【目標(biāo)導(dǎo)航】
【知識梳理】
1.平行四邊形的性質(zhì)：
（1）平行四邊形的概念：有 的四邊形叫做平行四邊形．
（2）平行四邊形的性質(zhì)：
①邊：平行四邊形的 ．
②角：平行四邊形的 ．
③對角線：平行四邊形的 ．
（3）平行線間的距離處處 ．
（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．
②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積 ．
2.平行四邊形的判定 ：
（1）兩組對邊 的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵
∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（2）兩組對邊 的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵
∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（3）一組對邊 的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵
∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（4）兩組對角 的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵
∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（5）對角線 的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵
∴四邊行ABCD是平行四邊形．
3.三角形的中位線：
（1）三角形中位線定理：
三角形的中位線 ，并且 ．
（2）幾何語言：
如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點
∴ ,
【典例剖析】
【考點1】平行四邊形邊和角的性質(zhì)
【例1】平行四邊形的周長為24cm，相鄰兩邊的差為2cm，則平行四邊形的各邊長為（ ）
A．4cm，4cm，8cm，8cm
B．5cm，5cm，7cm，7cm
C．5.5cm，5.5cm，6.5cm，6.5cm
D．3cm，3cm，9cm，9cm
【變式訓(xùn)練】
1．（2022春·貴州銅仁·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8cm，CD=6cm，∠D=40°，BE平分∠ABC，下列結(jié)論錯誤的是( )
A．AE=6cmB．ED=2cmC．∠BED=150°D．∠C=140°
2．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M是CD的中點，AB=2BC，BM=1，AM=2，則CD的長為（ ）
A．52B．2C．2D．5
3．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，以平行四邊形ABCD的邊CD為斜邊向內(nèi)作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且點E在平行四邊形內(nèi)部，連接AE、BE，則∠AEB的度數(shù)是（ ）．
A．130°B．135°C．150°D．125°
【考點2】平行四邊形的對角線
【例2】如圖，EF過平行四邊形ABCD對角線的交點O，交AD于點E，交BC于點F，若平行四邊形ABCD的周長是30，OE＝3，則四邊形ABFE的周長是（ ）
A．21B．24C．27D．18
【變式訓(xùn)練】
4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OE//AB交AD于點E．若OA=2，ΔAOE的周長為10，則平行四邊形ABCD的周長為（ ）
A．16B．32C．36D．40
5．（2021春·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OE⊥AC交CD于點E，連接AE，若平行四邊形ABCD的周長為30，則△ADE的周長為（ ）
A．15B．23C．25D．30
6．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．點E為BC的中點，連接EO并延長交AD于點F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列結(jié)論：
①S?ABCD=AB·AC；②AD=4OE；③EF⊥AC；④S△BOE=14S△ABC．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【考點3】平行四邊形的判定方法
【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，有A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）三點，若點D與A，B，C三點構(gòu)成平行四邊形，則點D的坐標(biāo)不可能是（ ）
A．（0，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）
【變式訓(xùn)練】
7．（2023春·八年級單元測試）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（ ）
A．AD∥CD，AD∥BCB．OA=OC，OB=OD
C．AD=BC，AB∥CDD．AB=CD，AD=BC
8．（2023秋·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）在△ABC中，點D，E分別是AB，AC上的點，且DE∥BC，點F是DE延長線上一點，連接CF．添加下列條件后，不能判斷四邊形BCFD是平行四邊形的是（ ）
A．BD∥CFB．DF=BCC．BD=CFD．∠B=∠F
9．（2022春·湖南湘西·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC邊上，若要使四邊形AFCE是平行四邊形，可以添加的條件是（ ）．
①AF=CF；②AE=CE；③BF=DE；④AF∥CE
A．①或②B．②或③C．③或④D．①或③
【考點4】三角形的中位線
【例4】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為（ ）
A．8B．7C．6D．5
【變式訓(xùn)練】
10．（2023秋·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，則四邊形EFGH的周長為（ ）
A．10B．12C．14D．16
11．（2022春·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，D、E分別BC、AC的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若BC=8，則DF的長是（ ）
A．2B．3C．52D．4
12．（2022春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，M，N分別是AD、BC的中點，AB=6，CD=3，則MN的長可能是( )
