人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題08平行四邊形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(原卷版+解析)

這是一份人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題08平行四邊形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(原卷版+解析)，共108頁。
題型一 利用平行四邊形的判定定理證明
題型二 利用平行四邊形的性質(zhì)求角度
題型三 利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度
題型四 利用平行四邊形的性質(zhì)求面積
題型五 平行四邊形中的線段最值問題
題型六 平行四邊形中的翻折問題
題型七 平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)問題
題型八 平行四邊形的存在性問題
題型九 三角形中位線有關(guān)的證明
題型十 平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合題型
【經(jīng)典例題一 利用平行四邊形的判定定理證明】
【知識(shí)歸納】
1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
特別說明：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.
（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).
【例1】（2022春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，ADBC，，，．若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．3
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，BD=2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（ ）
①EG⊥AB；②EF=EG；③四邊形BEFG為平行四邊形；④AC垂直平分線段FG．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【變式2】（2022秋·重慶綦江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，D是邊上的中點(diǎn)，連結(jié)，把沿翻折，得到，連接，若，則的面積為___________
【變式3】（2022春·寧夏銀川·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在上，點(diǎn)G，H在上，且，．
(1)若，，試求的度數(shù)．
(2)求證：四邊形是平行四邊形．
【經(jīng)典例題二 利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】
【知識(shí)歸納】
1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；
2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；
3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；
4．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心；
特別說明：（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.
（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.
（3）利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決.
【例2】（2021春·江蘇南京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，以平行四邊形的邊為斜邊向內(nèi)作等腰直角，使，，且點(diǎn)在平行四邊形內(nèi)部，連接、，則的度數(shù)是（ ）．
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，于點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)且滿足，，連并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則的度數(shù)為 _____．
【變式3】（2021春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AC⊥CD，E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BE上，連接AM，AE，在BC下方有一點(diǎn)N，滿足∠CAD＝∠BCN，連接MN．
(1)若∠BCN＝60°，求證：∠BAE＝30°；
(2)若MA＝MN，求證：∠NMC＝∠MAE；
(3)在（2）的條件下，若MC＝EA+CN，求證：AB＝AE．
【經(jīng)典例題三 利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度】
【例3】（2022春·四川綿陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，點(diǎn)E、F分別在上，將四邊形沿折疊得四邊形，恰好垂直于，若，則的值為（ ）
A．3B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖， 在四邊形 中，，， 點(diǎn) 為 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 AC、AE，AE交 于點(diǎn)H，的平分線交 于點(diǎn) ．若， 點(diǎn)為 的中點(diǎn)， ， 則 的長(zhǎng)為（ ）．
A．9B．C．10D．
【變式2】（2020春·重慶渝中·八年級(jí)重慶市第二十九中學(xué)校校考期中）如圖，平行四邊形中，＝，°，將沿邊折疊得到，交于，，則點(diǎn)到的距離為______．
【變式3】（2022春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O．且分別平分．
(1)求的度數(shù)；
(2)猜測(cè)線段之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)設(shè)點(diǎn)P為對(duì)角線上一點(diǎn)，，若平行四邊形的周長(zhǎng)為16，平行四邊形的面積為，直接寫出的長(zhǎng)．
【經(jīng)典例題四 利用平行四邊形的性質(zhì)求面積】
【例4】（2023·廣東佛山·校考一模）如圖，直線經(jīng)過平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，若四邊形的面積為cm2，則四邊形的面積為（ ）cm2．
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·福建廈門·八年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)校考期末）如圖，已知，∠ABC=60°，BC=2AB=8，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，連接EG、BG，則=（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2022秋·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，△CEF沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在BD邊上的點(diǎn)G處，則BGF的面積為______．
【變式3】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第五十二中學(xué)?？计谥校┰谥校?，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出、的長(zhǎng)；
(2)在（1）的條件下，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值；
(3)當(dāng)點(diǎn)在的垂直平分線上時(shí)，求出此時(shí)的值；
(4)點(diǎn)與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的速度是，當(dāng)直線平分的面積時(shí)，直接寫出的值．
【經(jīng)典例題五 平行四邊形中的線段最值問題】
【例5】（2022春·福建龍巖·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，．點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿所在的直線翻折到，連接．則線段長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．5B．7C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·福建福州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，，D為AB邊上一點(diǎn)，將DC平移到AE（點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），連接DE，則DE的最小值為（ ）
A．B．2C．4D．
【變式2】（2021春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，E為斜邊邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以，為邊作平行四邊形．
（1）的長(zhǎng)為________．
（2）線段長(zhǎng)度的最小值為______．
【變式3】（2021春·福建廈門·八年級(jí)廈門雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在等邊中，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接．
（1）請(qǐng)你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（2）若，求線段長(zhǎng)度的最小值．
【經(jīng)典例題六 平行四邊形中的翻折問題】
【例6】（2022春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝，E，F(xiàn)分別為CD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，DE＝BF，分別以AE，CF所在直線為對(duì)稱軸翻折△ADE，△BCF，點(diǎn)D，B的對(duì)稱點(diǎn)分別為G，H．若E、G、H、F恰好在同一直線上，∠GAF＝45°，且GH＝3，則AF的長(zhǎng)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在AB邊上，將沿著直線DE翻折得．連結(jié)，若點(diǎn)恰好落在的平分線上，則，C兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A．3或6B．3或C．D．6
【變式2】（2022春·浙江舟山·八年級(jí)?？计谥校┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，BC=3，CD=4，點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)，將ΔBCE沿BE翻折得ΔBGE，連結(jié)AE，A、G、E在同一直線上，則點(diǎn)G到AB的距離為________．
【變式3】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，
(1)平行四邊形的面積為________．
(2)若是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長(zhǎng)度的最小值是________．
【經(jīng)典例題七 平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)問題】
【例7】（2021春·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)落在線段上，在線段BE上取點(diǎn)，使，連結(jié)，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2020·湖北·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，等腰△ABC的頂角∠A=36°，若將其繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)36°，得到△，點(diǎn)B′在AB邊上，交AC于E，連接AA′．有下列結(jié)論：①△ABC≌△；②四邊形是平行四邊形；③圖中所有的三角形都是等腰三角形；其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．① ③C．②③D．① ② ③
【變式2】（2022春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，將直線l繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則四邊形ABFE周長(zhǎng)的最小值是______．
【變式3】（2022春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)E在直線BC上，點(diǎn)F在直線AB上（點(diǎn)E、F不與三角形的頂點(diǎn)重合），，連接CF和AE，將線段CF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CG，連接AG．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在線段BC與線段AB上時(shí)．
①求證：；
②求證：四邊形AECG是平行四邊形；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在線段CB與線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形AECG還是平行四邊形嗎？并說明理由．
【經(jīng)典例題八 平行四邊形的存在性問題】
