×4x+2×4y=56,2x2+2y2=58,
化簡,得x+y=7①,x2+y2=29②,
將①等號兩邊同時平方再減去②,得2xy=20,
∴xy=10,
即長方形ABCD的面積為10.
24.解析 (a-3b)(a+3b)+(a-3b)2
=a2-(3b)2+(a2-6ab+9b2)
=a2-9b2+a2-6ab+9b2
=2a2-6ab,
當a=-3,b=13時,原式=2×(-3)2-6×(-3)×13=24.
25.解析 (2x+y)2-(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
=4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2=2xy,
當x=122 023,y=22 022時,
原式=2×122 023×22 022=2×12×122 022×22 022
=2×12×12×22 022=2×12×12 022=2×12×1=1.
26.解析 驗證:10的一半為5,5=1+4=12+22.
探究:(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),
故兩個已知正整數(shù)之和與這兩個正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù),且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩個正整數(shù)的平方和.
素養(yǎng)探究全練
27.解析 (1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2-2abcd+b2d2)+(a2d2+2abcd+b2c2)
=(ac-bd)2+(ad+bc)2.
(2)650=65×10=(82+12)×(12+32)=(8×1+1×3)2+(8×3-1×1)2=112+232.
(3)20 182 018=2 018×10 001=(432+132)×(1002+12)=(43×100+13×1)2+(43×1-13×100)2=4 3132+
1 2572.(答案不唯一)

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8.5 乘法公式

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