A．4B．6C．8D．10
【考點5】兩平行線間的距離
【例5】如圖，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么圖中和△ABD面積相等的三角形（不包括△ABD）有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式訓(xùn)練】
13．（2021春·浙江杭州·八年級杭州英特外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，∠A=45°，AD=6，則AB與CD之間的距離為______．
14．（2022秋·安徽黃山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=150°，BD平分∠ABC，過A點作AE∥BC交BD于點E，EF⊥BC于點F．若AB=7，則EF的長為_______．
15．（2023秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD∥BC，BC=6，且△ABC的面積為12，則△ACD底邊AD上高的長度為______．
【考點6】有關(guān)平行四邊形性質(zhì)的綜合問題
【例6】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC邊的中點，DF∥AE，DF與BC的延長線交于點F，AE，DC的延長線交于點G，連接FG，若AD＝3，AG＝2，F(xiàn)G＝22．
（1）求線段EC的長；
（2）試判斷直線AG與FG的位置關(guān)系，并說明理由．
【變式訓(xùn)練】
16．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)校考期末）如圖，已知平行四邊形ABCD，DE是∠ADC的角平分線，交BC于點E
(1)求證：CD=CE；
(2)若點E是BC的中點，∠C=108°，求∠DAE的度數(shù)
17．（2023春·重慶渝北·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AP、BP分別是∠DAB和∠CBA的角平分線，已知AD=5．
(1)求線段AB的長；
(2)延長 AP，交BC的延長線于點Q．
①請在答卷上補(bǔ)全圖形；
②若BP=6，求△ABQ的周長．
18．（2022春·河南安陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在?ABCD中，對角線BD⊥AB，∠A=30°，DE平分∠ADC交AB的延長線于點E．
(1)求證：AD=AE；
(2)設(shè)AD=12，連接AC交BD于點O，畫出圖形，并求AC的長．
【考點7】有關(guān)平行四邊形判定的綜合問題
【例7】如圖，AD、BF相交于點O，點E、C在BF上，BE＝FC，AC＝DE，AB＝DF，求證：四邊形ABDF是平行四邊形．
【變式訓(xùn)練】
19．（2023春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中校考階段練習(xí)）如圖，以△ABC的三邊為邊，分別作等邊△ACD，△ABE，△BCF，連接DF，EF．
(1)求證：△EBF≌△ABC；
(2)求證：四邊形ADFE是平行四邊形．
20．（2022春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，已知AC垂直平分BD，DF⊥BD，∠ABC=∠DCF．
(1)求證：四邊形ACFD是平行四邊形．
(2)若DF=CF=5，CD=6，求BD的長．
21．（2023春·八年級單元測試）如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm,BC=9cm，M是CD的中點P是BC邊上的一動點P與B，C不重合），連接PM并延長交AD的延長線于Q．
(1)試說明不管點P在何位置，四邊形PCQD始終是平行四邊形；
(2)當(dāng)點P在點B．C之間運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABPQ是平行四邊形？并說明理由．
【考點8】平行四邊形的綜合問題
【例8】已知在?ABCD中，動點P在AD邊上，以每秒0.5cm的速度從點A向點D運(yùn)動．
（1）如圖1，在運(yùn)動過程中，若CP平分∠BCD，且滿足CD＝CP，求∠B的度數(shù)．
（2）在（1）的條件下，若AB＝4cm，求△PCD的面積．
（3）如圖2，另一動點Q在BC邊上，以每秒2cm的速度從點C出發(fā)，在BC間往返運(yùn)動，P，Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點D時停止運(yùn)動（同時Q點也停止），若AD＝6cm，求當(dāng)運(yùn)動時間為多少秒時，以P，D，Q，B四點組成的四邊形是平行四邊形．
【變式訓(xùn)練】
22．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)校考期末）如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點F在邊AB上，EF∥BC．
(1)求證：四邊形BDEF是平行四邊形；
(2)若AB=10，AC=4，求BF的長．
23．（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，A?8,0，C0,26，AB∥y軸且AB=24，點P從點A出發(fā)，以1個單位長度/s的速度向點B運(yùn)動；點Q從點C同時出發(fā)，以2個單位長度/s的速度向點O運(yùn)動，規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．
(1)當(dāng)四邊形BCQP是平行四邊形時，求t的值；
(2)當(dāng)PQ=BC時，求t的值；
(3)當(dāng)PQ恰好垂直平分BO時，求t的值．
24．（2023秋·浙江寧波·八年級?？计谀┢叫兴倪呅蜛BCD中，AB⊥AC，點E在邊AD上，連接BE．
(1)如圖1，AC交BE于點G，若BE平分∠ABC，且∠DAC=30°，CG=2，請求出四邊形EGCD的面積；
(2)如圖2，點F在對角線AC上，且AF=AB，連接BF，過點F作FH⊥BE于H，連接AH，求證：HF+2AH=BH．
(3)如圖3，線段PQ在線段BE上運(yùn)動，點R在邊BC上，連接CQ,PR．若BE平分∠ABC，∠DAC=30°，AB=3，PQ=32，BC=4BR．請直接寫出線段CQ+PQ+PR的和的最小值以及此時△CQE的面積．
2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】
專題1.3平行四邊形的性質(zhì)與判定精講精練（8大易錯題型深度導(dǎo)練）
【目標(biāo)導(dǎo)航】
【知識梳理】
1.平行四邊形的性質(zhì)：
（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．
（2）平行四邊形的性質(zhì)：
①邊：平行四邊形的對邊相等．
②角：平行四邊形的對角相等．
③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．
