第2課時(shí) 用完全平方公式分解因式
基礎(chǔ)過關(guān)全練
知識(shí)點(diǎn)2 利用完全平方公式進(jìn)行因式分解
12.(2023河北石家莊長(zhǎng)安月考)下列各式能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是(M7211002)( )
A.x2+4x+4 B.x2+x+1
C.4x2+4x-1 D.x2+2x-1
13.(2023河南南陽(yáng)模擬)多項(xiàng)式m2-4m+4因式分解的結(jié)果是( )
A.m(m-4)+4 B.(m+2)(m-2)
C.(m+2)2 D.(m-2)2
14.(2023廣東佛山期中)若a+b-1=0,則3a2+6ab+3b2的值是( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
15.【一題多變·求完全平方式中的常數(shù)】如果x2-6x+k(k是常數(shù))是完全平方式,那么k的值為( )
A.3 B.9
C.12 D.18
[變式1·求2ab項(xiàng)中的未知數(shù)]已知x2-2mx+9是完全平方式,則m的值為( )
A.±3 B.3
C.±6 D.6
[變式2·已知兩項(xiàng)求第三項(xiàng)]在多項(xiàng)式x2+4+ 的空中,添加一個(gè)含x的單項(xiàng)式,使得它對(duì)任意的x都是完全平方式,則可以添加的單項(xiàng)式有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
16.把下列各式分解因式:
(1)m2-10m+25; (2)4x2-12x+9;
(3)-12xy+x2+36y2; (4)8a-4a2-4.
17.【教材變式·P152T4】請(qǐng)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:2 0222-4 044×2 021+
2 0212.
知識(shí)點(diǎn)3 利用公式法分解因式
18.(2023安徽六安期中)用公式法分解因式:①x2+xy+y2=(x+y)2;②-x2+2xy-y2=-(x-y)2;③x2+6xy-9y2=(x-3y)2;
④-x2+14=12+x12-x.其中,正確的有(M7211002)( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
19.【一題多解】【新考向·代數(shù)推理】代數(shù)式a2(a2-1)-a2+1的值( )
A.不是負(fù)數(shù) B.恒為正數(shù)
C.恒為負(fù)數(shù) D.不等于0
20.計(jì)算:17×512-492×17= .
21.分解因式:
(1)a3-4ab2; (2)x3-2x2y+xy2 ;
(3)(x2+y2)2-4x2y2; (4)81x4-72x2y2+16y4.
能力提升全練
22.(2023浙江杭州中考,3,★☆☆)分解因式:4a2-1=( )
A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1)
23.(2020河北中考,9,★★☆)若(92-1)×(112-1)k=8×10×12,則k=( )
A.12 B.10
C.8 D.6
24.【一題多解】(2023河北中考,6,★★☆)若k為任意整數(shù),則(2k+3)2-4k2的值總能( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
25.(2023河北灤州模擬,4,★★☆)計(jì)算:1252-50×125+252=( )
A.100 B.150 C.10 000 D.22 500
26.(2023河北廊坊安次期末,12,★★☆)若x2+(m-3)x+4能用完全平方公式進(jìn)行因式分解,則常數(shù)m的值為( )
A.1或5 B.7或-1 C.5 D.7
27.(2023河北雄安新區(qū)模擬,12,★★☆)小李在計(jì)算2 0232 023-2 0232 021時(shí),發(fā)現(xiàn)其計(jì)算結(jié)果能被三個(gè)連續(xù)整數(shù)整除,則這三個(gè)連續(xù)整數(shù)是( )
A.2 023,2 024,2 025 B.2 022,2 023,2 024
C.2 021,2 022,2 023 D.2 020,2 021,2 022
28.【易錯(cuò)題】(2023河北順平期末,16,★★☆)已知a,b,c是△ABC三條邊的長(zhǎng),且滿足a2+bc=b2+ac,則△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
29.(2023北京中考,10,★★☆)分解因式:x2y-y3= .
30.(2023湖南懷化中考,12,★★☆)分解因式:2x2-4x+2= .
31.(2023河北石家莊藁城期末,22,★★☆)分解因式.
(1)12a2-3b2; (2)4x2-4x(x+y)+(x+y)2.
32.(2023河北唐山路南模擬,22,★★☆)如圖,約定:上方相鄰兩整式之和等于這兩個(gè)整式下方箭頭共同指向的整式.
(1)求整式M,P;
(2)將整式P因式分解;
(3)P的最小值為 .
素養(yǎng)探究全練
33.【運(yùn)算能力】【新課標(biāo)例66變式】(2023河北廣陽(yáng)模擬)如果a,b都是非零整數(shù),且a=4b,那么就稱a是“4倍數(shù)”.
(1)30到35之間的“4倍數(shù)”是 .
小明說:232-212是“4倍數(shù)”.嘉淇說:122-6×12+9也是“4倍數(shù)”.他們誰(shuí)說得對(duì)? .
(2)設(shè)x是不為零的整數(shù).
①x(x+1)是 的倍數(shù)(除了x和x+1).
②任意兩個(gè)連續(xù)的“4倍數(shù)”的積可表示為 ,它 32的倍數(shù)(填“是”或“不是”).
(3)設(shè)三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)數(shù)是2n(n是整數(shù)),寫出它們的平方和,并說明它們的平方和是“4倍數(shù)”.
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
12.A x2+4x+4=(x+2)2,故A符合題意.B、C、D選項(xiàng)中的多項(xiàng)式均不符合完全平方式的形式.故選A.
13.D m2-4m+4=(m-2)2.故選D.
14.D ∵a+b-1=0,∴a+b=1,
∴3a2+6ab+3b2=3(a2+2ab+b2)=3(a+b)2=3×12=3.