【例8】（2022春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，A，B，C，D的坐標(biāo)依次為，，，．若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則的值不可能是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·江蘇南京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，點(diǎn)P從A出發(fā)以1 cm/s的速度向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)以2 cm/s的速度向B運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，以點(diǎn)A、B、C、D、P、Q任意四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中同時(shí)存在兩個(gè)平行四邊形，則t的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式2】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊中，，射線，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)________s時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形．
【變式3】（2022春·河南鄭州·八年級(jí)校考期末）如圖，在四邊形中，，，，若動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，回答下列問題：
(1)設(shè)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了秒，求當(dāng)為多少秒時(shí)，四邊形變?yōu)槠叫兴倪呅危?br>(2)如圖，若四邊形變?yōu)槠叫兴倪呅?，，?dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度在間往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了秒，求當(dāng)為多少秒時(shí)，以，，，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．請(qǐng)直接寫出答案．
【經(jīng)典例題九 三角形中位線有關(guān)的證明】
【例8】（2021春·四川涼山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，平分，且，E為的中點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為（ ）．
A．6B．3C．1.5D．5
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)B為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)F、E分別為、的中點(diǎn)，連接、，當(dāng)，時(shí)，則的長(zhǎng)度為______．
【變式3】（2023秋·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐
【知識(shí)呈現(xiàn)】
兩塊等腰直角三角板和如圖擺放，其中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
(1)如圖，若點(diǎn)，分別在，的延長(zhǎng)線上，通過觀察和測(cè)量，猜想和的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______；
【拓展鞏固】
(2)如圖，若將三角板繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
【探究提升】
(3)如圖，將圖中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖，中的猜想還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明．
【經(jīng)典例題十 平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合題型】
【例8】（2022春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，分別以的直角邊，斜邊為邊向外作等邊和等邊，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，，．則以下結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③，其中正確的有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)O，平分，交于點(diǎn)，且，，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中成立的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式2】（2023秋·江西撫州·八年級(jí)臨川一中?？计谀┰谥校?，D為形內(nèi)一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，連接，若分別是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為_______．
【變式3】（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們會(huì)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法來解決幾條線段之間的和差問題．請(qǐng)看這個(gè)例題：如圖1，在四邊形中，，，若，求四邊形的面積．
解：延長(zhǎng)線段到E，使得，連接，我們可以證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，，則，得，這樣，四邊形的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形面積．
(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形的面積為 cm2．
(2)如圖2，在中，，且，求線段的最小值．
(3)如圖3，在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于O，且；，則是否為定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此時(shí)平行四邊形的面積．
【培優(yōu)檢測(cè)】
1．（2023秋·河北保定·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，于點(diǎn)D，，若E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在平行四邊形中，M是的中點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．
3．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，E為上一點(diǎn)，且，，，，則下列結(jié)論：①；②平行四邊形周長(zhǎng)是24；③；④；⑤E為中點(diǎn)．正確的結(jié)論有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
5．（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是的邊上的點(diǎn)，是中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，若，，則陰影部分的面積為（ ）
A．24B．17C．13D．10
6．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
8．（2022春·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，分別以的斜邊、直角邊為邊向外作等邊和等邊，為的中點(diǎn)，連接、，與相交于點(diǎn)，若，下列結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③；④．其中正確結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
9．（2022秋·山東東營·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，過點(diǎn)A作 且點(diǎn)F在點(diǎn)A的右側(cè)．點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線方向以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線方向以2cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，在線段上取點(diǎn)C，使得，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．當(dāng)x=___________秒時(shí)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
10．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知中，垂直平分，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為____________．
11．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值等于______．
12．（2022·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┤鐖D，平行四邊形中，點(diǎn)E在上，以為折痕，把向上翻折，點(diǎn)A正好落在邊的點(diǎn)F處，若的周長(zhǎng)為6，的周長(zhǎng)為，那么的長(zhǎng)為_________．
13．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)杭州英特外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作于F，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則的長(zhǎng)是______．
14．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，，線段在斜邊上運(yùn)動(dòng)，且．連接，．則周長(zhǎng)的最小值是______．
15．（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，分別是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接與交于點(diǎn)．，求四邊形的面積．
16．（2022秋·河南周口·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．
(1)若，求的長(zhǎng)．
(2)若，求證：．
17．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，E是的中點(diǎn)． 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P平均每秒運(yùn)動(dòng)1 cm；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q平均每秒運(yùn)動(dòng)2 cm，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t()秒時(shí)，則________；(用含t的代數(shù)式直接表示)
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，
① 若，則________；(用含t的代數(shù)式直接表示)
② 若，則________；(用含t的代數(shù)式直接表示)
(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？
18．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊上，連接、、、，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，設(shè)交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，連接，若E是邊的中點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中以G為頂點(diǎn)并且與全等的所有三角形．
19．（2023秋·山東淄博·八年級(jí)?？计谀┤鐖D①所示，是某公園的平面示意圖，、、、分別是該公園的四個(gè)入口，兩條主干道、交于點(diǎn)，請(qǐng)你幫助公園的管理人員解決以下問題：
(1)若，，，公園的面積為 ；
(2)在（1）的條件下，如圖②，公園管理人員在參觀了武漢東湖綠道后，為提升游客游覽的體驗(yàn)感，準(zhǔn)備修建三條綠道、、，其中點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），并計(jì)劃在與兩塊綠地所在區(qū)域種植郁金香，求種植郁金香區(qū)域的面積；
(3)若將公園擴(kuò)大，此時(shí)，，，修建（2）中的綠道每千米費(fèi)用為10萬元，請(qǐng)你計(jì)算該公園修建這三條綠道投入資金的最小值．
20．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀﹩栴}：如圖1，在?ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則EF＝ ．
（1）把“問題”中的條件“AB＝8”去掉，其余條件不變；
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求AB的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，則EF＝ ．
（2）把“問題”中的條件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，請(qǐng)畫出圖形并直接寫出相應(yīng)圖形下的值．
專題08 平行四邊形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型專訓(xùn)
【題型目錄】
題型一 利用平行四邊形的判定定理證明
題型二 利用平行四邊形的性質(zhì)求角度
題型三 利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度
題型四 利用平行四邊形的性質(zhì)求面積
題型五 平行四邊形中的線段最值問題
題型六 平行四邊形中的翻折問題
題型七 平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)問題
題型八 平行四邊形的存在性問題
題型九 三角形中位線有關(guān)的證明
題型十 平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合題型
【經(jīng)典例題一 利用平行四邊形的判定定理證明】
【知識(shí)歸納】
1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
特別說明：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.