（3）平行線間的距離處處相等．
（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．
②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．
2.平行四邊形的判定 ：
（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC
∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵AB=DC，AD=BC
∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵AB∥DC，AB=DC
∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB
∴四邊行ABCD是平行四邊形．
（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
符號語言：∵OA=OC，OB=OD
∴四邊行ABCD是平行四邊形．
3.三角形的中位線：
（1）三角形中位線定理：
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
（2）幾何語言：
如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點
∴DE∥BC，
【典例剖析】
【考點1】平行四邊形邊和角的性質(zhì)
【例1】平行四邊形的周長為24cm，相鄰兩邊的差為2cm，則平行四邊形的各邊長為（ ）
A．4cm，4cm，8cm，8cm
B．5cm，5cm，7cm，7cm
C．5.5cm，5.5cm，6.5cm，6.5cm
D．3cm，3cm，9cm，9cm
【變式訓(xùn)練】
1．（2022春·貴州銅仁·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8cm，CD=6cm，∠D=40°，BE平分∠ABC，下列結(jié)論錯誤的是( )
A．AE=6cmB．ED=2cmC．∠BED=150°D．∠C=140°
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解，
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠D=40°，
∴AD∥BC，AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，∠ABC=∠D=40°，
∴∠C=180°?∠D=140°，故D正確；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC=20°，
∴∠AEB=∠EBC=20°，
∴∠BED=180°?∠AEB=160°，故C錯誤；
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=6cm，故A正確；
AD=BC=8cm，
∴ED=AD?AE=2cm，故B正確．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M是CD的中點，AB=2BC，BM=1，AM=2，則CD的長為（ ）
A．52B．2C．2D．5
【答案】D
【分析】由ABCD是平行四邊形，得到CM=DM=12CD=12AB=BC=AD，∠C+∠D=180°，然后由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAM=∠DMA，∠CBM=∠CMB，得到∠AMB=90°，即可用勾股定理求得CD的長
【詳解】∵在平行四邊形ABCD中，M是CD的中點，AB=2BC，
∴CM=DM=12CD=12AB=BC=AD，∠C+∠D=180°
∴∠DAM=∠DMA，∠CBM=∠CMB，
∴∠DMA=12180°?∠D，∠CMB=12180°?∠C
∴∠DMA+∠CMB=180°?12(∠C+∠D)=90°，
∴∠AMB=180°?(∠DMA+∠CMB)=90°，即△MAB為直角三角形，
∵BM=1，AM=2，
∴CD=AB=BM2+AM2=5．
故選：D
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵
3．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，以平行四邊形ABCD的邊CD為斜邊向內(nèi)作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且點E在平行四邊形內(nèi)部，連接AE、BE，則∠AEB的度數(shù)是（ ）．
A．130°B．135°C．150°D．125°
【答案】B
【分析】先證明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，設(shè)∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°?2x，∠BCD=225°?2y，由平行四邊形的對角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，
∵AD=DE=CE，
∴AD=DE=CE=BC，
∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，
∵∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
設(shè)∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，
∴∠ADE=180°?2x，∠BCE=180°?2y，
∴∠ADC=180°?2x+45°=225°?2x，∠BCD=225°?2y，
∴∠BAD=180°?225°?2x=2x?45°，
∴2x?45°=225°?2y，
∴x+y=135°，
∴∠AEB=360°?135°?90°=135°；
故選：B．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)(對邊平行且相等，對角相等)，等腰三角形的性質(zhì)(兩底角相等) ，解題的關(guān)鍵是找到∠AED和∠CEB之間的關(guān)系．
【考點2】平行四邊形的對角線
【例2】如圖，EF過平行四邊形ABCD對角線的交點O，交AD于點E，交BC于點F，若平行四邊形ABCD的周長是30，OE＝3，則四邊形ABFE的周長是（ ）
A．21B．24C．27D．18
【分析】先由ASA證明△AOE≌△COF，得OE＝OF，AE＝CF，再求得AB+BC＝15，由平行四邊形ABFE的周長＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．
【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，對角線的交點為O，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵平行四邊形ABCD的周長為30，
∴AB+BC=12×30＝15，
∴四邊形ABFE的周長＝AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝15+6＝21，