故選D.
15.B ∵(x-3)2=x2-6x+9,∴k=9,故選B.
[變式1] A ∵x2-2mx+9是完全平方式,
∴-2m=±6,∴m=±3,故選A.
[變式2] C ∵x2±4x+4=(x±2)2,
∴添加的含x的單項(xiàng)式可以是4x,-4x.
∵116x4+x2+4=14x2+22,
∴添加的含x的單項(xiàng)式可以是116x4.
綜上所述,可以添加的單項(xiàng)式有3個(gè).故選C.
16.解析 (1)m2-10m+25=m2-2·m·5+52=(m-5)2.
(2)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2.
(3)-12xy+x2+36y2=x2-12xy+36y2=(x-6y)2.
(4)8a-4a2-4=-4a2+8a-4=-4(a2-2a+1)=-4(a-1)2.
17.解析 2 0222-4 044×2 021+2 0212
=(2 022-2 021)2=1.
18.B x2+2xy+y2=(x+y)2,故①不正確;
-x2+2xy-y2=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2,故②正確;
x2-6xy+9y2=(x-3y)2,故③不正確;
-x2+14=12+x12-x,故④正確.
正確的有2個(gè),故選B.
19.A 解法一(提公因式法):
∵a2(a2-1)-a2+1
=a2(a2-1)-(a2-1)
=(a2-1)(a2-1)
=(a2-1)2≥0,
∴代數(shù)式a2(a2-1)-a2+1的值不是負(fù)數(shù).故選A.
解法二(公式法):
∵a2(a2-1)-a2+1
=a4-a2-a2+1
=a4-2a2+1
=(a2-1)2≥0,
∴代數(shù)式a2(a2-1)-a2+1的值不是負(fù)數(shù).故選A.
20.3 400
解析 17×512-492×17=17×(512-492)=17×(51+49)×(51-49)=17×100×2=
3 400.
21.解析 (1)a3-4ab2=a(a2-4b2)=a(a+2b)(a-2b).
(2)x3-2x2y+xy2=x(x2-2xy+y2 )=x(x-y)2.
(3)(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2.
(4)81x4-72x2y2+16y4=(9x2-4y2)2=(3x+2y)2·(3x-2y)2.
能力提升全練
22.A 4a2-1=(2a)2-12=(2a-1)(2a+1).故選A.
23.B 方程兩邊都乘k,得(92-1)×(112-1)=8×10×12k,
∴(9+1)×(9-1)×(11+1)×(11-1)=8×10×12k,
∴10×8×12×10=8×10×12k,∴k=10.故選B.
24.B 解法一(利用完全平方公式化簡(jiǎn)):
(2k+3)2-4k2=4k2+12k+9-4k2=12k+9=3(4k+3),
∵k為任意整數(shù),
∴(2k+3)2-4k2的值總能被3整除,故選B.
解法二(利用平方差公式分解因式):
(2k+3)2-4k2=(2k+3+2k)(2k+3-2k)=3(4k+3),
∵k為任意整數(shù),
∴(2k+3)2-4k2的值總能被3整除,故選B.
25.C 1252-50×125+252=(125-25)2=10 000.故選C.
26.B ∵x2+(m-3)x+4能用完全平方公式進(jìn)行因式分解,
∴m-3=±4,解得m=-1或7.故選B.
27.B ∵2 0232 023-2 0232 021=2 0232 021×(2 0232-1)
=2 0232 021×(2 023-1)×(2 023+1)
=2 0232 021×2 022×2 024,
∴計(jì)算結(jié)果能被2 022,2 023,2 024整除,故選B.
28.A 由a2+bc=b2+ac,可得a2-b2=ac-bc,
兩邊分別因式分解,可得(a+b)(a-b)=c(a-b),
移項(xiàng),得(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,
即(a-b)(a+b-c)=0,
∵a+b-c≠0,
∴a-b=0,即a=b,
∴△ABC為等腰三角形.故選A.
本題的易錯(cuò)點(diǎn)是兩邊分別分解因式后,兩邊同時(shí)除以a-b,這是不正確的,因?yàn)楫?dāng)a=b時(shí),a-b=0,所以兩邊不能同時(shí)除以a-b.
29.y(x+y)(x-y)
解析 x2y-y3=y(x2-y2)=y(x+y)(x-y).
30.2(x-1)2
解析 2x2-4x+2=2(x2-2x+1)=2(x-1)2.
31.解析 (1)12a2-3b2=3(4a2-b2)=3(2a+b)(2a-b).
(2)4x2-4x(x+y)+(x+y)2=[2x-(x+y)]2=(x-y)2.
32.解析 (1)M=(3x2-4x-20)-3x(x-3)
=3x2-4x-20-3x2+9x
=5x-20.
P=3x2-4x-20+(x+2)2
=3x2-4x-20+x2+4x+4
=4x2-16.
(2)P=4x2-16=4(x2-4)=4(x+2)(x-2).
(3)∵P=4x2-16,x2≥0,
∴當(dāng)x=0時(shí),P取得最小值,為-16.
素養(yǎng)探究全練
33.解析 (1)32=4×8.
232-212=(23+21)(23-21)=44×2=4×22,
122-6×12+9=(12-3)2=81.
故答案為32;小明.
(2)①2.
②4x(4x+4)(或16x(x+1));是.
(3)三個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n-2,2n,2n+2,
(2n-2)2+(2n)2+(2n+2)2
=4n2-8n+4+4n2+4n2+8n+4
=12n2+8=4(3n2+2),
∵n為整數(shù),∴4(3n2+2)是“4倍數(shù)”.
故這三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和是“4倍數(shù)”.

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