第24章學(xué)情評估 一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分) 1．下列天氣圖形符號中是中心對稱圖形的是(　　) 2．如果圓O的直徑為8 cm，點P到圓心O的距離為5 cm，那么點P與圓O的位置關(guān)系是(　　) A．點P在圓O外 B．點P在圓O上 C．點P在圓O內(nèi) D．不能確定 3．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(2m，－5)與點(－2，2n－1)關(guān)于原點對稱，則m－n的值是(　　) A．－4 B．－2 C．3 D．－3 4．如圖，AC是⊙O的直徑，點B，D在⊙O上，AB＝AD，∠AOB＝60°，則∠CDO的度數(shù)是(　　) A．60° B．45° C．35° D．30° (第4題)　　　(第5題) 5．如圖，將△ABC繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，則點P的坐標(biāo)是(　　) A．(1，1) B．(1，2) C．(1，3) D．(1，4) 6．下列說法正確的是(　　) A．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等 B．三點確定一個圓 C．平分弦的直徑垂直于弦 D．同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等 7．如圖，一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5 cm，瓶內(nèi)液體的最大深度CD＝2 cm，則截面圓中弦AB的長為(　　) (第7題) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 8．如圖，⊙O的周長為6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG等于(　　) A．3 eq \r(3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(3 \r(3),2) D．3 (第8題)　　　(第9題) 9．如圖，直線y＝－eq \r(3)x＋3 eq \r(3)與x軸、y軸分別交于A，B兩點，P(1，0)，⊙P與y軸相切于點O，將⊙P向上平移m個單位，當(dāng)⊙P與直線AB第一次相切時，m的值是(　　) A．2 eq \r(3)－2 B．2 eq \r(3) C．3 eq \r(3)－3 D．2 eq \r(3)－3 10．如圖，矩形ABCD的頂點A，C在半徑為5的⊙O上，D(2，1)，當(dāng)點A在⊙O上運動時，點C也隨之運動，則矩形ABCD的對角線AC的長度的最小值為(　　) A．2 eq \r(5) B．10－eq \r(5) C．10＋eq \r(5) D．10－2 eq \r(5) (第10題)　　(第11題) 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 11．如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，若∠AOB＝∠COD，AB＝2，則CD＝________． 12．如圖，△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是__________． (第12題) 13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P，若∠P＝40°，則∠ADC＝________°. (第13題)　　　(第14題) 14.如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C. (1)∠C的度數(shù)是________； (2)△ABC的最大面積是________． 三、(本大題共2小題，每小題8分，共16分) 15．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點E，∠ADC＝26°，求∠CAB的度數(shù)． 　(第15題) 16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)． (1)畫出△ABC關(guān)于原點成中心對稱的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標(biāo)； (2)畫出將△A1B1C1繞點C1按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°所得的△A2B2C1. (第16題) 四、(本大題共2小題，每小題8分，共16分) 17．如果從半徑為5 cm的圓形紙片上剪去弧長為eq \f(1,5)圓周長的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐(接縫處不重疊)，求這個圓錐的高． 18．如圖，在△ABC中，D是BC上一點，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過點A，且∠CAD＝∠ABC. (1)請判斷直線AC是不是⊙O的切線，并說明理由． (2)若CD＝2，CA＝4，求⊙O的直徑． 　