故選：A．
【變式訓(xùn)練】
4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OE//AB交AD于點E．若OA=2，ΔAOE的周長為10，則平行四邊形ABCD的周長為（ ）
A．16B．32C．36D．40
【答案】B
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AD=BC，OB=OD，證OE是ΔABD的中位線，則AB=2OE，AD=2AE，求出AE+OE=8，則AB+AD=2AE+2OE=16，即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，AO=OC，
∵OE//AB，
∴AE=DE，
∴OE是ΔABD的中位線，
∴AB=2OE，AD=2AE，
∵ΔAOE的周長等于10，
∴OA+AE+OE=10，
∴AE+OE=10?OA=10?2=8，
∴AB+AD=2AE+2OE=16，
∴?ABCD的周長=2×(AB+AD)=2×16=32．
故選：B．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，求出AD+AB=16是解題的關(guān)鍵．
5．（2021春·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，OE⊥AC交CD于點E，連接AE，若平行四邊形ABCD的周長為30，則△ADE的周長為（ ）
A．15B．23C．25D．30
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到點O是AC中點，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AE=CE，根據(jù)四邊形周長求出AD+CD，然后轉(zhuǎn)換求解即可．
【詳解】在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，
∴OA=OC即點O是AC中點，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE
∵平行四邊形ABCD的周長為30，
∴AD+CD=302=15
∴△ADE的周長：AD+DE+AE
=AD+DE+EC
=AD+DC
=15
故選：A．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)；靈活運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)校考期末）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．點E為BC的中點，連接EO并延長交AD于點F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列結(jié)論：
①S?ABCD=AB·AC；②AD=4OE；③EF⊥AC；④S△BOE=14S△ABC．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】通過判定△ABE為等邊三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠EAC=30°，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．
【詳解】∵點E為BC的中點，
∴BC=2BE=2CE，
又∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠BAE=∠BEA=60°，CE=BE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
即AB⊥AC，
∴S?ABCD=AB·AC，故①正確；
在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠CAD=∠ACB，
在△AOF和△COE中，
∠CAD=∠ACBOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AOF?△COEASA，
∴AF=CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵AB⊥AC，點E為BC的中點，
∴AE=CE，
∴平行四邊形AECF是菱形；
∴AC⊥EF，故③正確，
在Rt△COE中，∠ACE=30°，
∴OE=12CE=14BC=14AD，故②正確；
在平行四邊形ABCD中，OA=OC，
又∵點E為BC的中點，
∴S△BOE=12S△BOC=14S△ABC，故④正確；
綜上所述：正確的結(jié)論有4個，
故選：A．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．
【考點3】平行四邊形的判定方法
【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，有A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）三點，若點D與A，B，C三點構(gòu)成平行四邊形，則點D的坐標(biāo)不可能是（ ）
A．（0，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）
【分析】根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得到D點坐標(biāo)的三種情況：①當(dāng)AB∥CD，AD∥BC時；②當(dāng)AB∥CD，AC∥BD時；③當(dāng)AD∥BC，AC∥BD時；分別求出D的坐標(biāo)即可．
【解析】如圖所示
∵兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
∴可以分以下三種情況分別求出D點的坐標(biāo)：如圖所示：
①當(dāng)AB∥CD，AD∥BC時，D點的坐標(biāo)為（2，1）；
②當(dāng)AB∥CD，AC∥BD時，D點的坐標(biāo)為（0，﹣1）；
③當(dāng)AD∥BC，AC∥BD時，D點的坐標(biāo)為（﹣2，1）．
故選：C．
【變式訓(xùn)練】
7．（2023春·八年級單元測試）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（ ）
A．AD∥CD，AD∥BCB．OA=OC，OB=OD
C．AD=BC，AB∥CDD．AB=CD，AD=BC
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A、根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不合題意；
B、根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不合題意；
C、不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；
D、根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形ABCD為平行四邊形，故此選項不合題意；
故選：C．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