（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).
【例1】（2022春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，ADBC，，，．若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】延長(zhǎng)CM交AD于N，先由AAS證得△BCM≌△DNM，得出NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，求出AN＝BC，得出四邊形ABCN是平行四邊形，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：延長(zhǎng)CM交AD于N，如圖所示：
∵點(diǎn)M是線段BD的中點(diǎn)，
∴BM＝DM，
∵ADBC，
∴∠CBM＝∠NDM，∠BCM＝∠DNM，
在△BCM和△DNM中，
，
∴△BCM≌△DNM（AAS），
∴NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，
∴AN＝AD﹣DN＝6﹣3＝3，
∴AN＝BC，
∵ADBC，
∴四邊形ABCN是平行四邊形，
∴CN＝AB＝5，
∴CM＝，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線證明△BCM≌△DNM是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，BD=2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（ ）
①EG⊥AB；②EF=EG；③四邊形BEFG為平行四邊形；④AC垂直平分線段FG．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】C
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明出AD=OD=OB=BC，根據(jù)三線合一定理得到∠AEB=90°，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可判斷②；根據(jù)三角形中位線定理證明EF=BG，EFBG，即可判斷③；設(shè)FG與AC交于點(diǎn)M，證明FG⊥AC，再由EG=FE，即可證明AC垂直平分FG，即可判斷④；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明①；
【詳解】∵平行四邊形ABCD，
∴ABCD，AD=CB，AB=DC，BD=2OD，
∵E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)，
∴EF是△OBC的中位線，
∴EF=CD=AB，EFCD，
∵BD=2AD，
∴AD=OD=OB=BC，
∴BE⊥OC，
∴∠AEB=90°，
∵EG是△AEB的中線，
∴AG=EG=AB=BG，
∴EF=EG，故②正確；
∴EF=BG，EFBG，
∴四邊形BEFG是平行四邊形，故③正確；
設(shè)FG與AC交于點(diǎn)M，
∵四邊形BEFG是平行四邊形，
∴FGBE，
∵BE⊥AC，
∴FG⊥AC，
∵EG=FE，
∴AC垂直平分FG，故④正確；
根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明EG⊥AB
∴正確結(jié)論的序號(hào)為②③④．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，熟知平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022秋·重慶綦江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，D是邊上的中點(diǎn)，連結(jié)，把沿翻折，得到，連接，若，則的面積為___________
【答案】
【分析】過點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過D作于點(diǎn)G，則，先證得是等邊三角形，可得，從而得到，進(jìn)而得到四邊形是平行四邊形，可得到，從而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過D作于點(diǎn)G，則，
∵D是邊上的中點(diǎn)，
∴，
∵把沿翻折，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵是等邊三角形，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的折疊，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022春·寧夏銀川·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在上，點(diǎn)G，H在上，且，．
(1)若，，試求的度數(shù)．
(2)求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由四邊形是平行四邊形，可知，求出即可；
（2）只要證明，即可解決問題；
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴．
（2）∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
【經(jīng)典例題二 利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】
【知識(shí)歸納】
1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；
2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；
3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；
4．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心；
特別說明：（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.
（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.
（3）利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決.
【例2】（2021春·江蘇南京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，以平行四邊形的邊為斜邊向內(nèi)作等腰直角，使，，且點(diǎn)在平行四邊形內(nèi)部，連接、，則的度數(shù)是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先證明，得出，，設(shè)，，求出，，由平行四邊形的對(duì)角相等得出方程，求出，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)(對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等)，等腰三角形的性質(zhì)(兩底角相等) ，解題的關(guān)鍵是找到和之間的關(guān)系．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】連結(jié)CE，并延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，根據(jù)已知條件和平行四邊形的性質(zhì)可證明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知條件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度數(shù)．
【詳解】解：連結(jié)CE，并延長(zhǎng)CE，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCF是平行四邊形，
∴AB∥CF，AB＝CF，
∴∠NAE＝∠F，
∵點(diǎn)E是的AF中點(diǎn)，
∴AE＝FE，
在△NAE和△CFE中，
，
∴△NAE≌△CFE（ASA），
∴NE＝CE，NA＝CF，
∵AB＝CF，
∴NA＝AB，即BN＝2AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，
∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，
∴DE＝NC＝NE，
∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，
∴∠B＝80°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，在利用等腰三角形的性質(zhì)解答．
【變式2】（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，于點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)且滿足，，連并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則的度數(shù)為 _____．
【答案】45°
【分析】連接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，可得，，然后證明是等腰直角三角形，進(jìn)而可以解決問題．
【詳解】解：如圖，連接，
在平行四邊形中，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案為：45°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．
【變式3】（2021春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AC⊥CD，E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BE上，連接AM，AE，在BC下方有一點(diǎn)N，滿足∠CAD＝∠BCN，連接MN．
(1)若∠BCN＝60°，求證：∠BAE＝30°；
(2)若MA＝MN，求證：∠NMC＝∠MAE；
(3)在（2）的條件下，若MC＝EA+CN，求證：AB＝AE．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)∠CAD＝∠BCN＝60°，AC⊥CD，可得∠ACD＝90°，∠D＝30°，再由平行四邊形ABCD得出∠BAC=90°，∠B＝30°，結(jié)合E為BC中點(diǎn)，即可證得結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)CN至G，使CG＝AC，連接MG，先證明△AMC≌△GMC，再根據(jù)Rt△ABC中，點(diǎn)E是斜邊BC的中點(diǎn)，即可證得結(jié)論；
（3）在MC上截取MF＝AE，先證明△MAE≌△NMF，進(jìn)而得出△NCF是等邊三角形，運(yùn)用直角三角形性質(zhì)和勾股定理即可得出答案．
（1）
解：∵∠CAD＝∠BCN＝60°，AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠CAD＝30°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠D＝30°，ABCD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°；
（2）