(第18題) 五、(本大題共2小題，每小題10分，共20分) 19．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓切BC于點D，⊙O分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接OD. (1)求證：D為eq \o(EF,\s\up8(︵))的中點； (2)若AC＝5，BC＝12，求⊙O的直徑AE的長． 　(第19題) 20．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線，交CO的延長線于點P. (第20題) (1)求證：AP＝AC； (2)若AC＝3，求PC的長． 六、(本題滿分12分) 21．如圖，已知點A，B，C，D均在已知圓上，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠ADC＝120°，四邊形ABCD的周長為10. (1)求此圓的半徑； (2)求圖中陰影部分的面積． (第21題) 七、(本題滿分12分) 22．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接BC交⊙O于點F，取eq \o(BF,\s\up8(︵))的中點D，連接AD交BC于點E，過點E作EH⊥AB于點H. (1)求證：△HBE∽△ABC； (2)若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的長． 　(第22題) 八、(本題滿分14分) 23．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD∥AC，OD交⊙O于點E，且∠CBD＝∠COD.作CF⊥AB于點F，連接AD交CF于點G. (1)求證：BD是⊙O的切線； (2)若E為線段OD的中點，判斷以O(shè)，A，C，E為頂點的四邊形的形狀并證明； (3)求eq \f(FG,FC)的值． (第23題) 答案 一、1.B　2.A　3.B　4.D　5.B　6.D　7.C 8.C　點撥：設(shè)⊙O的半徑為R， ∴2πR＝6π，∴R＝3.連接OC和OD， 則OC＝OD＝3.∵六邊形ABCDEF是正六邊形， ∴∠COD＝eq \f(360°,6)＝60°，∴△OCD是等邊三角形， ∴OG垂直平分CD，CD＝OC＝3，∴CG＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(3,2)， ∴OG＝eq \r(OC2－CG2)＝eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq \f(3 \r(3),2). 9.A　思路點睛：求出點A，B的坐標(biāo)，得到OA，OB，AB的長，設(shè)⊙P平移后得到的⊙P′與直線AB相切于點E，與y軸相切于點F，連接P′E，P′F，P′A，P′B，PP′，則可知四邊形PP′FO是矩形，然后利用面積法求解即可. 10.A 二、11.2　12.（4，6）　13.115 14.（1）60°?。?）eq \f(\r(3),4) 三、15.解：連接BC.∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°.∵∠ABC＝∠ADC＝26°， ∴∠CAB＝90°－26°＝64°. 16.解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所作，其中點C1的坐標(biāo)為（－2，－1）. （第16題） （2）如圖所示，△A2B2C1即為所作. 四、17.解：∵從半徑為5 cm的圓形紙片上剪去弧長為eq \f(1,5)圓周長的一個扇形， ∴留下的扇形的弧長為eq \f(4×2π×5,5)＝8π（cm）. ∵圓錐底面圓的周長等于留下的扇形弧長， ∴圓錐的底面圓的半徑為eq \f(8π,2π)＝4（cm）， ∴圓錐的高為eq \r(52－42)＝3（cm）. 18.解：（1）直線AC是⊙O的切線，理由如下： 如圖所示，連接OA， （第18題） ∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∴∠OAB＋∠OAD＝90°. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC.又∵∠CAD＝∠ABC， ∴∠OAB＝∠CAD，∴∠OAD＋∠CAD＝90°. 又∵OA是半徑，∴直線AC是⊙O的切線. （2）在Rt△OAC中，由勾股定理得OC2＝AC2＋AO2， ∵CD＝2，CA＝4，∴OC＝OD＋CD＝OA＋CD＝OA＋2， ∴（OA＋2）2＝16＋OA2，∴OA＝3， ∴BD＝2OA＝6，∴⊙O的直徑為6. 五、19.（1）證明：如圖，連接AD， ∵OA＝OD，∴∠DAE＝∠ODA.