8．（2023秋·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）在△ABC中，點D，E分別是AB，AC上的點，且DE∥BC，點F是DE延長線上一點，連接CF．添加下列條件后，不能判斷四邊形BCFD是平行四邊形的是（ ）
A．BD∥CFB．DF=BCC．BD=CFD．∠B=∠F
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法，逐項進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．∵DE∥BC，
∴DF∥BC，
∵BD∥CF，
∴四邊形BCFD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），故A不符合題意；
B．∵DF∥BC，DF=BC，
∴四邊形BCFD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），故B不符合題意；
C．BD=CF，DF∥BC，一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故C符合題意；
D．∵DF∥BC，
∴∠F+∠BCF=90°，
∵∠B=∠F，
∴∠B+∠BCF=90°，
∴BD∥CF，
∴四邊形BCFD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），故D不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法．
9．（2022春·湖南湘西·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC邊上，若要使四邊形AFCE是平行四邊形，可以添加的條件是（ ）．
①AF=CF；②AE=CE；③BF=DE；④AF∥CE
A．①或②B．②或③C．③或④D．①或③
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定即可解決問題．
【詳解】解：①添加AF=CF，不符合平行四邊形的判定定理，故①不符合題意；
②添加AE=CE，不符合平行四邊形的判定定理，故②不符合題意；
③四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵BF=DE，
∴AE=CF，又AE∥CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形；故③符合題意；
④∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AD∥BC，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形；故④符合題意．
故選：C．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定．解題的關(guān)鍵是選擇適宜的證明方法，需要熟練掌握平行四邊形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
【考點4】三角形的中位線
【例4】如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】連接DN，根據(jù)三角形中位線定理得到EF=12DN，根據(jù)題意得到當(dāng)點N與點B重合時，DN最大，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．
【解析】連接DN，
∵點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，
∴EF是△MND的中位線，
∴EF=12DN，
∵點M，N分別為線段BC，AB上的動點，
∴當(dāng)點N與點B重合時，DN最大，此時DN=AB2+AD2=10，
∴EF長度的最大值為：12×10＝5，
故選：D．
【變式訓(xùn)練】
10．（2023秋·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，則四邊形EFGH的周長為（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】首先利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，求出EH=FG=12BC，EF=GH=12AD，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．
【詳解】解：∵BD⊥CD,BD=4,CD=3，
∴BC=BD2+CD2=42+32=5，
∵E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，
∴EH=FG=12BC，EF=GH=12AD，
∴四邊形EFGH的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=7，
∴四邊形EFGH的周長=7+5=12，
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
11．（2022春·江蘇南通·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，D、E分別BC、AC的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若BC=8，則DF的長是（ ）
A．2B．3C．52D．4
【答案】D
【分析】首先根據(jù)條件D、E分別是BC、AC的中點可得DE∥AB，再求出∠BFD=∠DBF，根據(jù)等角對等邊可得到DB=DF．
【詳解】解：∵△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點，
∴DE∥AB，BD=12BC=4，
∴∠ABF=∠BFD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABF，
∴∠BFD=∠DBF，
∴DB=DF=4，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了三角形的中位線定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明DE∥AB，可得到∠BFD=∠DBF．
12．（2022春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，M，N分別是AD、BC的中點，AB=6，CD=3，則MN的長可能是( )
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】連接BD，取BD的中點G，連接MG、NG，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得AB=2MG，DC=2NG，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊得出MNMN，
∴AB+DC>2MN，
∴MN

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