如圖1，延長(zhǎng)CN至G，使CG＝AC，連接MG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ADBC，
∴∠CAD＝∠ACM＝∠GCM，
又∵M(jìn)C＝MC，
∴△AMC≌△GMC（SAS），
∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，
∵AM＝MN，
∴GM＝MN，
∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，
∵AC⊥CD，ABCD，
∴AC⊥AB，
Rt△ABC中，點(diǎn)E是斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，
∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，
∴∠MAE+∠EAC＝∠NCM+∠NMC，
∴∠NMC＝∠MAE；
（3）
如圖2，在MC上截取MF＝AE，
由（2）知，∠MAE＝∠NMF，
∵M(jìn)A＝MN，
∴△MAE≌△NMF（SAS），
∴ME＝FN，
∵M(jìn)C＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，
EA＝MF＝CE，
∴ME＝CN＝FN＝CF，
∴△NCF是等邊三角形，
∴∠MCN＝60°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠B＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴，
∵AE＝BC，
∴AB＝AE．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題三 利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度】
【例3】（2022春·四川綿陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，點(diǎn)E、F分別在上，將四邊形沿折疊得四邊形，恰好垂直于，若，則的值為（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)得到，，在中，得到，，由折疊的性質(zhì)得到是等腰直角三角形，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，
∵恰好垂直于，且四邊形是平行四邊形，
∴也垂直于，
由折疊的性質(zhì)得，，，，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
由折疊的性質(zhì)得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，證明是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖， 在四邊形 中，，， 點(diǎn) 為 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 AC、AE，AE交 于點(diǎn)H，的平分線交 于點(diǎn) ．若， 點(diǎn)為 的中點(diǎn)， ， 則 的長(zhǎng)為（ ）．
A．9B．C．10D．
【答案】B
【分析】先由得到，再利用角的等量代換和平行線的判定證出四邊形是平行四邊形，然后用角邊角證出，由全等三角形的性質(zhì)和已知條件得出是等腰三角形，根據(jù)三線合一性質(zhì)，聯(lián)系已知條件證出，最后用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可求出AC的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵，
∴．
∴，
四邊形中，，，
∴四邊形是平行四邊形．
∵點(diǎn)為 的中點(diǎn)，
∴．
在和中，，
∴．
∴，．
∵，
∴AB=BE=10，DH=CH=CE=5，
∴是等腰三角形．
又∵CG是的平分線，
∴，．
∴和都是直角三角形．
∴．
∵，,
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)，還有勾股定理的應(yīng)用，是一道幾何綜合題，綜合性較強(qiáng)，熟練地掌握以上性質(zhì)并能靈活地應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2020春·重慶渝中·八年級(jí)重慶市第二十九中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，平行四邊形中，＝，°，將沿邊折疊得到，交于，，則點(diǎn)到的距離為______．
【答案】
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)得到，在利用勾股定理分別求出和，即可完成求解．
【詳解】解：由折疊知：，，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴∠，
∴，
∴，
過點(diǎn)作，垂足為F，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，涉及等腰三角形的判定、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是利用勾股定理建立方程求出和．
【變式3】（2022春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O．且分別平分．
(1)求的度數(shù)；
(2)猜測(cè)線段之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)設(shè)點(diǎn)P為對(duì)角線上一點(diǎn)，，若平行四邊形的周長(zhǎng)為16，平行四邊形的面積為，直接寫出的長(zhǎng)．
【答案】(1)AD=AB=BC
(2)90°
(3)或
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，由AC、BD分別平分∠DAB、∠ABC可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得∠AOB的度數(shù)；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可證明，可得DA=DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得；
（3）根據(jù)四邊形ABCD的周長(zhǎng)為16可得，當(dāng)∠ABC＞90°時(shí)，過點(diǎn)作，根據(jù)四邊形ABCD的面積可得DE的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可證明△DAB是等邊三角形，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OA、OB的長(zhǎng)，根據(jù)PB=5，利用勾股定理可得OP的長(zhǎng)，即可求出AP的長(zhǎng)；當(dāng)∠ABC＜90°時(shí)，可得OB＞5，不符合題意，綜上即可得答案．
（1）
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，
∴，
∴，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=90°；
（2）
解；AD=BC=AB，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，AD=BC，AB=CD，
∴，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴AD=AB=BC；
（3）
解：由（2）得在平行四邊形ABCD中AD=AB=BC，
∴AD=AB=BC=CD，
∵四邊形ABCD的周長(zhǎng)為16，
∴，
①如圖，當(dāng)時(shí)，
過點(diǎn)作，
∵四邊形的面積為，
，
∴，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴BE=2，
∴，
為等邊三角形，
∵∠AOB=90°，
，
∵，
，
或；
②如圖，當(dāng)時(shí)，
同理可得，AE=2，
∴BE=6，
∴BD==，
∴，
所以這樣的點(diǎn)不存在，故排除．
綜上所述：的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理并運(yùn)用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題四 利用平行四邊形的性質(zhì)求面積】
【例4】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，直線經(jīng)過平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，若四邊形的面積為cm2，則四邊形的面積為（ ）cm2．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接AC，BD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，，，，即可得，，
利用可證明，利用可證明，利用可證明，即可得求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，，，
∴，，
在與△中，
，
∴（），
在和中，
∴（），
在和中，
∴（），
∴（cm2），
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·福建廈門·八年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知，∠ABC=60°，BC=2AB=8，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，連接EG、BG，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取BC中點(diǎn)H，連接AH，連接CE交AD于N，作交CD的延長(zhǎng)線于M，構(gòu)建計(jì)算即可．
【詳解】如圖，取BC中點(diǎn)H，連接AH，連接CE交AD于N，作交CD的延長(zhǎng)線于M，
∵，，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，，
∵， ，
∴ ， ，
∵，
∴，，
∴ ，，
∴
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線構(gòu)建三角形解決問題．
【變式2】（2022秋·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，△CEF沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在BD邊上的點(diǎn)G處，則BGF的面積為______．
【答案】15
【分析】連接CG，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，利用等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求得DH=HC=，BD5，利用折疊的性質(zhì)求得CG⊥BD，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，利用面積法求得CG=6，據(jù)此求解即可得到BGF的面積．
【詳解】解：連接CG，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，
∵平行四邊形ABCD中，∠A=45°，
∴∠DCB =∠A=45°，