∵BC與⊙O相切于點D， ∴∠ODB＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC， ∴∠DAF＝∠ODA，∴∠DAE＝∠DAF，∴eq \o(DE,\s\up8(︵))＝eq \o(DF,\s\up8(︵))， ∴D為eq \o(EF,\s\up8(︵))的中點. （第19題） （2）解：設(shè)OD＝OA＝OE＝r， ∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(52＋122)＝13. ∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC， ∴eq \f(OB,AB)＝eq \f(OD,AC)，∴eq \f(13－r,13)＝eq \f(r,5)，∴r＝eq \f(65,18)， ∴AE＝2r＝2×eq \f(65,18)＝eq \f(65,9)， ∴⊙O的直徑AE的長為eq \f(65,9). 20.（1）證明：如圖，連接OA. （第20題） 根據(jù)題意，得∠OAP＝90°.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.∵∠OAP＝90°，∠AOC＝120°， ∴∠P＝∠AOC－∠OAP＝120°－90°＝30°， ∴∠P＝∠OCA，∴AP＝AC. （2）解：∵AC＝3，∴AP＝AC＝3.∵∠OAP＝90°，∠P＝30°， ∴OA＝eq \r(3)，OP＝2 eq \r(3)，∴OC＝eq \r(3).∴PC＝OP＋OC＝3 eq \r(3). 六、21.解：（1）∵AD∥BC，∠ADC＝120°， ∴∠BCD＝60°，∠DAC＝∠ACB，∠B＝60°. ∵CA平分∠BCD， ∴∠DCA＝∠ACB＝∠DAC＝30°. ∴eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(CD,\s\up8(︵))，∠BAC＝90°， ∴BC是圓的直徑，BC＝2AB，AB＝AD＝CD. ∵四邊形ABCD的周長為10， ∴AB＝AD＝DC＝2，BC＝4. ∴此圓的半徑為2. （2）設(shè)BC的中點為O. 由（1）可知點O即為圓心，如圖所示， 連接OA，OD，過點O作OE⊥AD于點E， ∵OA＝OD＝AD＝2，∴∠AOD＝60°，∠OAD＝60°， ∴OE＝OA·sin 60°＝eq \r(3). ∴S陰影＝S扇形AOD－S△AOD＝eq \f(60×π×22,360)－eq \f(1,2)×2× eq \r(3)＝eq \f(2π,3)－eq \r(3). （第21題） 七、22.（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線， ∴CA⊥AB，又∵EH⊥AB，∴∠EHB＝∠CAB＝90°. ∵∠EBH＝∠CBA，∴△HBE∽△ABC. （2）解：如圖，連接AF.∵AB是⊙O的直徑， ∴易知∠AFB＝∠CFA＝90°.∵CF＝4，BF＝5， ∴CB＝9.∵∠C＝∠C，∠CFA＝∠CAB，∴△CAF∽△CBA， ∴eq \f(CA,CB)＝eq \f(CF,CA)，∴CA2＝CF·CB＝36，∴CA＝6（負(fù)值已舍去）， ∴AB＝eq \r(BC2－AC2)＝3 eq \r(5)，∴AF＝eq \r(AB2－BF2)＝2 eq \r(5). ∵D為eq \o(BF,\s\up8(︵))的中點，∴eq \o(DF,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵))，∴∠EAF＝∠EAH. ∵EF⊥AF，EH⊥AB， ∴EF＝EH.∵AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，∴AH＝AF＝2 eq \r(5)， 設(shè)EF＝EH＝x，在Rt△EHB中，由勾股定理得（5－x）2＝x2＋（3 eq \r(5)－2 eq \r(5)）2，解得x＝2，∴EH＝2. （第22題） 八、23.（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°， ∴∠ACO＋∠OCB＝90°. ∵OD∥AC，∠CBD＝∠COD，∴易得∠ACO＝∠CBD. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°， ∴OB⊥BD，∴BD為⊙O的切線. （2）解：四邊形OACE是菱形.證明：連接BE. ∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE， ∴OB＝OE＝EB，∴△OBE為等邊三角形， ∴∠BOE＝60°.又∵OD∥AC，∴∠OAC＝60°.又∵OA＝OC， ∴△OAC為等邊三角形，∴AC＝OA，∴AC＝OE.又∵AC∥OE， ∴四邊形OACE是平行四邊形.又∵OA＝OE，∴四邊形OACE是菱形. （3）解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝90°，∴∠AFC＝∠OBD，∴FG∥BD. ∵OD∥AC，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD， ∴eq \f(FC,BD)＝eq \f(AF,OB)，∴FC＝eq \f(BD·AF,OB).∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD， ∴eq \f(FG,BD)＝eq \f(AF,AB)，∴FG＝eq \f(BD·AF,AB)，∴eq \f(FG,FC)＝eq \f(1,2).

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