∵DC=15，∠DCB=∠A=45°，
∴DH=HC，
由勾股定理得DH=HC=，
∵BC=10，
∴BH=10-=，
由勾股定理得BD=5，
由折疊的性質(zhì)得EG=EC，F(xiàn)G=FC，
∵點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，
∴EG=EC=DE，
∴∠ECG=∠EGC，∠EDG=∠EGD，
∵∠ECG+∠EGC+∠EDG+∠EGD=180°，
∴∠EGC+∠EGD=90°，
∴∠EGD=∠CGB=90°，即CG⊥BD，
∵FG=FC，
∴∠FCG=∠FGC，
∵∠FGC+∠FGB=90°，∠FCG+∠FBG=90°，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB，
∴FG=FB=FC，即點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，
∵BC×DH=BD×CG，即10×=5×CG，
∴CG=6，
∴BG=2，
∵點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，
∴==××2×6=15．
故答案為：15．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，證明CG⊥BD是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第五十二中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出、的長(zhǎng)；
(2)在（1）的條件下，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值；
(3)當(dāng)點(diǎn)在的垂直平分線上時(shí)，求出此時(shí)的值；
(4)點(diǎn)與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的速度是，當(dāng)直線平分的面積時(shí)，直接寫出的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或；
(4)或．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，由可得；
（2）求出，可得是等腰三角形時(shí)，，是等腰直角三角形，然后根據(jù)列式求出t值即可；
（3）作的垂直平分線交于，交于，交于F，過點(diǎn)B作于H，連接，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的位置時(shí)，先求出和的長(zhǎng)，然后可得，即可計(jì)算t的值；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的位置時(shí)，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出，然后可計(jì)算此時(shí)t的值；
（4）如圖2，連接交于G，過點(diǎn)G，證明，可得當(dāng)過點(diǎn)G時(shí)，直線平分的面積，然后分點(diǎn)P在上和點(diǎn)P在上兩種情況，分別求解即可．
【詳解】（1）解：在中，，
由題意得：，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵在中，，
∴，
∴當(dāng)是等腰三角形時(shí)，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如圖1，作的垂直平分線交于，交于，交于F，過點(diǎn)B作于H，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，，，
∴，
∴（平行線間間距相等），
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的位置時(shí)，；
連接，
∵垂直平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的位置時(shí)，；
綜上，當(dāng)點(diǎn)在的垂直平分線上時(shí)，的值為或；
（4）解：如圖2，連接交于G，過點(diǎn)G，
∵在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴當(dāng)過點(diǎn)G時(shí)，直線平分的面積，
當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，
∵，，，
∴，
解得：；
當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，如圖3，點(diǎn)P與點(diǎn)G重合，
∵，
∴；
綜上，當(dāng)直線平分的面積時(shí)，的值為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題五 平行四邊形中的線段最值問題】
【例5】（2022春·福建龍巖·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，．點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿所在的直線翻折到，連接．則線段長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．5B．7C．D．
【答案】A
【分析】由折疊可得，當(dāng) 三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最小，根據(jù)勾股定理分別求出的長(zhǎng)度，即可求長(zhǎng)度的最小值．
【詳解】解：如圖：連接，作，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴且，
∴，
∴；
∵M(jìn)是中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
∵折疊，
∴，
∴當(dāng) 三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)度最小，
∴此時(shí)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求的長(zhǎng)度．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·福建福州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，，D為AB邊上一點(diǎn)，將DC平移到AE（點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），連接DE，則DE的最小值為（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【分析】過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，連接CE，根據(jù)，，，運(yùn)用勾股定理的逆定理，證明△ABC是直角三角形，得到∠ACB=90°，根據(jù)平移性質(zhì)證明四邊形ADEC是平行四邊形，得到CE∥AD，根據(jù)當(dāng)DE⊥AB時(shí)， DE最小，此時(shí)，根據(jù)∠DEC=∠ECG=90°，證明四邊形EDGC是矩形，得到DE=CG，運(yùn)用面積法得到，求出，得到DE的最小值為．
【詳解】過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，連接CE，
則∠AGC=90°，
∵中，，，，
∴，
∴是直角三角形，∠ACB=90°，
由平移知，AE∥CD，AE=CD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴CE∥AD，
當(dāng)DE⊥AB時(shí)， DE最小，
此時(shí)，∠DEC=∠ECG=90°，
∴四邊形EDGC是矩形，
∴DE=CG，
∵
∴
∴，
∴，
∴DE的最小值為．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，平移，平行四邊形，三角形面積，垂線段，解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握用勾股定理的逆定理判斷直角三角形，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，垂線段最短的性質(zhì)．
【變式2】（2021春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，E為斜邊邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以，為邊作平行四邊形．
（1）的長(zhǎng)為________．
（2）線段長(zhǎng)度的最小值為______．
【答案】 10
【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理即可求解；（2）過點(diǎn)C作CFDE交AB于F，則四邊形DCFE是平行四邊形，CF⊥AB時(shí)，CF的值最小，即DE最?。?br>【詳解】（1）在Rt△ABC中，，，，
∴ ．
故答案為:10．
（2）過點(diǎn)C作CFDE交AB于F，
∵四邊形是平行四邊形
∴DCAB
∴DCEF
∴四邊形DCFE是平行四邊形
∴DE=CF
當(dāng)CF⊥AB時(shí)，CF的長(zhǎng)度最小，
∵
∴即
∴ ．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，運(yùn)用“點(diǎn)到直線的距離垂線段最小”是解題的關(guān)鍵，另外本題用到等面積法，是初中數(shù)學(xué)常用方法．
【變式3】（2021春·福建廈門·八年級(jí)廈門雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在等邊中，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接．
（1）請(qǐng)你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（2）若，求線段長(zhǎng)度的最小值．
【答案】（1），理由見解析；（2）1
【分析】（1）結(jié)論，延長(zhǎng)到，使，連接BH，EH，先證四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得， ，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AH=AD，∠3=∠5，即可得∠HAD=60°，所以是等邊三角形，由此即可證得結(jié)論；
（2）連接EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理求得；取中點(diǎn)，連接FG，可知為中位線，根據(jù)三角形的中位線定理可得，即可得，所以點(diǎn)的軌跡為射線，且；當(dāng)時(shí)，最小，由此即可求得線段長(zhǎng)度的最小值為1．
【詳解】延長(zhǎng)到，使，連接BH，EH，
∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
∴BF=EF，
∴四邊形是平行四邊形，
， ，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
，
在△ABH和△ACD中，
，
，
∴AH=AD，∠3=∠5，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠4+∠5=60°，
即∠HAD=60°，
∴是等邊三角形，
∴HD=AD，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴；
連接EC，
，
，
取中點(diǎn)，連接FG，
是中點(diǎn)
為中位線
，
的軌跡為射線，且，
∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，最小，
中，，
∴．
即線段長(zhǎng)度的最小值為1．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)就、三角形的中位線定理及30°角直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題六 平行四邊形中的翻折問題】
【例6】（2022春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝，E，F(xiàn)分別為CD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，DE＝BF，分別以AE，CF所在直線為對(duì)稱軸翻折△ADE，△BCF，點(diǎn)D，B的對(duì)稱點(diǎn)分別為G，H．若E、G、H、F恰好在同一直線上，∠GAF＝45°，且GH＝3，則AF的長(zhǎng)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，得到∠DEA=∠FEA=∠EAF，DE=EG，F(xiàn)H=FB，AD=AG，結(jié)合DE=FB，得到AF=EF，DE=EG=FH=FB，設(shè)DE=EG=FH=FB=x，則EF=AF=2x+GH=3+2x，過點(diǎn)G作GM⊥AF于點(diǎn)M，根據(jù)∠GAF＝45°，AD＝，得證AM=MG=3,MF=2x，GF=3+x，根據(jù)勾股定理計(jì)算x即可．
【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AE，CF所在直線為對(duì)稱軸翻折△ADE，△BCF，
∴∠DEA=∠FEA=∠EAF，DE=EG，F(xiàn)H=FB，AD=AG，
∵DE=FB，
∴AF=EF，DE=EG=FH=FB，
設(shè)DE=EG=FH=FB=x，
∴EF=AF=2x+GH=3+2x．
過點(diǎn)G作GM⊥AF于點(diǎn)M，
∵∠GAF＝45°，AD＝，
∴AM=MG=3，MF=2x，GF=3+x，
根據(jù)勾股定理，得，
解得x=2（負(fù)根舍去），
AF=AM+MF=3+2x=7，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在AB邊上，將沿著直線DE翻折得．連結(jié)，若點(diǎn)恰好落在的平分線上，則，C兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A．3或6B．3或C．D．6
【答案】A
【分析】過點(diǎn)A′作A′F⊥CD于D，由平行四邊形ABCD，得∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3，A′D=AD=3，根據(jù)點(diǎn)恰好落在的平分線上，所以∠A′CF=30°，所以CA′=2A′F，設(shè)A′F=x，則CA′=2x， CF=x，所以DF=3-x, 在Rt△D A′F中,由勾股定理，得32=（3-x）2+x2，求解即可得出x，從而求出CA′的長(zhǎng)．
【詳解】：如圖，過點(diǎn)A′作A′F⊥CD于D，
∵平行四邊形ABCD，
∴∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3，
由翻折可得，A′D=AD=3，
∵點(diǎn)恰好落在的平分線上，
∴CA′平分∠BCD，
∴∠A′CF=30°，
∵A′F⊥CD，
∴CA′=2A′F，
設(shè)A′F=x，則CA′=2x，
由勾股定理，得CF=x，
∴DF=3-x,
在Rt△D A′F中,由勾股定理，得
32=（3-x）2+x2，
解得：x1=，x2=3，
∴CA′=2x=3或6，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，翻折性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，作輔助線A′F⊥CD于D，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022春·浙江舟山·八年級(jí)?？计谥校┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，BC=3，CD=4，點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)，將ΔBCE沿BE翻折得ΔBGE，連結(jié)AE，A、G、E在同一直線上，則點(diǎn)G到AB的距離為________．
【答案】##
【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可以證明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得GF的值．
【詳解】解：如圖，GF⊥AB于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)，
∴CE=DE=2，
由折疊可知：
∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，
∵在?ABCD中，BC=AD=3，BCAD，
∴∠D+∠C=180°，BC=BG=AD=3，
∵∠BGE+∠AGB=180°，
∴∠AGB=∠D，
∵ABCD，
∴∠BAG=∠AED，
∴△ABG≌△EAD（AAS），
∴AG=DE=2，
∴AB=AE=AG+GE=4，
∵GF⊥AB于點(diǎn)F，
∴∠AFG=∠BFG=90°，
在Rt△AFG和△BFG中，根據(jù)勾股定理，得
，即，
解得AF=，
∴，
∴GF=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形與折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，
(1)平行四邊形的面積為________．
(2)若是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長(zhǎng)度的最小值是________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求得四邊形的面積；
（2）連接，過點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)直線線段最短可得到，當(dāng)折線與線段重合時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
四邊形的面積；
故答案為：；
（2）連接，過點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；
四邊形為平行四邊形，
，，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
由翻折變換的性質(zhì)得：，
，
，當(dāng)折線與線段重合時(shí)，線段的長(zhǎng)度最短，
此時(shí)，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱求線段最值問題，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題七 平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)問題】
【例7】（2021春·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)落在線段上，在線段BE上取點(diǎn)，使，連結(jié)，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件利用勾股定理求得，進(jìn)而求得，通過角度的計(jì)算可得，從而可求得，根據(jù)即可求得
【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，
四邊形是平行四邊形，,
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟悉幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2020·湖北·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，等腰△ABC的頂角∠A=36°，若將其繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)36°，得到△，點(diǎn)B′在AB邊上，交AC于E，連接AA′．有下列結(jié)論：①△ABC≌△；②四邊形是平行四邊形；③圖中所有的三角形都是等腰三角形；其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．① ③C．②③D．① ② ③
【答案】D
【分析】①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 則△ABC≌△；
②根據(jù)全等的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出 ，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出 ，再根據(jù)得出，即可證明四邊形是平行四邊形；
③根據(jù)等腰三角形的判定逐一對(duì)圖中所有的三角形進(jìn)行驗(yàn)證即可得出答案．
【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知
∴△ABC≌△（SSS）；故①正確；








四邊形是平行四邊形，故②正確；







∴ 是等腰三角形


∴ 是等腰三角形

∴ 是等腰三角形


∴ 是等腰三角形


∴ 是等腰三角形


∴ 是等腰三角形


∴ 是等腰三角形

∴ 是等腰三角形

∴ 是等腰三角形

∴ 是等腰三角形
∴所有的三角形都是等腰三角形，故③正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定和等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，將直線l繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則四邊形ABFE周長(zhǎng)的最小值是______．
【答案】5+
【分析】作AM⊥BC于M，證明△AOE≌△COF，即可推出四邊形ABFE周長(zhǎng)，所以當(dāng)EF最小時(shí)，四邊形ABFE周長(zhǎng)最小即可算出最小值.
【詳解】解：作AM⊥BC于M，如下圖所示：
∵∠ABC=60°，
∴ ， ，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OA=OC，AD∥CB，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴ ，
∴ ，
∴四邊形ABFE周長(zhǎng) ，
當(dāng)EF的值最小時(shí)，四邊形ABFE周長(zhǎng)有最小值，此時(shí)EF⊥BC，即的最小值，
∴四邊形ABFE周長(zhǎng)的最小值是 ．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合線段和最短問題，正確轉(zhuǎn)換線段之間的關(guān)系表達(dá)出周長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.
【變式3】（2022春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)E在直線BC上，點(diǎn)F在直線AB上（點(diǎn)E、F不與三角形的頂點(diǎn)重合），，連接CF和AE，將線段CF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CG，連接AG．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在線段BC與線段AB上時(shí)．
①求證：；
②求證：四邊形AECG是平行四邊形；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在線段CB與線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形AECG還是平行四邊形嗎？并說明理由．
【答案】(1)①見解析；②見解析
(2)是，理由見解析
【分析】（1）①是等邊三角形，則，則在△AEB和△CFA中，根據(jù)，可證進(jìn)而可得；
②根據(jù)，可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，則，進(jìn)而可得，則可證四邊形AECG是平行四邊形；
（2）解：四邊形AECG是平行四邊形．理由如下：是等邊三角形，則，進(jìn)而可得，則在△AEB和△CFA中，，進(jìn)而可證，則，根據(jù)，可知，
根據(jù)，可得四邊形AECG是平行四邊形．
（1）
①證明：∵是等邊三角形，
∴，
在△AEB和△CFA中，
，
∴，
∴，
②∵，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，
∴，
∴，
∴四邊形AECG是平行四邊形；
（2）
解：四邊形AECG是平行四邊形．理由如下：
∵是等邊三角形，
，
．
在△AEB和△CFA中，，
，
，
，
，
，
四邊形AECG是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，對(duì)于條件不變，僅僅是圖形位置發(fā)生變化的問題探究，通?？山梃b已有的解題經(jīng)驗(yàn)來解決問題．
【經(jīng)典例題八 平行四邊形的存在性問題】
【例8】（2022春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，A，B，C，D的坐標(biāo)依次為，，，．若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則的值不可能是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
【答案】B
【分析】分三種情況：①BC為對(duì)角線時(shí)，②AB為對(duì)角線時(shí)，③AC為對(duì)角線時(shí)；由平行四邊形的性質(zhì)容易得出a,b的值．
【詳解】解：分三種情況：①BC為對(duì)角線時(shí)，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=3,b=4
∴
②AB為對(duì)角線時(shí)，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=-1,b=2
∴
③AC為對(duì)角線時(shí)，
∵A，B，C，D
∴ ，
解得;a=-3,b=-4
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2022春·江蘇南京·八年級(jí)校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AD＝6 cm，BC＝12 cm，點(diǎn)P從A出發(fā)以1 cm/s的速度向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)以2 cm/s的速度向B運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，以點(diǎn)A、B、C、D、P、Q任意四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中同時(shí)存在兩個(gè)平行四邊形，則t的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)題意計(jì)算AP、PD、BQ、CQ，再根據(jù)平行四邊形的判定方法進(jìn)行判定．
【詳解】A．t＝1時(shí)，AP＝1cm，PD＝5cm，CQ＝2cm，BQ＝10cm，此時(shí)構(gòu)不成平行四邊形，不符合題意；
B．t＝2時(shí)，AP＝2cm，PD＝4cm，CQ＝4cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此時(shí)只構(gòu)成一個(gè)平行四邊形PDCQ，不符合題意；
C．t＝3時(shí)，AP＝PD＝3cm，CQ＝BQ＝6cm，則CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此時(shí)有2個(gè)平行四邊形：平行四邊形ADCQ和平行四邊形ADQB，符合題意；
D．t＝4時(shí)，AP＝4cm，PD＝2cm，CQ＝8cm，BQ＝4cm，因AD∥BC，此時(shí)只構(gòu)成一個(gè)平行四邊形APQB，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是熟記平行四邊形的判定方法．
【變式2】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊中，，射線，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)________s時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形．
【答案】或5
【分析】分別從當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)與當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)去分析，由當(dāng)時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案．
【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)F在C的左側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：，，
則，
∵，
當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，
即，
解得：；
②當(dāng)點(diǎn)F在C的右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得：，，
則，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，
即，
解得：；
故答案為：或5．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定；注意掌握分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，，若動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，回答下列問題：
(1)設(shè)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了秒，求當(dāng)為多少秒時(shí)，四邊形變?yōu)槠叫兴倪呅危?br>(2)如圖，若四邊形變?yōu)槠叫兴倪呅?，，?dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度在間往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了秒，求當(dāng)為多少秒時(shí)，以，，，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．請(qǐng)直接寫出答案．
【答案】(1)時(shí)
(2)或或
【分析】當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，則，列出方程即可解決問題；
根據(jù)題意知，分或或三種情形，分別表示出的長(zhǎng)，進(jìn)而解決問題．
（1）
解：當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，
則，
，
解得，
時(shí)，四邊形變?yōu)槠叫兴倪呅危?br>（2）
由題意知，(cm)，(cm)，
(cm)，
當(dāng)以，，，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
解得舍去；
當(dāng)時(shí)，(cm)，
，
解得；
當(dāng)時(shí)，(cm)，
，
解得；
當(dāng)時(shí)，(cm)，
，
解得，
綜上所述：或或，以，，，四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，運(yùn)用分類思想分別表示出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題九 三角形中位線有關(guān)的證明】
【例8】（2021春·四川涼山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，平分，且，E為的中點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為（ ）．
A．6B．3C．1.5D．5
【答案】B
【分析】延長(zhǎng)交于F，利用“角邊角”證明和全等，求出并判斷出是的中位線，然后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造成全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】延長(zhǎng)使至，點(diǎn)、點(diǎn)分別為、的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，要想求最小，求即可，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，由題可知：，即在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，直角三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．
【詳解】延長(zhǎng)使至，
∵點(diǎn)、點(diǎn)分別為、的中點(diǎn)，
∴∥，，
∴=，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
由題可知：，即在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)B為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)F、E分別為、的中點(diǎn)，連接、，當(dāng)，時(shí)，則的長(zhǎng)度為______．
【答案】
【分析】過作于，得到，根據(jù)三角形中位線定理得到，設(shè)，得到，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，推出是等腰直角三角形，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：過作于，
∴，
∴，
∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
則：
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2023秋·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐
【知識(shí)呈現(xiàn)】
兩塊等腰直角三角板和如圖擺放，其中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
(1)如圖，若點(diǎn)，分別在，的延長(zhǎng)線上，通過觀察和測(cè)量，猜想和的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______；
【拓展鞏固】
(2)如圖，若將三角板繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
【探究提升】
(3)如圖，將圖中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖，中的猜想還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明．
【答案】(1) ，
(2)成立，理由見解析
(3)成立， ，
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到，，，，得到，；
（2）延長(zhǎng)交于，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形中位線定理證明即可；
（3）連接、交于點(diǎn)，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形中位線定理證明即可．
【詳解】（1）解：和都是等腰直角三角形，，
，，
，
是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
是的中位線，
，，
同理可得：，，
，，
故答案為：，；
（2）解：成立，
證明如下：如圖，延長(zhǎng)交于，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，，，，
，；
（3）解：成立，
證明如下：如圖，連接、交于點(diǎn)，
，
，即，
在和中，
，
，，
，
，即，
，，，，
，．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
【經(jīng)典例題十 平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合題型】
【例8】（2022春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，分別以的直角邊，斜邊為邊向外作等邊和等邊，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，，．則以下結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③，其中正確的有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】C
【分析】由平行四邊形的判定定理判斷②正確，再由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)判斷①正確，然后由三角形三邊關(guān)系判斷③錯(cuò)誤，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：，，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
為的中點(diǎn)，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，故②正確；
四邊形為平行四邊形，
，
又，
，故①正確；
和都是等邊三角形，
，，，
，
，故③錯(cuò)誤；
其中正確的有2個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、含直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，證明四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
【變式1】（2021春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)O，平分，交于點(diǎn)，且，，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中成立的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合，得出，，，，進(jìn)而得出，，然后根據(jù)角平分線的定義，得出，再利用等量代換，得出，進(jìn)而得出為等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合題意，得出，再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出，然后再利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，得出的度數(shù)，進(jìn)而得出，再利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，即可判斷①；然后根據(jù)角的關(guān)系，得出，再根據(jù)直角三角形的邊的關(guān)系，得出，再根據(jù)等量代換，得出，即可判斷②；再根據(jù)平行四邊形面積公式，得出，再根據(jù)等量代換，得出，即可判斷③；再根據(jù)，，得出是的中位線，然后根據(jù)三角形中位線平行于第三邊且等于它的一半，得出，EO∥CD，可得出，然后再結(jié)合題意，推出，然后再根據(jù)題意，得出，再根據(jù)代入法，得出，即可判斷④；再根據(jù)三角形中位線定理，得出，再根據(jù)，得出，即可判斷⑤．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，，
∴，，，，BC=AD，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵，，
∴，
∴，
∴，故②錯(cuò)誤；
∴，故③正確；
∵，，
∴是的中位線，
∴，EO∥CD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正確；
∵，，
∴，
∵，
∴，故⑤正確．
綜上可得：①、③、④、⑤正確．
故選：D .
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線與三角形的面積問題、等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【變式2】（2023秋·江西撫州·八年級(jí)臨川一中校考期末）在中，，D為形內(nèi)一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，連接，若分別是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為_______．
【答案】2
【分析】如圖，連接，取的中點(diǎn)F，連接，先證明，得，根據(jù)三角形的中位線定理可得，，由平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得，所以是等邊三角形，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)F，連接，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，
∴，
同理得，，，
，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是證明△FMN是等邊三角形．
【變式3】（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們會(huì)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法來解決幾條線段之間的和差問題．請(qǐng)看這個(gè)例題：如圖1，在四邊形中，，，若，求四邊形的面積．
解：延長(zhǎng)線段到E，使得，連接，我們可以證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，，則，得，這樣，四邊形的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形面積．
(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形的面積為 cm2．
(2)如圖2，在中，，且，求線段的最小值．
(3)如圖3，在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于O，且；，則是否為定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此時(shí)平行四邊形的面積．
【答案】(1)12.5
(2)
(3)不是，，
【分析】（1）根據(jù)題意，可以計(jì)算出等腰直角三角形的面積，從而可以得到四邊形的面積；
（2）由勾股定理可得，由配方法可求解；
（3）由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求，由配方法可求的最小值，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可得，，，
則的面積，
即四邊形的面積為，
故答案為：12.5；
（2）解：，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為2；
（3）解：如圖，過點(diǎn)B作于H，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最小值，即的最小值為，
此時(shí)：，，
是等邊三角形，
．
綜上可知，不是定值，的最小值為，此時(shí)平行四邊形的面積為．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【培優(yōu)檢測(cè)】
1．（2023秋·河北保定·九年級(jí)校考期末）如圖，在中，于點(diǎn)D，，若E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先證明是等腰直角三角形，得到，再由勾股定理解得，最后由中位線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
即，
，
，分別為，的中點(diǎn)，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，中位線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
2．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在平行四邊形中，M是的中點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】由是平行四邊形，得到，，然后由等腰三角形的性質(zhì)可得，，得到，即可用勾股定理求得的長(zhǎng)
【詳解】∵在平行四邊形中，M是的中點(diǎn)，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即為直角三角形，
∵，，
∴．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵
3．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】連接、，由平行四邊形的性質(zhì)得出，證明四邊形是平行四邊形，得出，由平行線得出，設(shè)，則，證明是的中位線，由三角形中位線定理得出，得出，由勾股定理得出方程，求出，得出，在中，由勾股定理求出，即可得出的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖所示：連接、，

四邊形是平行四邊形，
，
點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
設(shè)，則，
點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
，
由勾股定理得：，
即，
，
，
，
，
在中，，
，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，E為上一點(diǎn)，且，，，，則下列結(jié)論：①；②平行四邊形周長(zhǎng)是24；③；④；⑤E為中點(diǎn)．正確的結(jié)論有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】D
【分析】先證明是等邊三角形，可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，可得，即可求出，①正確；根據(jù)，求出，計(jì)算即可得出②正確；根據(jù)，，求出可得③正確；根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出，可得④正確；根據(jù)，可得⑤正確．
【詳解】解：①∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正確；
②∵，
∴，
∴平行四邊形的周長(zhǎng)，故②正確；
③∵，，
∴，
∴，故③正確；
④在中，
∵，，
∴，故④正確；
⑤∵，
∴E為中點(diǎn)，故⑤正確；
綜上所述：正確的結(jié)論有①②③④⑤，共5個(gè)，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理等，靈活運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是的邊上的點(diǎn)，是中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，若，，則陰影部分的面積為（ ）
A．24B．17C．13D．10
【答案】B
【分析】連接，如圖，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，再證明得到，則可判定四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，接著證明四邊形為平行四邊形，所以，然后計(jì)算得到陰影部分的面積．
【詳解】解：連接，如圖，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
是中點(diǎn)，
，
在和中，
，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
即，
，
四邊形為平行四邊形，
，
陰影部分的面積．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形；平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；平行四邊形的對(duì)角線把四邊形分成面積相等的四部分．
6．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用勾股定理列式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出，，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：，，，
，
、、、分別是、、、的中點(diǎn)，
，，
四邊形的周長(zhǎng)，
，
四邊形的周長(zhǎng)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
【答案】B
【分析】延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出 ，得出對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵F是AD的中點(diǎn)，
∴ AF=FD，
∵在中，AD＝2AB，
∴AF=FD=CD，AD∥BC，
∴∠DFC＝∠DCF，∠DFC＝∠FCB，
∴ ∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF=，故①正確；
如圖，延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，∠BEC=∠DCE，
∵F為AD中點(diǎn)，
∴ AF＝FD，
在和中
∵，
∴，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC=EM＝FE，故②正確；
∵EF=FM，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴，
∵，
故：S△BEC